2.3 逻辑函数的表达式

逻辑函数的表达式可以分为常用表达式和标准表达式两类。

2.3.1 逻辑函数常用表达式

逻辑函数的常用表达式包括与或式、与非与非式、或与式、或非或非式和与或非式。

1. 与或式

与或式的特点是先与运算后或运算。例如：

与或式用与逻辑和或逻辑实现，其逻辑图如图2.16（a）所示。

2. 与非与非式

与非与非式由与或式按还原律两次取反后，再用德·摩根定律展开得到。例如：

与非与非式全部用与非逻辑实现，它是逻辑电路传统设计中最常用的表达式，其逻辑图如图2.16（b）所示。

3. 或与式

或与式的特点是先或运算后与运算。例如：

或与式用或逻辑和与逻辑实现，其逻辑图如图2.16（c）所示。

4. 或非或非式

或非或非式由或与式按还原律两次取反后，再用德·摩根定律展开得到。例如：

或非或非式全部用或非逻辑实现，这也是传统设计中常见的一种形式，其逻辑图如图2.16（d）所示。

5. 与或非式

与或非式的格式如下：

与或非式用与或非逻辑实现，其逻辑图如图2.16（e）所示。

2.3.2 逻辑函数的标准表达式

逻辑函数的标准表达式包括最小项表达式和最大项表达式，最小项表达式由最小项构成，最大项表达式由最大项构成。

1. 最小项和最大项

（1）最小项

在n个变量的逻辑函数中，若m为包含n个变量的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。

例如，A、B、C三个变量的最小项有 ABC共8个，而且这三个变量均以原变量或反变量的形式在每个最小项中出现一次。

根据最小项的定义，它具有如下的重要性质：

① 在变量的任何取值下必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1。例如，三变量最小项，只有A = 0、B = 1、C = 1时， = 1。如果把的取值011看作一个二进制数，那么它所代表的十进制数就是3。为了方便最小项的表示，将记作 m3。按照这一约定，可以得到三变量最小项的编号表，如表2.11所示。n个变量则有2n个最小项，记作m0，m1，…，mn−1。

② 全体最小项之和为1。

③ 任意两个最小项的乘积为0。

④ 具有相邻性的两个最小项之和可以合并为一个乘积项，消去一个以原变量和反变量形式出现的变量，保留由没有变化的变量构成的乘积项。

如果两个最小项中只有一个变量以原变量和反变量形式出现，其余的变量不变，则称这两个最小项具有相邻性。例如，和两个乘积项中，只有变量A以原变量和反变量形式出现（和A），其余的变量B、C不变（），所以它们具有相邻性。这两个最小项相加时定能合并为只包含没有变化的变量构成的一个乘积项，消去以原变量和反变量形式出现的变量A。

证：

（2）最大项

在n个变量的逻辑函数中，若M是包含n个变量的和项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次，则称M为该组变量的最大项。

例如，A、B、C 三个变量的最大项共8个，而且这三个变量均以原变量或反变量的形式在每个最大项出现一次。

根据最大项的定义，它具有如下的重要性质：

① 输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且仅有一个最大项的值为0。例如，对于最大项，只有 A = 0、B = 1、C = 1 时，。如果把ABC的取值011看作一个二进制数，并以其对应的十进制数值3给该最大项编号，则可记作 M3。按照这一约定，得到三变量最大项的编号表，如表2.12所示。n个变量则有2n个最大项，记作M0，M1，…，Mn−1。

② 全体最大项之乘积为0。

③ 任意两个最大项之和为1。

④ 具有相邻性的两个最大项之和可以合并为一个和项，消去一个以原变量和反变量形式出现的变量，保留由没有变化的变量构成的和项。

若两个最大项中只有一个变量以原变量和反变量形式出现，其余的变量不变，则称这两个最大项具有相邻性。例如，和两个最大项中只有变量A以原变量和反变量形式出现（和A），其余的变量B、C不变（B+），所以它们具有相邻性。这两个最大项相乘时定能合并为只包含取值没有变化的变量构成的一个和项（B+），消去以原变量和反变量形式出现的变量A。

证：

2. 最小项表达式

全部由最小项构成的“积之和”式叫做最小项表达式，它是一种标准表达式，也称为标准与或式。

由真值表按最小项规则直接写出来的表达式，就是最小项表达式。在例2.2中，由表2.9用最小项法推导的3人表决器电路的最小项表达式为：

该式也可以用最小项的编号形式写成：

或写成：

式（2.34）～式（2.36）是最小项表达式的3种不同形式。式中的m∑ 表示最小项之和。

利用基本公式A+A=1可以把任何一个逻辑函数化为最小项表达式，这种标准形式在逻辑函数化简以及计算机辅助分析和设计中得到了广泛的应用。

例如，给定逻辑函数为：

则可化为： 367=m +m +m =∑m(3,6,7)

3. 最大项表达式

全部由最大项构成的“和之积”式叫做最大项表达式，它是一种标准表达式，也称为标准或与式。

在例2.2中，由表2.9用最大项法推导出的3人表决器电路的最大项表达式为：

根据最大项编号规则，最大项表达式也可以写成：

或写成：

式中，∏M表示最大项之积。

式（2.37）～式（2.39）是最大项表达式的三种不同形式。