1.2 信号及其描述

1.2.1 概述

现代电子信息系统的被测对象称为信源，信息是由信源产生的。信源以信号的形式发出信息。信号是信息的载体，信息只有装载在信号上才能进行变换与传递。人们常说的信息传递、信息处理，实际上是指传递、处理载有信息的信号。

如图1.2.1所示为一个接收物体振动信号的测试系统结构框图。图中假设被测量为一物体的简谐振动，其振动的位移为x，频率为fx。首先采用位移传感器将振动信号转换为毫伏量级的电压信号。但同时该传感器也敏感到邻近设备的高频干扰信号（噪声），该信号也将叠加到有用信号上。然后采用放大器将信号放大到足以方便计算机进行记录和处理的电平（图中的增益为100）。同时为去除干扰噪声信号再串联一级低通滤波器。最后，经过滤波后的信号送给计算机系统进行记录或显示。

在工程实际中，在对待属性各异的各类系统时，常常略去系统具体的物理含义，而将其抽象为一个理想化的模型，目的是为了得到系统共性的规律。将系统中变化着的各种物理量，如力、位移、加速度、电压、电流、光强等称为信号，客观地研究信号作用于系统的变化规律，可以揭示系统对信号的传递特性。因此，信号与系统是紧密相关的。信号按一定规律作用于系统，系统在输入信号的作用下，对它进行“加工”，并输出“加工”后的信号。通常将输入信号称为系统的激励，而将输出信号称为系统的响应。信号理论包括信号分析、信号处理和信号综合。信号的分析主要涉及信号的表示和性质。

1.2.2 信号的定义与分类

信号是指信号本身在其传输的起点到终点的过程中所携带的信息的物理表现。信噪比ξ表达为信号功率PS与噪声功率PN之比：

ξ=PS/PN （1-2-1）

通常将信噪比用对数刻度来表示（单位为分贝）：

ξdB=101gξ （1-2-2）

噪声与信号的区分纯粹是人为的，取决于使用者对两者的评价标准。

信号的分类方法很多，主要有以下几种。

（1）形态分类法：该分类法是基于信号的幅值或者独立变量是连续还是离散的特点来进行的，可将信号分为连续信号和离散信号两大类。

如图1.2.2所示，若信号的独立变量或自变量是连续的，则称该信号是连续信号，否则称为离散信号。对于连续信号而言，信号的自变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号；自变量是连续的，但幅值为离散的信号，则称为量化信号。对于离散信号而言，信号的自变量及幅值均为离散值，则称为数字信号；信号的自变量为离散值，但其幅值为连续值时，则称该信号为被采样信号。

（2）能量分类法：这种分类方法规定了两类信号，即具有有限能量的信号及具有有限平均功率和无限能量的信号。

当信号x（t）满足条件：

∫-∞∞|x（t）|2dt<∞ （1-2-3）

则称信号x（t）为有限能量信号，简称能量信号。矩形脉冲、衰减指数信号等均属这类信号。

当信号x（t）满足条件：

即信号具有有限的（非零）平均功率，则称信号为有限平均功率信号，简称功率信号。

（3）表象分类法：这种分类法是基于信号的演变类型、信号的预定特点或者信号的随机特性（信号沿时间轴演变的特性）的分类方法，可将信号分为确定性信号和随机信号。

确定性信号：可以用合适的数学模型来完整地描述或预测其随时间演变情形的信号。

随机信号：具有不能被预测的特性且只能通过统计观察来加以描述的信号。

确定性信号又分为周期信号和非周期信号。

周期信号：按一定时间间隔重复出现的信号，即有

x（t）=x（t+kT） （1-2-5）

式中，T为周期。周期信号一般又分为正余弦信号、多谐复合信号和伪随机信号。伪随机信号组成周期信号的一个特殊范畴，它们具有准随机的特性，如图1.2.3所示。

非周期信号：指不具有上述性质的确定性信号，又可分成准周期信号和瞬态信号两类。

准周期信号：由多个具有不成比例周期的正弦波之和形成，组成信号的正（余）弦信号的频率比不是有理数。

瞬态信号：时间历程短的信号，如矩形脉冲信号、衰减指数脉冲信号、正弦脉冲等。

随机信号又可分成两大类：平稳随机信号和非平稳随机信号。

平稳随机信号：信号的统计特征是时不变的，或者说不随时间原点的选取而变化的信号称为平稳随机信号，如图1.2.4所示。

非平稳随机信号是指不具有上述特点的随机信号，如图1.2.5所示。

1.2.3 信号的描述方法

信号的描述方法包括时域描述、频域描述、幅值域描述和时延域描述，如图1.2.6所示。

时域描述：以时间为独立变量，描述信号随时间的变化，主要反映信号的幅值随时间变化的特征。分析系统时，除采用经典的微分或差分方程外，还可引入单位脉冲响应和单位序列响应的概念，借助卷积积分的方法来进行分析。时域描述法的表现形式为波形图，即以时间为横坐标的幅值变化图，可计算信号的均值、均方值、方差等统计参数。时域描述法的优点是形象、直观，缺点是不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。

频域描述：将信号和系统的时间变量函数或序列变换成对应频率域中的某个变量的函数，以此来研究信号和系统的频域特性。连续系统和信号常采用傅里叶变换和拉普拉斯变换；离散系统和信号则常采用Z变换。频域描述法将时域描述法中的微分或差分方程转换为代数方程，给问题的分析带来了方便。频域描述法的表现形式为频谱图，即以频率为横坐标的幅值、相位变化图。其中，幅值谱指幅值—频率图，功率谱指功率—频率图，相位谱指相位—频率图。频域描述抽取信号内在的频率组成，信息丰富，应用广泛。

幅值域描述：以信号幅值为自变量，反映信号中不同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。通常用概率密度函数来反映信号落在不同幅值强度区域内的概率。

时延域描述：描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，是分析非平稳随机信号的有效工具。它可以同时反映信号时间和频率信息，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。典型的时延分析方法有小波变换、短时傅里叶变换等。

实际信号的形式常常是比较复杂的，因此常常将复杂的信号分解成某些特定类型的基本信号之和，如正弦信号、复指数信号、阶跃信号、冲激信号等。

信号的各种描述方法提供了从不同角度观察和分析信号的手段，既可以通过一定的数学关系相互转换，也不会因为采取不同的描述方法而增添或减少原信号的信息量。

1.2.4 随机信号的描述

随机信号具有不可被预测的特性（其幅值、相位变化不可预知），不能用数学关系式描述，只能由自身的统计特性和频谱特性加以表征。随机信号是一类十分重要的信号，因为按照信息论的基本原理，只有那些具有随机行为的信号才能传递信息。随机信号之所以重要，还在于经常需要用它来排除随机干扰的影响或辨识和测量出淹没在强噪声环境中，以微弱信号的形式表现出来的各种现象。

对随机信号按时间历程所做的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi（t）；在有限时间区间上的样本函数称为样本记录；在同样的条件下，不同时间段的各样本函数的集合称为总体，记作{x（t）}，总体描述了一个随机过程{x（t）}={x1（t）,x2（t）,…,xi（t）,…}。例如，对每日气温的观测、地球上温度的变化，以天为单位或以年为单位来进行分析，每天的观测便构成一个样本函数。

严格来说，如果对于时间t的任意n个数值t1，t2，…，tn和任意实数ε，随机过程{x（t）}的n维分布函数满足关系式：

Fn（x1,x2,…xn；t1，t2，…tn）=Fn（x1,x2,…xn；t1+ε，t2+ε，…，tn+ε）n=1,2.… （1-2-6）

即它的任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集平均统计特征，则该过程称为各态历经随机过程。工程上遇到的随机过程大都可以近似地当做各态历经随机过程来处理，然后再通过有限长度样本记录的分析来判断、估计被测对象的整个随机过程。

要想完整地描述一个各态历经随机过程，理论上需要无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通常用统计方法从以下三个方面进行数学描述。

（1）幅值域描述：均值、均方值、方差、概率密度函数等。

（2）时域描述：自相关函数、互相关函数。

（3）频域描述：自功率谱密度函数、互功率谱密度函数。

1.幅值域描述

对于一个各态历经随机过程x（t），其均值μx表示集合平均值或数学期望值，其定义为

式中，E[x]为变量x的数学期望值；x（t）为样本函数；T为观测的时间。均值μx表示信号的常值（直流）分量。

随机信号的均方值ψx2描述信号的能量（平均功率）或强度，其定义为

式中，E[x2]为变量x2的数学期望值。

随机信号的方差σx2描述随机信号的波动分量，其定义为

方差的平方根σx称为标准偏差。

概率密度函数（如图1.2.7所示）是指一个随机信号的瞬时值落在指定区间（x,x+Δx）内的概率对Δx比值的极限值，其定义为

式中，表示信号幅值在T时间内落在这区间的总时间。

概率分布函数P（x）表示随机信号的瞬时值低于某一给定值x的概率，即

式中，Tx′为x（t）值小于或等于x的总时间。

概率密度函数与概率分布函数间的关系为

联合概率密度函数表示两信号的幅值在指定范围内变化的概率，其定义为

式中，Txy表示在测试时间T内信号x的幅值落在（x，x+Δx）内，且y落在（y，y+Δy）的总时间。

利用概率密度函数还可来识别不同的随机过程，如图1.2.8所示。

2.时域描述

用来描述一个随机过程自身在不同时刻的状态间，或者两个随机过程在某个时刻状态间线性依从关系的数字特征称为相关。相关性是指信号的相似和关联程度，相关分析不仅可用于确定性信号，也可用于随机信号的检测、识别和提取等。利用相关分析可实现不同类别信号的辨识、相关滤波、相关测速和测距、测量流速和流量等。例如，在动态测试中，输入信号的有用分量往往受到噪声干扰，可通过相关运算检测出有用的信号，有效提高信噪比，因此相关分析在微弱信号检测、机械振动分析中被广泛应用。

相关分析常用相关函数（自相关函数和互相关函数）或相关系数来描述。

定义：

为协方差σxy。

式中，E表示数学期望值；μx=E[x]为随机变量x的均值；μy=E[y]为随机变量y的均值。定义：

为相关函数ρxy。

式中，σx、σy分别为x、y的标准偏差，而x和y的方差σx2和σy2则分别为σx2=E[（x-μx）2]，σy2=E[（x-μy）2]。

利用柯西—许瓦兹不等式可知|ρxy|≤1。

当ρxy=1时，所有数据点均落在y-μy=m（x-μx）的直线上，因此x、y两变量是理想的线性相关。当ρxy=0时，（xi-μx）与（yi-μy）的正积之和等于其负积之和，因而其平均积σxy为0，表示x，y之间完全不相关，如图1.2.9所示。

定义：

为自相关函数。

自相关函数具有如下性质。

（1）是对偶函数，即有Rx（τ）=Rx（-τ）。

（2）具有最大值均方值，即有Rx（0）=ψx2≥Rx（τ）。

（3）周期函数的自相关函数仍是同周期函数。例如，正弦函数x（t）=Asin（ω0t+ϕ）的自相关函数为

该函数是一个与原函数具有相同频率的余弦函数，它保留了原信号的幅值和频率信息，但失去了原信号的相位信息。利用自相关函数可检测淹没在随机信号中的周期分量。

（4）若f（t）=c，则有Rx（c）=c2。

（5）对随机函数有，且若x（t）中包含周期分量，则Rx（τ）中存在同周期成分。

定义：

为互相关函数。

互相关函数具有如下性质。

（1）Rxy（τ）在τ=τd处出现峰值（τd反映了两信号间的相位差，即把一信号固定，另一信号在时间轴上平移τd距离），这时两信号相似程度最大，相关程度最高。

（2）Rxy（τ）=Ryx（-τ）。

（3）两个周期相同的周期信号的互相关函数仍是周期函数，其周期不变且相位信息不丢失。

（4）对随机信号x（t）、y（t），有；若x（t）、y（t）中含有同频信号，则当τ→∞时，会呈现同频周期成分；若x（t）、y（t）相互独立，则Rxy（τ）=μxμy。

3.频域描述

理论上，随机信号既不是能量有限的信号，又不是功率有限的信号，因此，原则上讲不能对其进行傅里叶变换。设x（t）为一零均值的随机过程，且x（t）中无周期性分量，则其自相关函数Rx（τ）在当τ→∞时有Rx（τ→∞）=0，该自相关函数Rx（τ）满足傅里叶变换的条件∫-∞∞|Rx（τ）|dτ<∞。对其进行傅里叶变换可得

Sx（f）=∫-∞∞Rx（τ）e-j2πfτdτ （1-2-19）

其逆变换为

Rx（τ）=∫-∞∞Sx（f）ej2πfτdf （1-2-20）

Sx（f）为x（t）的自功率谱密度函数，简称自谱。自谱Sx（f）与自相关函数Rx（τ）之间是傅里叶变换对的关系。式（1-2-19）和式（1-2-20）称为维纳—辛钦（Wiener-Khintchine）公式。由于Rx（τ）为实偶函数，所以Sx（f）也为实偶函数。

Sx（f）曲线下面和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率；Sx（f）就是信号的功率谱密度沿频率轴的分布，因此它也称为功率谱。如图1.2.10所示为振动信号的波形和功率谱。

巴塞伐尔定理：信号在时域中计算的总能量等于它在频域中计算的总能量，即

∫-∞∞x2（t）dt=∫-∞∞X（f）X*（f）df=∫-∞∞X（f）2df （1-2-21）

式中，|X（f）|2称能量谱，它是沿频率轴的能量分布密度。在整个时间轴上，信号的平均功率可计算为

自谱与能量谱之间的关系为

根据信号功率（或能量）在频域中的分布情况，将随机过程区分为窄带随机过程、宽带随机过程和白噪声随机过程等几种类型。窄带随机过程的功率谱（或能量）集中在某一中心频率附近，宽带随机过程的能量则分布在较宽的频率上，而白噪声随机过程的能量在所分析的频域内呈均匀分布状态。

若互相关函数Rxy（τ）满足傅里叶变换的条件∫-∞∞Rxy（τ）dτ<∞，则定义Rxy（τ）的傅里叶变换：

Sxy（τ）=∫-∞∞Rxy（τ）e-j2πftdf （1-2-24）

为信号x（t）和y（t）的互功率谱密度函数，简称互谱密度函数或互谱。互谱与互相关函数满足维纳—辛钦关系，是一个傅里叶变换对。

互谱反映了两个信号中共同的频率成分。互谱为复频谱，保留了原信号频率、幅值和相位差的信息。

利用自谱和互谱求取系统频响函数时不会受到系统干扰的影响。另外，将一个长的变化的信号分为若干个时间段，每个时间段计算一个信号频谱，然后堆叠显示，可了解信号频率成分随时间的变化情况，这一时频域分析方法称为“瀑布图法”，也有参考资料称之为谱阵分析，常用于检测旋转机械的振动特性。

1.2.5 信号特征对系统的基本要求

一般来说，待测工业参数可分为静态量和动态量两大类。静态量是不随时间变化或变化缓慢的量，动态量是随时间变化的量。静态量的测量通常采用普通的模拟式和数字式测量系统即可。而动态量的测量需要采集被测量各个时刻的数据。因此，它需要采用智能化的现代电子信息系统来实现。

1.信号的时域特征对系统的基本要求

被测信号随时间变化的波形常常是比较复杂的，而且一般都没有预知的时间函数关系式，但是从统计规律看，被测信号幅度变化的范围一般是可以确定的。

若被测信号幅度的最大值和最小值分别用xmax和xmin表示，则被测信号的动态范围表示为

作为动态量测量系统，它的测量范围的下限应小于xmin，测量范围的上限应大于xmax，即系统能容纳的动态范围应大于被测信号的动态范围。

2.信号的频域特征对系统的基本要求

任何一个周期为T的周期信号x（t），都可展开成一个静态分量x0和无限多个谐波分量（幅值为xn，相角为ϕn）的和，即

通常把频率为的分量称为基波，频率为2f1，3f1，…的分量称为二次谐波，三次谐波……。如图1.2.11所示为周期方波信号的分解与合成示意图。

若以圆频率（或频率）为横坐标，幅值An及相角ϕn为纵坐标绘制成如图1.2.12所示的线图，则称为频谱图。其中An-ω（或An-f）图称为幅值谱，ϕn-ω（或ϕn-f）图称为相位谱。该图直观地表示出了各频率分量的相对大小。图中的每条线代表某一频率分量的幅值，称为谱线。连接各个谱线顶点的曲线（图中虚线）称为包络线，它反映各分量幅值的变化情况。

周期信号的幅值谱是由以基频ω1为间隔的若干离散谱线组成的，其分布情况取决于信号的波形。信号频谱的疏密程度与信号的基波周期直接有关，周期越长，即基频越低，谱线之间的距离越小。当信号周期无限增大时，谱线间的距离将无限缩小，最后当信号成为非周期信号时，其频谱将从离散转变为连续。

非周期信号x（t）不能用式（1-2-26）的傅里叶级数来描述，而必须用傅里叶积分来描述。时间函数x（t）的傅里叶变换X（ω）称为非周期信号x（t）的频谱密度，有

X（ω）=|X（ω）|ejϕ（ω）（1-2-27）

式中，模量|X（ω）|称为x（t）的幅值谱密度；ϕ（ω）称为相位谱密度。

综上所述，利用傅里叶级数或傅里叶积分可以建立时域函数（波形）与频域函数（频谱）之间的一一对应关系。因此，可以肯定，一个信号只要在通过系统时其频谱不发生改变，那么它的波形也就不会发生失真。

理论上，周期信号的谐波分量有无限多个，非周期信号的频谱函数的ω也趋于无穷大，但是实际信号能量大部分集中在主频附近一个有限的频率范围内，这个频率范围才是实际要测量的信号频率范围。假设需要感知的信号的最低频率和最高频率分别为fmin和fmax，那么现代电子信息系统的通频带的上限（即高截止频率）应不小于fmax，通频带的下限（即低截止频率）应不高于fmin。

现代电子信息系统的测量范围和通频带只有能容纳被测信号的幅度范围和频率范围，被测信号才有可能被无失真的测量，信号中携带的信息也才有可能不失真、不丢失。因此，测量范围与通频带是动态信号对现代电子信息系统的两个基本技术要求。