第5章 生活与科技(4)
在运算过程中用的是算筹。算筹就是一些用木、竹制作的匀称的小棍，算筹纵横布置，就可以表示任何一个自然数。据考证，至少在公元前8世纪到前5世纪的春秋时代，我国算筹记法已经完备，而印度正式使用0这一符号是在公元876年以后。只有表示0的方法使用后，十进制才算完备。因此，中国是名副其实的十进制故乡。
中国还是现代电子计算机二进位制的发源地。二进位制中，只有0和1两个符号，0仍表示零，1仍代表“一”。但“二”就没有单独数码代表，因此得“逢二进一”，这样便可以表示一切自然数。
含义丰富的0
0，通常表示什么也没有。但实际上零表示的意义非常丰富。0不但可以表示没有，也可以表示有。电台、电视里报告气温是0℃，并不是指没有温度，而是相当于华氏表32度，这也是冰点的温度。0还可以表示起点，如发射导弹时的口令是：“9，8，7，6，5，4，3，2，1，0——发射”。0在数轴上作为原点，也是起点的意思。0还可以表示精确度。如在近似计算中，75与750表示精确程度不同。在实数中，0又是正数与负数间的唯一中性数，具备下面一些运算性质：
a+0=0+a=a，a-0=a，0-a=-a，0×a=a×0=0，0÷a=0，（a≠0）；0不能作除数，也没有倒数：0的绝对值和相反数都是0；任意多个0相加和相乘都等于0。
0是数学中最有用的符号之一，但它的发明是来之不易的。古埃及虽建造了宏伟的金字塔，但不会使用0；巴比伦人发明了楔形文字，也不会使用0；中国古代用算筹运算时，怕定位发生错误，开始用“□”代表空位，为书写方便逐渐写成○。公元2世纪希腊人在天文学上用○表示空位，但不普遍。比较公认的是印度人在公元6世纪最早用黑点（·）表示零，后来逐渐变成了0。
负数
今天人们都能用正负数来表示相反方向的两种量。例如若以海平面为0点，世界上最高的珠穆朗玛峰的高度为+8844438米，世界上最深的马里亚纳海沟深为-11034米。在日常生活中，则用“+”表示收入，“-”表示支出。可是在历史上，负数的引入却经历了漫长而曲折的道路。
古代人在实践活动中遇到了一些问题：如相互间借用东西，对借出方和借入方来说，同一样的东西具有不同的意义。分配物品时，有时暂时不够，就要欠某个成员一定数量。再如从一个地方，两个骑者同时向相反的方向奔驰，离开出发点的距离即使相同，但两者又有不同的意义。久而久之，古代人意识到仅用数量来表示一事物是不全面的，似乎还应加上表示方向的符号。为了表示具有相反方向的量和解决被减数小于减数等问题，逐渐产生了负数。
中国是世界上最早认识和应用负数的国家。早在二千年前的《九章算术》中，就有了以卖出粮食的数目为正，买入粮食的数目为负；以入仓为正、出仓为负的思想。这些思想，西方要迟于中国八九百年才出现。
分数
有一位阿拉伯老人，生前养有11匹马，他去世前立下遗嘱：大儿子、二儿子、小儿子分别继承遗产的1／2、1／4、1/6。儿子们想来想去没法分：他们所得到的都不是整数，即分别为11／2、11/4和11／6，总不能把一匹马割成几块来分吧？聪明的邻居牵来了自己的1匹马，对他们说：“你们看，现在有12匹马了，老大得12匹的1／2就是6匹，老二得12匹的1／4就是3匹，老三得12匹的1／6就是2匹，还剩一匹我照旧牵回家去。”这样把难分的问题解决了。
分数起源于“分”。在原始社会，人们集体劳动，要平均分配果实和猎物，逐渐有了分数的概念。以后在土地计算、土木建筑、水利工程等测量过程中，当所用的长度单位不能量尽所量线段时，便产生了分数。
巴比伦人也使用六十进位的分数，即分母是60、602、603的分数。在很长一段时间内，欧洲人将分数运算视为畏途。
中国是世界上较早对一般分数进行研究的国家。公元前5世纪的《考工记》中，就有“十分寸之一为一枚”的记载，即1／10等于1分。西汉时期《周髀算经》中，已经有了更复杂的分数运算。公元1世纪（东汉时期）的数学专著《九章算术》中，专列“方田”一章，介绍通分、约分、比较分数大小的方法，以及有关加、减、乘、除运算的法则。这些知识与现代采用的方法基本相同，比印度领先500多年，比欧洲早1400多年。
神秘的9
爱因斯坦出生在1879年3月14日。把这些数字连在一起，就成了1879314。重新排列这些数字，任意构成一个不同的数（例如3714819），在这两个数中，用大的减去小的（在这个例子中就是3714819-1879314=1835505），得到一个差数。把差数的各个数字加起来，如果是二位数，就再把它的两个数字加起来，最后的结果是9（即1+8+3+5+5+0+5=27，2+7=9）。
哥白尼的生日是1473年2月19日，牛顿的生日是1642年12月25日，高斯出生于1777年4月30日，居里夫人出生于1867年11月7日，只要按照上面的方法去计算，最后一定都得到9。实际上，把任何人的生日写出来，做同样的计算，最后得到的都是9。
把一个大数的各位数字相加得到一个和；再把这个和的各位数字相加又得到一个和；这样继续下去，直到最后的数字之和是个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”。这个数字根等于原数除以9的余数。这个计算过程，常常称为“弃九法”。
求一个数的数字根，最快的方法是在加原数的数字时把9舍去。例如求385916的数字根，其中有9，而且3+6，8+1都是9，就可以舍去，最后只剩下5，就是原数的数字根。
利用弃九法，可以检验很大数目的加减乘除的结果。例如a-b=c，为了检验结果c，用a的数字根减去b的数字根（如果前者较小就加上9），看看差数是否对得上c的数字根。如果对不上，那么前面的结果肯定是算错了；如果对上了，那么计算正确的可能性是8／9。
由这些知识可以解释生日算法的奥妙。假定一个数n由很多数字组成，把n的各个数字打乱重排，就得到一个新的数n′，显然n和n′，有相同的数字根，把两数字根相减就会得0。也就是说，n-n′一定是9的倍数，它的数字根是0或9。而在我们的算法中，0和9本是一回事（即一个数除以9所得的余数）。n-n′=0，只有在n=n′即原数实际上没有改变时才发生；只要n≠n′，n-n′，累次求数字和所得的结果就一定是9。
算术
计算数的科学，是所有其他数学分支的基础。不能运用数，就无法测量距离或计算时间。人们就无法算出驾驶汽车时每公里要费多少升汽油；也不能判断身高，或一建筑物的高度；在购物时，也无法计算找回的钱是否对。如果没有算术，简直就不能做一切有关数的简单运算：算术是一门最有用的科学。
算术也是一门最基础的科学。其中有6种运算数的基本法则：加法、减法、乘法、除法、乘方（自乘）和开方（求方根）。
其他的所有数学分支中，都要用到这些运算；如果没有算术，就不会有几何学、代数学和微积分。
代数
代数常被描述为字母算术。算术处理定数，代数引入了变数，它大大扩展了算术的普遍性和范围。中学中所教的代数学涉及解相对地较简单的方程的技巧。
近世代数或抽象代数是数学的更一般化的分支，它用任意的符号集（合）的运算来分析代数公理。抽象代数的专门领域包括群、环、域、矩阵代数和多种多样的非结合及非交换的代数的研究。集和矢量的专门的代数学以及布尔代数是从逻辑的研究中发展的。代数用于复利的计算，解决距离与时间比问题或从一群已知的必要数据确定未知量的情况。
几何学
几何学的英语词汇geometry，源自希腊，意为对地球的测量。虽然几何学起源于古埃及和巴比伦的实用目的，希腊人循着更系统和更广泛的途径研究它。
在19世纪，欧几里得几何学作为主要的几何学因为非欧几何学的发现而受到挑战。非欧几何学激起对几何学的新的处理，即把理论以公理来表述，这些公理应用于点和线等无定义的元素的性质上。这导致了新的几何学，包括椭圆、双曲和抛物几何学。现代的抽象几何学探讨空间、形状、尺寸和图形的其他性质的最一般的问题。例如，射影几何学是一门抽象几何学，它研究一个图形投射为另一图形时保持不变的几何性质。例如在数学透视中。
拓扑学研究图形经受连续的转换而不失去它的任一部分的个性时所保持不变的性质，它是对几何学非常有用的探讨。微分几何是用无限小的概念研究几何学。
解析几何与三角学
解析几何结合了代数的普遍性和几何的精确性。它有时称为笛卡儿几何学，笛卡儿是把代数方法用于几何学的第一个人。在解析几何中，用坐标系把任意曲线和一些变量相联系，从而将代数学观点引入几何学。例如在二维坐标系中，曲线上的任一点能够和一对坐标值（a，b）相联系。这曲线的普遍性质就能用它们的代数性质来研究了。
三角学研究三角形、各角、各边和它们之间的关系。三角学涉及三角函数的研究。一个角和六个三角比相联系，即正弦、余弦、正切、余切、正割和余割。以已知的三角比为基础可确定三角形的未知角和未知边的值。因此它们特别有用。在古代，测量师和天文学家利用三角学获得重要的成果。
微积分
在17世纪中，牛顿和莱布尼兹使用无限小量确定曲线的切线，并方便地计算出曲线图形的边长和面积，还发现这些运算的相逆关系。牛顿称它们为“流数”和“流量”，和现在使用的微商、积分这两个词相对应。莱布尼兹称它们为“差分”和“和”。
在19世纪中，为了把微积分建立在严格的基础上，极限理论促进微积分的发展。一些数学家要把分析学——微分学和积分学——的结果建立在严格的算术方法上，从而使分析学更严格化。这需要精确的实数的连续性的定义。另一些数学家用很普遍的测度理论扩展分析学的作用。分析学基本加强了函数、序列和级数的收敛性、连续性、可微性和有关实数的完备性的一些问题，微积分的入门课程一般包括对数和指数函数、三角函数和超越函数的研究。
复分析
复分析把分析学方法从实变数推广到复变数。复数最初从代数方程可以存在普遍解中产生。它们采用d+bi的形式，式中a和b是实数。a称为这个复数的实数部分，b是复数的虚数部分，i为根号-1，是虚数单位。因为复数有两个相互独立的分量a和b，它们在两个变量必须同时处理时就特别有用。例如，已经证明它在流体动力学中的应用特别有价值，因为流体中的压强和速度处处不同。19世纪中，数学家给复数以几何解释，使它更易于接受。
数论
有这样的说法，100多年来未解决的数学问题，至今仍吸引人考虑的，就在数论中。数学的这个分支涉及数的性质和各种数系的结构的研究。它研究整数，即完整的数。数论中的许多问题和素数有关。素数是比1大的整数，而且它们的因数只有它们自己和1。
数论的领域包括以下的问题：最大公因数，最小公倍数，分解到素数和自然数以某种形式例如可除性表示。计算机现已用来解答某些数论问题。
概率论和统计学
分析随机现象的数学分支称为概率论。一个随机事件可能的全部后果组成的集合，称为样本空间。在这个空间中的每个结果都被赋予一个概率，即表示在单个事例中出现这个特定结果的可能性的一个数字。随机实验的例子是抛硬币，样本空间由两个结果组成，币的正面或反面朝上，而赋予每个结果的概率为二分之一。
统计学将概率论用于实际情况并涉及经验数据的分析。统计学（statistics）这个词反映了最初将数学方法应用于为政府（state）的意图所收集的数据。这类研究导致了通用的下述手法：分析数据并计算多种数值，画出相互关系，使用抽样、计数、估计并按一定标准排列数据。
集合论
19世纪中由德国数学家康托尔创造的理论，它原来为了提供对无穷大的数学分析手段。集合论处理个体的定义良好的集合体的性质。集合可以是有限的或无限的。有限集有一定数目的元（素），例如一个集可由从1到1000的全部整数组成。一个无限集有无穷个数目的元（素）。例如全部正整数组成一个无限集。
康托尔创建了无限数的理论和与它一起前进的超限算术。他的“连续统假设”推测全部实数集是第二个最小的无限集。最小的无限集是由整数组成的集或和它等价的任意集。
在20世纪初，集合论的关于无限集、超限数和纯逻辑悖论的一些矛盾，引起了将集合论公理化以消除这类困难。当哥德尔证明。对任意公理系统都能提出既非真又非假的命题，数学的传统的必然性，似乎已经突然消失了。
在20世纪60年代，科恩成功地证明了“连续统假设”的独立性，也就是在集合论的一个给定的公理化系统内。这个假设既不能证明成立，也不能证明不成立。这意味着有可能构思一个非康托尔集合论，在那个理论中“连续统假设”可以不成立。很像在非欧几何学中无庸假定欧几里得的平行假设必须成立。
逻辑
逻辑研究从给定的前提得出正确结论的途径。亚里士多德第一个系统地探讨逻辑，此后发展了逻辑代数概念。符号逻辑是从传统逻辑中发展起来的，它用符号代替命题和命题之间的联系。现代逻辑学家用代数方法和形式方法研究逻辑命题间的关系。这已经导致了模型理论和模型逻辑。
算盘
现代科学技术的发展为我们的生活和学习带来很大的方便，计算器就是一个很好的证明。在电子计算器发明之前，我们的祖先是用什么来进行运算的呢？答案很简单，他们用的是算盘。算盘可以说是我国古代劳动人民的伟大发明之一，是世界上最早的计算器。
在我国，算盘的发展有着很长一段历史，从最初诞生到发展成熟，它经历了上千年的演变。直到唐代，我们才看到现在所使用的算盘的形态。唐代时所发明的算盘可以说是十分成熟的了。这种珠算盘到元朝的时候已经在全国得到普遍的应用了。明朝后期，我国的算盘逐渐传到了日本、朝鲜等地，为世界文明的发展做出了贡献。
最早的几何绘图工具——“规矩”