1.2 信号的基本知识

1.2.1 信号的定义

广义地说，信号就是随时间和空间变化的某种物理量。例如，在通信工程中，一般将语言、文字、图像、数据等统称为消息。在消息中包含着一定的信息，信息是不能直接传送的，必须借助于一定形式的信号（声信号、光信号、电信号等）才能进行传送和各种处理。因此，信号是消息的载体，而消息则是信号的内容。

在数学上，信号可以表示为一个或多个独立变量的函数。例如，一个语音信号可以表示为声压x随时间t变化的函数，记为x（t）；静止的黑白图像信号可以表示为亮度（或称灰度）f随二维空间坐标x、y变化的函数，记为f（x，y）；活动的图像信号可表示为亮度f随二维空间坐标x、y和时间t变化的函数，记为f（x，y，t）等。本书主要讨论目前应用广泛的电信号（一般是随时间、位置变化的电流或电压），讨论的范围也仅限于一个独立的变量（即一维信号）。为了方便，以后总以时间表示自变量（尽管在某些具体应用中，自变量不一定是时间）。

信号常可以表示为时间函数（或序列），称该函数（或序列）的图像为信号的波形。后面在讨论信号的有关问题时，“信号”和“函数（或序列）”两个词可以相互通用，不予区分。

信号的特性可以从时间特性和频率特性两方面来描述。信号的时间特性是指从时间域对信号进行的分析，如信号的波形，出现时间的先后，持续时间的长短，随时间变化的快慢和大小，重复周期的大小等。信号的频率特性是指从频率域对信号进行的分析，如任一信号都可以分解为许多不同频率（呈谐波关系）的余弦分量，而每一余弦分量则可用它的振幅和相位来表征。时域和频域是两种不同的观察和表示信号的方法。信号的时间特性和频率特性有着密切的联系，不同的时间特性将导致不同的频率特性，这种关系将在第4章中讨论。

1.2.2 信号的分类

信号的种类很多，从不同的角度可以有不同的分类方法。信号按照属性可分为电信号和非电信号两类；按数学的对称性，可以分为奇信号、偶信号、非对称信号。这里仅从信号的数学描述出发，介绍几种与信号的性质和特征相关的信号分类。

1.确定信号与随机信号

若信号可以由一确定的数学表达式（时间函数式）表示，或者信号的波形是唯一确定的，则这种信号就是确定信号，如正弦信号。反之，如果信号不能用确定的图形、曲线或函数式来准确描述时，其具有不可预知的不确定性，则称为随机信号或不确定信号，如图1-2所示。

任意给定一时刻值时，对确定信号可以唯一确定其信号的取值；而对于随机信号而言，其取值是不确定的。严格来说，在自然界中确定信号是不存在的，因为在信号传输过程中，不可避免地要受到各种干扰和噪声的影响，这些干扰和噪声都具有随机性。对于随机信号，不能将其表示为确切的时间函数，要用概率、统计的观点和方法来研究它。尽管如此，研究确定信号仍是十分重要的，这是因为它是一种理想化的模型，不仅适应于工程应用，也是研究随机信号的重要基础。本书只分析确定信号。

2.连续时间信号与离散时间信号

根据信号定义域取值是否连续，可将信号分为连续时间信号和离散时间信号。

连续时间信号（简称连续信号）是指在某一时间间隔内，对于任意时刻（除若干不连续点外）都可以给出确定的函数值的信号，如图1-3所示。在本书中，连续时间信号一般用f（t）表示，t为自变量。连续时间信号的幅值可以是连续的（即可以是任何实数），也可以是离散的（即只能取有限个规定的数值）。对于时间和幅值都连续的信号，又称其为模拟信号。

离散时间信号（简称离散信号）是指仅在某些不连续的瞬间有定义，在其他时间没有定义的信号，如图1-4所示。在本书中，离散时间信号一般用f（k）表示，k为自变量。离散时间间隔一般都是均匀的，也可以是不均匀的。本书只讨论离散时间间隔均匀且离散时刻为整数的情况（即k=0，±1，±2，…），这样的离散时间信号也叫做序列。离散时间信号可以通过对连续时间信号采样（抽样）而得到。

如果离散时间信号的幅值是连续的，即幅值可以取任何实数，则称为抽样信号；如果离散时间信号的幅值只能取某些规定的数值，则称为数字信号。

序列f（k）的表达式可以写成闭合形式，也可以逐个列出f（k）的值。通常把对应某序号m的序列值叫做第m个样点的“样值”。图1-4中的信号可以表示为

为简便起见，信号f（k）也可表示为

3.周期信号与非周期信号

在确定信号中根据信号是否具有周期性可以分为周期信号和非周期信号。

所谓周期信号就是指在（-∞＜t＜∞）区间，每隔一定时间，按相同规律重复变化的信号，如图1-5所示。

连续周期信号可以表示为

离散周期信号可以表示为

满足上述两关系式的最小T（或N）值叫做信号的周期。只要给出周期信号在任意周期内的函数式（或波形），便可确定它在任意时刻的值。

非周期信号在时间按上不具有周而复始变化的特性，并且不具有周期T（或者认为周期T是趋于无限大的情况）。真正的周期信号实际上是不存在的，实际中所谓的周期信号只是指在相当长的时间内按照某一规律重复变化的信号。

注意：①两个连续的周期信号之和不一定是周期信号，只有当这两个连续信号的周期T1与T2之比为有理数时，其和信号才是周期信号，周期T为T1、T2的最小公倍数；②两个离散的周期序列之和一定是周期序列，其周期N等于两个序列周期的最小公倍数。

4.实信号与复信号

实信号是指物理上可以实现的，取值是实数的信号。它常常为时间t（或k）的实函数（或序列），如正弦函数、单边指数函数等。实信号的共轭对称信号是它本身。

复信号指取值为复数的信号。虽然实际上不会产生复信号，但为了理论分析的需要，常常引用数值为复数的复信号，最常用的是复指数信号。

连续信号的复指数信号可表示为

式中，s=σ+jω，其中σ是s的实部，记作Re[s]；ω是s的虚部，记作Im[s]。

根据欧拉公式，式（1-3）可以展开为

式（1-4）表明一个复指数信号可以分解为实部与虚部两部分。其中，实部为余弦信号，虚部为正弦信号。指数因子的实部σ表征了正弦和余弦的振幅随时间变化的情况。若σ＞0，则正、余弦信号为增幅振荡；若σ＜0，则为衰减振荡。指数因子的虚部ω则表示正、余弦信号的角频率。利用复指数信号可以描述许多基本的信号，如直流信号（σ=0，ω=0）、指数信号（σ≠0，ω=0）等。

复指数信号的重要特性之一就是它对时间的导数和积分仍为复指数信号。

5.能量信号与功率信号

按照信号的能量特点，可以将信号分为能量信号和功率信号。

如果在无限大的时间间隔内，信号的能量为有限值而平均功率为零，则称此信号为能量有限信号，简称能量信号。

如果在无限大的时间间隔内，信号的平均功率为有限值而总能量为无限大，则称此信号为功率有限信号，简称功率信号。

信号f（t）的能量（用字母E表示）定义为

信号f（t）的功率（用字母P表示）指的是其平均功率，定义为

持续时间有限的非周期信号都是能量信号，而直流信号、周期信号、阶跃信号等都是功率信号，因为它们的能量为无限大。一个信号不可能既是能量信号又是功率信号，但有少数信号既不是能量信号也不是功率信号，如e-t。

序列f（k）的能量定义为

序列f（k）的功率定义为