第1篇 静力学

在日常生活和生产实践中，人们最常见的一种运动是机械运动。所谓机械运动，是指物体在空间的位置随时间的变化。静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学，是研究物体机械运动的特殊情形——平衡问题。

静力学中的平衡，是指物体相对于地面保持静止或做匀速直线运动的状态。物体的平衡总是暂时的、相对的。例如，在直线轨道上运动的列车，当牵引力和摩擦力相等时做匀速直线运动，因这种受力关系很难时刻维持，所以平衡是暂时的。又如，地面上的建筑物看来是静止的，但它随着地球的自转和公转却又不断地运动着，所以平衡是相对的。

在工程实践中，经常遇到物体处于平衡状态下的受力分析问题。像许多机器的零件和结构构件，如机床的主轴、丝杠、起重机的起重臂等，它们在工作时处于平衡状态或可近似地看做处于平衡状态。为了合理地设计这些零件和构件的形状、尺寸，选用恰当的材料，往往需要对它们进行强度、刚度或稳定性的分析计算。为此，必须首先运用静力学知识，对零件和构件进行受力分析，并根据平衡条件求出这些力。例如图I-1所示的简易吊车，为了保证它能正常工作，需要合理地确定各构件的尺寸，为此必须首先分析和计算各构件所受的力；又如图I-2所示的斜楔夹紧机构，为了保证斜楔在夹紧后不致松脱，就必须分析斜楔的受力情况，从而找出α应满足的条件。学习静力学，主要研究力系的简化及物体在力系作用下的平衡问题，为解决这类问题提供必要的基础知识。

第1章 静力学基础

【内容提要】

静力学是研究物体平衡的普遍规律，即研究物体平衡时作用于物体上的力所应满足的条件。所谓物体的平衡，就是指物体的运动状态不变，包括静止或做匀速直线运动两种情况。在静力学中，都是相对于地球而说的。静力学基础主要阐述：力的概念与刚体的概念，静力学理论的四大公理和物体的受力分析。

1.1 静力学的基本概念

1.1.1 力的概念

自古以来，人们从生产劳动和日常生活中，通过推、拉、提、掷等活动，由于肌肉的紧张收缩，感到人对物体施加了力，因而使物体的运动状态发生变化。如用手推小车，小车受到了力的作用由静止开始运动；物体受地球引力作用而自由下落时，速度将越来越快；用汽锤锻打工件，工件在锻锤打击力作用下会发生变形，等等。人们就从这样大量的实践中，由感性认识上升到理性认识，形成了力的科学概念：力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化，同时使物体发生变形。因此，力不能脱离实际物体而存在。

力使物体运动状态发生改变的效应称为力的外效应，而力使物体产生变形的效应称为力的内效应。静力学主要研究力的外效应，材料力学研究力的内效应。

实践表明，力对物体的效应决定于三个要素：（1）力的大小；（2）力的方向；（3）力的作用点。三个要素中有任何一个改变时，力的作用效应也随之改变。

在国际单位制中，力的单位为牛顿或千牛顿，简写为牛（N）或千牛（kN）。目前工程中，有的仍沿用工程单位制，以公斤力（kgf）作为力的单位。牛顿和公斤力的换算关系为

1公斤力（kgf）=9.8牛顿（N）

力对物体的效应不仅决定于它的大小，而且还决定于它的方向，所以力是矢量。

力可用一有向线段来表示，如图1-1所示。线段的长度按一定的比例表示力的大小（图中F的大小为40N）；线段的方位和箭头的指向表示力的方向；线段的起点（或终点）表示力的作用点。过力的作用点沿力的方向引出的直线称为力的作用线。

力矢量通常用黑体字母（如F）或带箭头的字母（如）来表示，其大小则用不带箭头的字母（如F）来表示。

1.1.2 刚体的概念

力对物体的效应，除了使物体的运动状态发生变化外，还使物体发生变形。在正常情况下，工程上的机械零件和结构构件在力的作用下发生的变形是很微小的，这种微小的变形对研究力的外效应影响很小，可以忽略不计。这样物体就被看成是不变形的，从而使问题的研究得到简化。这种受力后大小和形状都保持不变的物体称为刚体。

如果研究的问题中物体的变形成为主要因素时，例如在材料力学中，就不能再将物体看做刚体。

1.1.3 平衡的概念

前面已经提到，在工程上物体相对于地球处于静止或做匀速直线运动的状态称为平衡。平衡只是物体机械运动的特殊形式。必须注意，运动是绝对的，而平衡、静止则是相对的。所谓相对，就是暂时的，有条件的。如果作用于物体上的力系满足一定条件，物体可以处于平衡状态，一旦物体所受的力发生变化，平衡的条件被破坏，物体就由平衡状态转化为不平衡状态。如果物体在力系作用下处于平衡状态，这种力系称为平衡力系。力系平衡所满足的条件称为平衡条件。

1.2 静力学公理

静力学公理阐述了有关力的一些基本性质。这些性质是人们在长期的生活和生产实践中，通过对力学现象的观察和实验再加以概括和总结而提出的。公理的正确性，又为大量的实践所证实，它是静力学理论的基础。

公理1 二力平衡公理：欲使受两力作用的刚体保持平衡，其必要和充分条件是：该两力大小相等、方向相反并作用于同一直线上。如图1-2所示。

只受两力作用而处于平衡的构件称为二力构件，简称二力杆。二力杆的受力特点是：所受的两力必定沿作用点的连线。工程上常根据这一特点来确定二力构件所受力的方向。

必须注意，对于非刚体来说，二力平衡条件只是必要条件而非充分条件。例如绳索的两端受到等值、反向、共线的两个拉力时处于平衡，但如受到等值、反向、共线的两个压力，就不能平衡了。所以对于像绳索一类的柔性体，只有在受拉的情况下，才能应用二力平衡公理。例如图1-3（a）所示的棘轮机构中的棘爪AB，当不计其自重时就是二力杆。FA和FB两力必定沿A与B两点的连线，见图1-3（b）所示。

公理2 加减平衡力系公理：在作用于刚体上的任一力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效应。

力系：作用于物体上的一群力称为力系。

平衡力系：如果物体在力系作用下处于平衡状态，这样的力系就称为平衡力系。

这是由于平衡力系中各力对刚体作用的外效应彼此抵消。

应用二力平衡公理和加减平衡力系公理，可得如下的推论。

推论1 力的可传性原理：作用于刚体上的力可沿其作用线移至刚体上的任一点，而不改变此力对刚体的作用效应。

此原理证明如下所述。

（1）设力F作用于刚体上A点，见图1-4（a）所示。

（2）在力F的作用线上任选一个B点，并在B点加一组沿AB线的平衡力F1和F2，且使F2=F=-F1，见图1-4（b）所示。

（3）除去F与F1所组成的一对平衡力，刚体上只剩下F2，且F2=F（见图1-4（c）所示）。F2与F的作用效果是相等的。

由力的可传性原理可知，力对刚体的作用取决于力的大小、方向和作用点三个要素。

必须指出，力的可传性原理仅适用于刚体。对于需要考虑变形的物体，力不能沿其作用线移动，因为移动后将改变物体内部的受力和变形情况。例如图1-5所示的AB杆，原来受两拉力作用而产生拉伸变形（见图1-5（a）所示）；若将两力沿着作用线分别移至杆的另一端（见图1-5（b）所示），杆将受压而产生压缩变形。

公理3 力的平行四边形法则：作用于物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。

合力也作用于同一点，其大小和方向由以该两力为邻边所构成的平行四边形的对角线来表示，见图1-6（a）所示，图中F1和F2两力称为合力R的分力。

上述法则说明，两个相交力的合成不能简单地将其数值大小相加，而必须按平行四边形法则相加。

这种力合成的方法称为矢量加法。合力等于两分力的矢量和。可用矢量式表示为

R=F1+F2

显然，上述矢量等式不能与代数等式R=F1+F2相混，因为两者的含义不同。

求合力R时，也可以只做出力的平行四边形的一半（见图1-6（b）所示），即从力F1的终点b做力F2，再连接a，c两点成矢量，即得合力R。由此而构成的三角形abc称为力三角形。合力与分力所遵循的这种力三角形关系称为力三角形法则。

应用力的平行四边形法则或力三角形法则，也可以将一个力分解为两个力，但这是有条件的。一般是沿着两个已知方向分解为两个分力。

应用上述几条静力学的基本公理和法则又可得如下的推论。

推论2 三力平衡汇交定理：刚体受不平行的三个力作用而平衡时，这三个力的作用线必汇交于一点。

下面来证明这一推论。

现有不平行的三个力F1，F2，F3作用于刚体上（见图1-7（a）所示）而刚体平衡，这是因为F1和F2的作用线必相交于某点O，将F1和F2分别沿作用线移到O点，求出它们的合力R（见图1-7（b）所示），R应与F3相平衡，根据二力平衡条件R与F3必须共线，亦即F3的作用线必通过O点。这就证明了三力平衡汇交定理。它是不平行三力平衡的必要条件，而非充分条件。当刚体受不平行三力而处于平衡时，利用这个定理可以确定未知力的方向。

公理4 作用与反作用定律：两物体间相互作用的力，总是大小相等、方向相反、沿同一作用线，并分别作用于两个物体上。

这个定律表明，力总是成对出现的。有作用力，必定有反作用力。两者同时存在，同时消失。

要强调指出的是：作用力与反作用力虽然等值、共线、反向，但并不作用于同一物体上。因此，不能误认为这两个力互成平衡。这与二力平衡公理有本质的区别。

1.3 约束、约束反力与受力图

1.3.1 研究对象与受力图的概念

研究物体的平衡问题时，首先必须分析物体受到哪些力的作用。为了清楚地表示物体的受力情况，需要将研究的物体从与之相联系的周围物体中分离出来，单独画出该物体的图形并表示出它受到的全部作用力。这种图称为受力图。所研究的这一物体称为研究对象。正确地选取研究对象并做出它的受力图，是进行力学计算的关键。

1.3.2 约束与约束反力

约束：对物体运动的限制。

约束体：构成约束的周围物体。

约束反力：约束体作用于研究对象上的力，简称反力。

约束反力的方向总是与约束体所能限制的运动方向相反。这是确定约束反力方向的一个原则。

凡能主动引起物体运动或使物体有运动趋势的力，称为主动力（如重力、切削力、电磁力）。物体所受的主动力往往是给定的或可测定的，而约束反力则由主动力所引起，是属于被动性质的一种力。约束反力的方向，一般可根据约束的类型予以确定；至于约束反力的大小，在静力学中需要通过平衡条件求出。

1.3.3 工程上常见的几种约束类型及其反力方向的确定

1.柔性体约束（简称柔索）

由柔软的绳索、胶带、链条等构成的约束称为柔性体约束，由于柔性体约束只能限制研究对象沿着柔性体中心线拉直的方向运动，因此，柔性体给被约束物体的力，方向一定沿着柔性体，并且只能是拉力。常用字母T，S表示。

例如用铁链吊起一减速箱盖，见图1-8（a）所示，G是箱盖的重力，根据柔性体反力的特点，可以确定铁链给铁环的力一定是拉力（T，TB，TC），铁链给箱盖的力也是拉力（SB，SC）。同理，可以确定在皮带传动中皮带给两个皮带轮的力都是拉力，见图1-8（b）所示。

2.光滑接触面（线）约束

物体与光滑支承面接触时（见图1-9所示），由于不计摩擦，因而支承面并不能限制物体沿其切线方向移动，而仅能阻止物体沿接触面的法线方向向下运动。因此，光滑接触面给被约束物体的力，方向必沿接触面的公法线，并且只能是指向被约束物体，常用字母N表示。

圆柱形工件搁置于V形铁上所受到的约束，见图1-10所示，杆件搁置于凹槽中所受到的约束（见图1-11所示），均属于此类约束。

3.光滑圆柱铰链约束

工程上常用铰链将桥梁、起重机起重臂等结构同支承面或机架等连接起来，这就构成了铰链支座。这类约束在工程上有下列几种主要形式。

（1）固定铰链支座。固定铰链支座由底座、被连接构件和销钉三个主要部分构成，见图1-12（a）所示。这种支座的连接情况是将销钉插入被连接构件和底座上相应的销孔内，再用螺钉将底座固定于其他基础或机架上。于是，在垂直于销钉轴线的平面内，被连接构件只能绕销钉的轴线转动而不能任意移动，见图1-12（b）所示。当被连接构件作为研究对象并受有一定的载荷时，其上的销孔壁便紧压于销钉的某处，于是销钉便通过接触点给予研究对象一个反作用力R，见图1-12（c）所示。根据光滑接触面约束的特点可知，这个约束反力应沿着圆柱面接触点的公法线，通过销钉中心。随着研究对象所受载荷的不同，销孔与销钉接触点的位置也有所改变，以致反力的方向也随着变化。因而固定铰链支座的约束反力的作用线必定通过销钉中心，但方向需要根据研究对象的受载情况来确定。

工程上，固定铰链支座常用图1-13（a）所示的简图来表示。通过销钉中心而方向待定的约束反力，常用两个相互垂直的分力Rx，Ry来表示，见图1-13（b）所示。两分力的指向可以假定，通过计算将能判定其正确性。

用圆柱销钉将两个构件连接在一起而构成的销钉连接，见图1-14（a）所示，工程上称为中间铰链，中间铰链常用如图1-14（b）所示的图形表示。两构件通过中间铰链而互为约束，其约束反力的分析与固定铰链支座相同。

（2）活动铰链支座。如果固定铰链支座中的底座不用螺钉而改用辊轴与支承面接触（见图1-15（a）），便形成了活动铰链支座。这种支座常在桥梁、屋架等结构中采用，以保证温度变化时结构可做微量的伸缩。活动铰链支座常用如图1-15（b）所示的简图表示。这种支座能够限制被连接构件沿着支承面的法线方向运动，因而在不计摩擦的情况下，活动铰链支座的约束反力的作用线必通过销钉的中心且垂直于支承面，并指向研究对象，如图1-15（c）所示。

两种铰链支座的约束反力均可用字母R来表示，其中活动铰链支座的约束反力也可用字母N来表示。

工程上某些构件的支承，常可简化成一端为固定铰链支座、另一端为活动铰链支座约束，见图1-16（a）所示。根据构件所受的载荷，可画出其受力图，见图1-16（b）所示。

4.二力杆约束

如图1-17（a）所示的简易起重装置，当取AB杆为研究对象分析时，CD杆对它构成了约束。为分析C处的约束反力，需要分析CD杆的受力情况：由于CD杆自重不计时为两端受力，根据二力平衡定理，作用于其上的两力SC，SD必沿着C，D两点的连线（见图1-17（b）所示），因而CD杆对于AB杆的约束反力SC′也必沿此直线并背离AB（拉住AB），如图1-17（c）所示。因此，二力杆的约束反力必沿两铰链中心的连线，背离或指向研究对象，常用字母S表示。

下面再举例说明物体受力图的画法。

【例1-1】 两只油桶堆放在槽中，如图1-18（a）所示，桶重分别为P1、P2，试分析每个桶的受力情况。

解：先分析桶Ⅰ的受力情况。取桶Ⅰ为研究对象画出分离体；桶Ⅰ上的主动力只有自重P1：桶Ⅰ在A和B两处都受到光滑面约束，其约束反力NA、NB都通过桶Ⅰ的中心。桶Ⅰ的受力图如图1-18（b）所示。

再分析桶Ⅱ的受力情况。取桶Ⅱ为研究对象画出分离体；桶Ⅱ上的主动力除自重P2外，还有上面桶Ⅰ传来的压力，注意到与NB互为作用力与反作用力关系，必通过桶Ⅱ的中心，且有=-NB，桶Ⅱ在C、D处受有光滑面约束，其约束反力NC、ND都指向桶Ⅱ且通过其中心。桶Ⅱ的受力图如图1-18（c）所示。

【例1-2】 三角架由AB，BC两杆连接而成。销B处悬挂重G的物体，A，C两处用铰链与墙固连，如图1-19（a）所示。不计杆的自重，试画B点处的受力图。

解：以B点为研究对象。将B点从整个结构中分离出来，以便画它的受力图。

B点除受主动力G作用外，还受到杆AB和BC的约束反力作用。由于两杆都是两端铰接而自重不计的二力杆，所以它们的反力SAB，SBC分别沿着两铰链中心的连线。又根据两杆对B所起的拉、撑作用，即可定出反力SAB，SBC的指向，如图1-19（b）所示。

【例1-3】 梯子的AB，AC两部分在A处以铰链连接，并在D，E两处用水平绳索相连。在梯子的一边作用一垂直方向的载荷P，如图1-20（a）所示。不计梯子的自重与接触面间的摩擦，试画AB，AC的受力图。

解：先取AB为研究对象（见图1-20（b））作用于其上的主动力为P，所受的约束反力可根据约束类型分析如下：B处为光滑接触面约束，反力NB垂直于支承面并指向AB；D处为绳索约束，反力T1沿绳索背离AB；A处为销钉连接，其反力以两分力RAx，RAy表示，并假设RAx向右，RAy向上。

再取AC为研究对象（见图1-20（c））。由AB通过A传给AC的力为，它们与RAx，RAy是作用力与反作用力关系，故两者的指向应相反；C，E两处的约束反力的分析方法同上。

本章小结

1．静力学主要研究力系的简化及物体在力系作用下的平衡问题。

2．力是物体间的相互作用，力的外效应是使物体的机械运动状态发生改变。力的三要素是大小、方向和作用点。

3．静力学基本公理揭示了力的基本性质，它是整个静力学的理论基础。二力平衡公理是静力学最基本的平衡条件，利用二力构件的平衡条件可作为判断某些约束反力方向的方法；加减平衡力系公理是力系等效代换和转化的理论基础；力的平行四边形公理说明力的运算符合矢量运算法则，是力系简化的理论基础。作用与反作用公理说明力是物体间的相互作用，阐述自然界力的存在形式以及力在物系内部的转移过程。

4．限制物体运动的物体称为约束。约束阻碍物体运动趋向的力称为约束力，约束反力的方向与约束限制物体运动趋向方向相反。

5．在分离体上画出构件所受的全部外力的图形称为受力图。在受力图上只画外力，不画内力，要解除约束后才能画上约束反力作为外力。

思考题和习题1

1-1 画出如图1-21所示各指定物体的受力图。假定所有接触面都是光滑的，其中未画上重力的物体均不考虑自重。

1-2 画出如图1-22所示各指定物体的受力图。假定各接触面都是光滑的，其中未画上重力的物体均不考虑自重。

1-3 液压机械手如图1-23所示，已知压力油作用于活塞上的总压力为P。该机械手通过活塞杆、连接杆带动卡爪而压紧工件。不计各杆件自重和各接触面间的摩擦，试分别画出活塞杆、连接杆和卡爪的受力图。

1-4 已知直圆筒重为P，圆球体重为G，试比较图1-24（a）、（b）中所示圆球体及直圆筒受力的差别。图（a）所示直圆筒是无底无盖，图（b）所示直圆筒是有底无盖。