第7章 中国古代科技史(6)

据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了圆周率的不足近似值是3.1415926，过剩近似值是3.1415927，真值在这两个近似值之间。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到3.1415926到3.1415927，必须求出圆内接12288边形的边长和24576边形的面积。这样求出的圆周率才能准确到小数点后7位。我国古代是用算筹计算的，因此，对9位数做上百次加、减、乘、除和开方运算，还要适当选择有效数字，保证准确的误差范围，这是一项非常艰巨复杂的计算工作，显然只有掌握纯熟的理论和技巧，具备踏踏实实、一丝不荀的研究精神，才能取得这样杰出的成就。祖冲之圆周率的不足近似值和过剩近似值，准确到小数点后7位，成为世界历史上第一次把圆周率的准确数值算到小数点后7位数字的人。用这两个近似值计算，可以满足一定精度的要求，并且非常简便，这在当时世界上非常先进，标志着我国古代高度发达的数学水平，在世界数学史上放射着异彩。直到1000年以后，1427年阿拉伯数学家阿尔·卡西在《算术之钥》、法国数学家维叶特于1540年至1603年才求出更精确的数值。

按照当时计算都用分数的习惯，祖冲之还采用了两个分数值的圆周率。一个是355/113，这一个数比较精密，所以祖冲之称它为“密率”。另一个是22/7，这一个数比较粗疏，所以祖冲之称它为“约率”。其中密率是分子分母在1000以内的最佳值。在欧洲，直到1573年德国数学家鄂图和荷兰人安托尼兹才得出同样结果。因此，日本数学家三上义夫曾建议把355/113这个圆周率数值称为“祖率”，来纪念这位中国的大数学家。

祖冲之的这一研究成果享有世界声誉：巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率，莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像，月球上有以祖冲之命名的环形山……

增乘开方法的创立

我国是世界数学史上最早提出开平方、开立方的法则的国家。早在中国古代数学著作《九章算术》中的《少广》章里就讲述了开平方与开立方的法则，这个法则对解方程起了重要作用。因此，在世界数学史上占有重要的地位。

公元5世纪，南北朝时期祖冲之进一步推广了开平方、开立方的方法，能求出一般的二次方程式和三次方程式的正根。到隋唐时代，在数学著作中，则有开差幂（由长宽不等的长方形面积求其长宽）、开差立（由长宽高不等的立方体的体积求其长宽高）的问题。1050年左右，北宋数学家贾宪在他编著的《九章算法细算》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”。其做法与现代教科书中所用的步骤相同，用所拟定的根数，边乘边加，变换原方程式的系数。增乘开方法对以后求高次方程式正根，有很大影响。如1247年秦九韶的《数书九章》、1248年李冶的（测圆海镜》等著作中都用了增乘开方法。

在欧洲许多数学家用了种种方法求三项与高次方程式的实根，都比较复杂和不切实际。直到1840年意大利人罗斐尼和1819年英国人霍纳等才找到了与中国增乘开方法大致相同的算法，但是他们都比贾宪晚了800多年，而比祖冲之则晚了1300多年。

联立方程式的提出

我国是世界上最早提出联立方程式的国家。联立方程式在初等代数中是比较重要的一种数学方法。它可表示多种事物之间的复杂关系，在生产、科研工作中，特别是在建筑、设计和电路分析中有广泛的应用。

在方程式中，如果含有一个以上的未知数时，必须有一个以上的方程式，有几个未知数就要有几个方程式，只有这样，方程式中的各个未知数才有确定的数值解，这些方程式联合起来组成一组，叫做联立方程式。联立方程式是我国最早提出来的。

早在公元2世纪，我国在《九章算术》这部代数书中，就专门介绍了联立方程式。书中所列“方程”，未知数不用符号表示，只用算筹自上而下罗列各项系数，常数项列于最下，完成1行，二元者，列2行，三元者，列3行，算筹排列方式，形如方阵，故称“方程”。书中介绍的“方程”解法，与现在初中教科书中的加减消元法相仿。这是世界上最早出现的，也是最原始的联立方程式了。

13世纪时，我国数学家又发明了天元术（即中国代数），用“天”、“地”两字表示不同的未知数，能解二元高次联立方程式，1303年元朝数学家朱世杰撰写的《四元玉鉴》，按天、地、人、物立成四元，进一步推广到4个未知数的高次联立方程式，他的逐步消元法，条理分明，有新的发展。

印度在5世纪以后才解出了一次联立方程式，西方到16世纪才有了一次联立方程式的数学书，都比我国晚几个世纪。

二顶式系数法则的创立

现代初等数学中，二项式乘方展开是一种最基本的运算方法。二项式展开项系数，具有一定规律性，它是以组合数公式表示的，因此，在做二项式乘方展开时，只要记住这个规律，就可把各项直接求出来。

我国是二项式乘方展开项系数规律性的最先发现国，这在世界数学历史上是一个重大的贡献。早在11世纪，我国北宋时期的数学家贾宪，在他注解的《九章算术》中总结了先秦到东汉初的数学成就，除对其他数学问题做了专门研究外，还对乘方展开方法进行了专门的研究和探讨，提出的“开方作法本源图”是一个指数是正整数的二项式定理系数表，比欧洲人所称的“巴斯卡三角”早600多年，该表被称为“贾宪三角”。

多元高次方程解的提出

1303年，元朝著名的数学家朱世杰著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程），并提出消元的解法，是世界上第一个提出多元高次方程解法的人。400多年后，到公元1775年法国人毕朱才提出同样的解法。1299年朱世杰还著有《算学自蒙》三卷，对于多元高次方程组的解法、高阶等差级数、招差术（有限差分）都有独到的研究，对“果深叠藏”中的三角台垛、四角台垛、刍童垛、刍甍垛等提出了算法。

大衍求一术

宋朝数学家秦九韶的求解一次同余式的“大衍求一术”，是数学史上的一项卓越成就。联立一次同余式问题最早见于《孙子算经》中的一个问题：“今有数不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这就是著名的孙子问题。他的解法要用到求三个一次同余式的共同解。秦九韶在《数书九章》中首次对这一算法进行介绍，并把它推广到解决各种数学问题中去。他系统地提出求解一次同余组的一般计算步骤，正确而又严密。过了500年后，欧洲的尤拉（1707~1789年）和高斯（1777~1855年）等人对联立一次同余式问题才进行了深人的研究。

最早发明算盘

算盘是我国古代的一项伟大发明。我国的算盘是由古代的“算筹”演变而来的。“算筹”就是运用一种竹签作筹码来进行运算。唐代末年，开始见到算筹乘除法的改进，到宋代生产了算筹的除法歌诀。在元代中叶和元末的文学、戏剧作品中有提到算盘的。珠算术至迟在元末已经产生，1366年陶宗义所著的《南村辍耕录》中，已有关于珠算盘的明确记载。到16世纪明代中叶珠算术取代算筹术在全国得到普遍推广，论述算术的著作也随之产生，流行最广的珠算是1593年明代程大位所辑的《算法统宗》。由于珠算术用算盘演算，比筹算术用算筹演算简单方便，珠算口诀又便于记忆，因而在我国被普遍应用，同时也陆续传到了日本、朝鲜、印度、美国、东南亚等国家和地区，受到广泛欢迎。近来，美国和日本一些专家把我国的算盘尊称为新文化，并和指南针、造纸术、印刷术、火药并列，被誉为我国的第五大发明。

地学

《山海经》

《山海经》是中国先秦古籍，主要记述古代地理、物产、神话、巫术、宗教等，也包括古史、医药、民俗、民族等方面的内容，具有多方面的学术价值。《山海经》是一部早期有价值的地理著作，其中尤以《五藏山经》（简称《山经》）地理价值最高，成书也最早，约成书于公元前300年，是我国最早的地质、地理著作。

《山经》记载的山川比早些时代的《禹贡》更丰富，其记载山岳共15000字，其篇幅之长，相当《禹贡》导山部分的14倍。《山经》以山为纲，对黄河流域、长江中下游、珠江三角洲广大地区复杂的地理现象进行了综合描述。它以位于今河南省西部的中山经为中心，自此以南为南山经，以西为西山经，以北为北山经，以东为东山经，从而分为5个地区。每个地区均以山为纲，排列先后次序，在叙述每列山岳时还记述山的位置、高度、走向、陡峭程度、形状、谷穴及其面积大小，并注意两山之间的相互关联，有的还涉及植被覆盖密度、雨雪情况等，显然已具备了山脉的初步概念，堪称我国最早的山岳地理书。在叙述河流时，必定叙述河流的发源与流向，还注意到河流的支流或流进支流的水系，包括某些水流的伏流和潜流的情况以及盐池、湖泊、井泉的记载。

《山经》在物质资源分布的篇幅中，对于矿产的记载尤其详细，提及矿物产地400余处，所记矿物岩石达89种，并把它们分成金、玉、石、土4类，这是世界上最早的矿物分类法。希腊学者狄奥弗拉斯特（Theophrastus）在公元前371至公元前285年所著《石头志》被认为是古希腊最早的地质专著，但它记载的矿物仅16种，把这些矿物分成金、石、土3类，而与其同时代或稍晚的《山经》所记的矿物种类是它的5倍，分类更细。《山经》还注意到矿物的共生现象，记述了根据硬度、颜色、光泽、透明度、构造、敲击声、医药性等来识别矿物的方法，并详细记述了动植物的形态、性能和医疗功效，因此《山海经》在矿物学分类上有突出贡献。英国李约瑟说：“《山海经》是一个名副其实的宝库，我们可以从中得到许多古人是怎样认识矿物和药物之类物质的知识。”

《山海经》是我国最古老的一部地理书籍，也是世界上最古老的地理书籍。《山海经》又是我国现存书籍中保存古代神话资料最多的一部作品。《山海经》中所记神话不仅数量最多，而且大多比较原始，情节比较完整的也有不少，这在先秦古籍乃至后世典籍中都是少有的。它在神话学、宗教学上具有重要研究价值，同时，对于古代历史、物产、医药等方面也有重要的科学价值。

最早的采矿技术最早的探矿理论

我国考古工作者在广州市郊区的樵山，发现了一座距今5000多年的“矿洞”，矿坑的深度达37米以上，矿洞内壁上有大面积火烧过的痕迹，地面上有大量的炭屑和爆裂的矿石块。经过考古学家研究，原来，这是新石器时代的一种采矿方法：他们先用火将石头烧热，然后再用水浇，利用“热胀冷缩”的原理开采矿石。这种方法中国人从5000年前沿用到现代，被认为是一种省钱省时的好方法，在世界的矿业史上也是一个创举。

江西瑞昌的商周古矿井是全世界最早使用先进的“木支护”进行深井开采的矿井。它同近代的矿井一样，已经使用了用“坑木”、“制造”、“顶梁”、“立柱”、“地狱”等组合而成的框式“顶棚”安全支护技术，并利用凿井的高低解决了通风问题。挖掘工具有青铜做的斧、铖、凿等，翻土工具有木锨、木铲等，装载工具有竹筐、畚箕等，提升工具有木轳辘、钩、绳等，选矿工具有带活动挡板的“分节水冲选矿木溜槽”等，这是世界上最早、最先进的深井采矿技术。

利用炸药开矿是近代矿业的一大特点。中国是发明火药的国家，中国的“火药爆破”采矿技术在明朝时就已经开始了。而在世界上一直到19世纪，才被美国的路易斯安那州与得克萨斯州的大型矿井所采用，比中国要晚了400多年。

利用矿苗、矿物的共生关系及上下关系找矿。春秋战国时期，青铜器、朱砂、水银、铁器的使用，是人们认识矿物种类增多的具体体现，同时也说明利用露头找到的矿的种类在迅速增多。《山海经》中所记矿物，多数是矿物的露头，即矿苗，如《南山经》中记载，招摇之山“多金玉”，堂庭之山“多水玉，多黄金”。战国时期的《管子·地数篇》记载了利用矿物的共生关系及上下关系找矿，如：“山，上有赭者，其下有铁；上有（是“铅”的异体字）者，其下有银；一日上有者，其下有鉒银；上有丹砂者，其下有鉒金；上有慈石者，其下有铜金。此山之见荣者也。”又说：“上有丹砂者，下有黄金；上有慈石者，下有铜金；上有陵石者，下有、锡、赤铜；上有赭者，下有铁。此山之见荣者也。”所谓“山之见荣”，就是矿苗的露头。现代地质学家夏湘蓉等把它们归纳成六条，称作“管子六条”：第一，山上有赭，其下有铁；第二，山上有磁石，其下有铜金；第三，山上有铅，其下有银；第四，山上有丹砂，其下有黄金；第五，山上有陵石，其下有铅、锡、赤铜；第六，山上有银，其下有丹。“管子六条”包括铁、铜、锡、铅、金、银、汞7种金属矿产，分组说明它们的上下关系，是西汉以前找矿采矿实践中得出的经验总结。

利用指示植物找矿。在南北朝的梁代出现了著名植物找矿著作——《地镜图》。《地镜图》原书已佚，现在只能从后人的引文中看到它的部分内容。它的主要观点是把地下的矿床和地表的植物联系起来，是现代指示植物找矿或生物地球化学找矿方法的肇端，是一个很有科学价值的新创见、新理论。当然，这个新理论也是逐步产生的，并不是突然出现的。往上追溯，我们发现，《荀子·劝学篇》就说过：“玉在山而草木润”，首次提出了山上赋存的矿物和周围植物生态有关的思想。晋张华《博物志》也说，“山……有谷者生玉”。到《地镜图》，内容就大大充实了。书中说道：“二月中，草木先生下垂者，下有美玉。五月中，草木叶有青厚而无汁，技下垂者，其地有玉。八月中，草木独有枝叶下垂者，（下）必有美玉。有云，八月后草木死者亦有玉。十二月中，草木独有枝叶垂者，下有美玉。山有葱，下有银，光隐隐正白。草茎赤秀，下有铅；草茎黄秀，下有铜器。”唐代段成式（？~863年）对它作了初步的整理，说：“山上有葱，下有银；山上有薤，下有金；山上有姜，下有铜锡；山有宝玉，木旁枝皆下垂。”（《酉阳杂俎》卷十六）这些记载，不一定完全和实际相符，但是他所指出的利用指示植物找矿的方向是对的。

对中国古代利用指示植物找矿理论的发明和发展，英国科学史家李约瑟曾经作过恰当的评价，他说：“中国人在古代所进行的观察，确实可以说是仍在迅速发展中的、范围十分广阔的现代科学理论和科学实践的先驱。”

《尚书·禹贡》

《禹贡》是《尚书·夏书》中的一篇，“禹别九州，随山浚川，任土作贡”，是说大禹划分九州疆界，顺山势疏通河道，依土地肥瘠制定贡献田赋等级的办法，所以称作《禹贡》。《禹贡》全文约1200字，由“九州”、“导山”、“导水”和“五服”4部分组成，它是中国现存最早的一部全部性区域志。