第2章 平面力系

【内容提要】

本章主要是介绍平面力系的合成与平衡问题。分析研究作用于物体上各力作用线位于同一平面内，但根据作用线分布可分成：平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系和平面任意力系。建立平面力系的平衡条件和平衡方程式，求解平面力系。并简单介绍物体系统的静定与静不定问题，考虑摩擦时的平衡问题。

2.1 平面汇交力系

2.1.1 平面汇交力系及其实例

各力的作用线在同一平面内并且相交于一点的力系，称为平面汇交力系。起重机匀速起吊钢管时的受力情况如图2-1（a）所示。当以钢管为研究对象分析其受力时，其上除作用有重力G以外，还受到两端绳索的拉力T1与T2的作用，如图2-1（b）所示。这三个力的作用线位于同一平面内，且汇交于A点。

2.1.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法

1.力在坐标轴上的投影

设力F如图2-2所示，在力F的作用平面内选取直角坐标系Oxy。过力F的起点A与终点B分别向x，y轴做垂线，得垂足a1，b1和a2，b2，则线段a1b1称为力F在x轴上的投影，以Fx表示；线段a2b2称为力F在y轴上的投影，以Fy表示。

力在坐标轴上的投影是代数量，其正、负号规定如下：当力F的投影指向（即从a1到b1，或从a2到b2的指向）与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，反之为负值。

设力F与x轴所夹的锐角为α，则力的投影一般可写为

当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；力与坐标轴平行时，其投影的绝对值就等于力的大小。

【例2-1】 已知F=100N，P=200N，Q=250N，S=150N，各力方向如图2-3所示，其中P的方向平行于y轴，试求上述四力在x，y轴上的投影。

解：F方面Fx=-Fcos30°=-100cos30°=-86.6（N）

Fy=-Fsin30°=-100sin30°=-50（N）

P方面Px=0

Py=-P=-200（N）

Q方面Qx=Qcos45°=250cos45°=176.8（N）

Qy=Qsin45°=250sin45°=176.8（N）

S方面Sx=Ssin30°=150sin30°=75（N）

Sy=-Scos30°=-150cos30°=-129.9（N）

2.合力投影定理

设刚体受一平面汇交力系F1，F2，F3作用，如图2-4（a）所示，其合力R可用力多边形法则各力首尾相接求出，如图2-4（b）所示。在力多边形所在的平面内取直角坐标系Oxy，将力系的合力R及F1，F2，F3各力向x轴投影得

Rx=ad，F1x=ab，F2x=bc，F3x=-cd

由图2-4（b）可见

ad=ab+bc-cd

故

Rx=F1x+F2x-F3x

同理可得

Ry=-F1y+F2y+F3y

推广到三个以上汇交力，上述合力投影与分力投影的关系仍然适用。再将分力写成和的形式，于是有

即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。

3.平面汇交力系合成的解析法

用解析法求平面汇交力系的合力时，可先分别求出各力在两坐标轴上的投影并求其代数和∑Fx和∑Fy，这就是合力R在两坐标轴上的投影Rx和Ry，然后求出合力R的大小和方向α，如图2-5所示。

式中，α为合力R与x轴所夹的锐角，合力R的指向由Rx和Ry的正、负号判定。

【例2-2】 组合机床在加工某工件时，同时钻削四个径向孔。钻头对工件的压力分别为F1=1.2kN，F2=1kN，F3=1.5kN，F4=3kN，各力的方向如图2-6所示。试求此四力的合力。

解：（1）取如图2-6所示的直角坐标系Oxy，应用合力投影定理，可得R在x，y轴上的投影分别为

Rx=∑Fx=-F2cos45°-F3+F4cos30°

=-1·cos45°-1.5+3cos30°=0.391（kN）

Ry=∑Fy=-F1-F2sin45°+F4sin30°

=-1.2-1·sin45°+3sin30°=-0.407（kN）

（2）再根据式（2-3），求出合力R的大小和方向为

由于Rx为正值，Ry为负值，所以R的指向应在第四象限。

4.平面汇交力系平衡的解析条件

平面汇交力系平衡的必要与充分条件是合力等于零，即

欲使上式成立，必须同时满足

由此可得平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别都等于零。式（2-4）称为平面汇交力系的平衡方程。

式（2-4）含两个独立的平衡方程，因而一个刚体受平面汇交力系作用而处于平衡时，可求解两个未知量。下面举例说明平衡方程的应用。

【例2-3】 绳索由位于D点的铰车拖动并跨过位于A点的滑轮匀速地起吊重G=15kN的重物，如图2-7（a）所示。不计杆重及滑轮处的摩擦，并忽略滑轮的尺寸，试求杆AB和AC所受的力。

解：（1）取滑轮为研究对象，其受力情况如图2-7（b）所示。由于不计滑轮处的摩擦，故绳索中拉力为

T=G=15kN

又AB，AC杆均为二力杆，假设AB杆受拉，AC杆受压，则两杆作用于A的约束反力SAB与SAC的方向应如图2-7（b）所示。因为不计滑轮尺寸，所以G，T，SAB，SAC四力可看做一平面汇交力系。

（2）为方便解题，一般可取坐标轴与一未知力垂直。现取如图2-7（b）所示的直角坐标系Axy，使y轴与SAB垂直。运用平衡方程求解未知量，即

∑Fx=0，则有Gsin30°-Tsin45°-SAB=0

所以

SAB=Gsin30°-Tsin45°=-3.11（kN）

∑Fy=0，则有-Gcos30°-Tcos45°+SAC=0

故

SAC=Gcos30°+Tcos45°=23.6（kN）

计算结果SAB的值为负值，说明其实际方向与假设方向相反，亦即AB杆实际受压，其所受压力的大小等于3.11kN。AC杆所受压力的大小为23.6kN。

2.2 平面力偶系的合成与平衡

2.2.1 力对点之矩

在生产实践中，用扳手拧紧螺母时（见图2-8所示），其拧紧的程度不仅与力F的大小有关，而且还与螺母中心O到力F作用线间的垂直距离d有关。显然，力F的值越大，螺母拧得越紧；距离d增大时，螺母也将拧得越紧。此外，如果力F的作用方向与如图2-9所示的相反时，则扳手将使螺母松开。因此，工程中以乘积F·d并加以适当的正、负号作为力F使物体绕O点转动效应的度量，称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号mo（F）表示，即

式中，O点称为力矩中心，简称矩心。

O点到力F作用线间的垂直距离d称为力臂。通常规定：力使物体绕矩心做逆时针方向转动时，力矩为正；反之为负。

由式（2-5）可知，力对点之矩取决于力的大小和矩心位置。通常矩心的位置不同，力矩亦不相同。只有当力的作用点沿其作用线移动时，该力对矩心的力矩才不变。如果力F的作用线通过矩心（d=0），则力矩等于零，这时力不能对物体产生转动效应。力矩的单位为牛顿·米（N·m）。

【例2-4】 汽车操纵系统的踏板装置如图2-9所示。已知工作阻力R=1700N，驾驶员脚的蹬力F=193.7N，尺寸a=380mm，b=50mm，α=60°。试求工作阻力R和蹬力F对O点之矩。

解：根据式（2-5）可求得工作阻力R和蹬力F对O点的力矩分别为

mo（R）=Rbsinα=1700×0.05sin60°=73.6（N·m）

mo（F）=-Fa=-193.7×0.38=-73.6（N·m）

2.2.2 合力矩定理

下面讨论平面汇交力系的合力对平面内某一点的力矩与各分力对同一点的力矩之间的关系。

以弯柄扳手为例，如图2-10所示，设在扳手上A点处作用一力R，以螺母中心O为矩心，其力臂为d。根据式（2-5），可求得力R对O点的力矩为

现将力R分解为互相垂直的两个分力F1和F2，它们的力臂分别为d1和d2。由图2-10可得

F1=Rcosα，F2=Rsinα

d1=dcosα，d2=dsinα

两分力F1和F2对O点之矩的代数和为

由式（2-6）和式（2-7）可得

mo（R）=mo（F1）+mo（F2）

上式说明合力R对O点的力矩等于其分力F1和F2对O点力矩的代数和。这一结论虽然是从一特例中推导出来的，但是它具有普遍意义，推广后有合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩，等于各分力对同一点之矩的代数和。用数学式表示为

2.2.3 力偶与力偶矩

1.力偶与力偶矩

生产实践中，常会遇到物体上同时受到两个大小相等、方向相反、作用线不重合的平行力的作用。例如汽车驾驶员用双手转动方向盘时，作用于方向盘上的两个力，见图2-11所示；工人攻螺纹时作用于丝锥手柄上的两个力，见图2-12所示。在这样两个力的作用下，物体产生转动。将大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系视为一个基本力学量，称为力偶，以符号（F，F′）表示。力偶中两力所在的平面称为力偶作用面，两力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂。

由经验知道，物体受力偶作用产生的转动效果，不仅与力偶中力F大小成正比；而且与力偶臂d的大小成正比。力F与力偶臂d的值越大，转动效果越显著。因此，与力矩类似，工程中以乘积F·d并加以适当的正、负号作为力偶对物体转动效应的度量，并称之为力偶矩，以符号m表示，即

式（2-9）中的正、负号表示力偶的旋转方向。通常规定：力偶使物体做逆时针方向转动时，力偶矩为正；反之为负。

力偶矩的单位与力矩单位相同。

由力偶的定义可知，组成力偶的一对平行力构成了一个特殊力系，它们在其作用面内任一坐标轴上的投影的代数和等于零（图2-13）。根据合力投影定理可以得出：力偶没有合力。所以，力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡，力偶只能用力偶来平衡。

2.力偶的等效

设有一力偶（F，F′），其力偶矩m=Fd，如图2-14所示。在力偶的作用面内任取一点O为矩心，显然，力偶使物体绕O点转动的效应可用力偶中两个力F，F′对O点之矩的代数和来度量。设O点到力F′作用线间的垂直距离为x，则力偶中两个力F和F′对O点之矩的代数和为

mo（F）+mo（F′）=F（x+d）-F′x=Fd=m

这说明，力偶中两力对其作用面内任一点的力矩的代数和为一常数，并等于力偶矩。也就是说，力偶对物体的转动效应完全决定于力偶矩的大小与转向，而与矩心的位置无关。因此，如果两个力偶的力偶矩大小相等而且转向相同，则这两个力偶对物体就有相同的转动效应，并称它们为等效力偶。由此还可得出下面两个推论：

（1）力偶可以在其作用面内任意转移，而不会改变该力偶对物体的作用效果；

（2）在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改变力偶中的两个力和力偶臂的大小，而不会改变力偶对物体的作用效果。

以上推论很容易在实践中得到验证。例如汽车驾驶员转动方向盘时，无论两手作用于A，B两处，还是作用于C，D两处（见图2-15），只要作用在方向盘上的力偶矩不变，其转动效果总是相同的。同样道理，用丝锥攻螺纹时，无论两手作用于A，B两处，还是作用于C，D两处（见图2-16），只要两手作用在丝锥手柄上的力偶矩不变，即F1d1=F2d2，丝锥的转动效果也是相同的。

由于力偶对物体的作用完全决定于力偶矩的大小和转向，因此，力偶也可用一带有箭头的弧线来表示。如图2-17所示的就是同一个力偶的三种不同表示法。

2.2.4 平面力偶系的合成与平衡

1.平面力偶系的合成

作用于同一平面内的两个或两个以上的力偶称为平面力偶系。

设有两个力偶（F1，）和（F2，）组成一平面力偶系，它们的力偶矩分别为m1=F1d1和m2=F2d2，如图2-18（a）所示，现求其合成的结果。

首先，在力偶的作用面内任取一线段AB=d，然后，在保持力偶矩不变的条件下，调节这两个力偶，并将两力偶的力偶臂都定为d，且与AB重合，如图2-18（b）所示，得到两个等效力偶（P1，和（P2，），其中P1，P2的大小分别为

将作用于A点的力P1，P2及B点的力分别合成为R及R′，如图2-18（c）所示，其大小分别为

R=P1+P2，R′=P1′+P2′

因R与R′大小相等、方向相反，且不共线，因此组成了一个新的力偶（R，R′），这就是原力偶（F1，）和（F2，）的合力偶，其力偶矩为

对于由更多个力偶组成的平面力偶系，仍可用同样的方法进行合成。因此可得如下结论：平面力偶系合成的结果为一合力偶，其合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。用数学式表示为

2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一合力偶，显然，若要力偶系平衡，必须并且只需合力偶矩等于零，即M=0。所以平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有力偶的力偶矩的代数和等于零。用数学式表示为

【例2-5】 用多轴钻同时钻削工件上四个直径相同的孔，如图2-19所示。已知钻一个孔的切削力偶矩m=15N·m，问加工时工件受到总的切削力偶矩多大？若A和B两处的固定螺栓之间的距离L=0.4m，试求工件在切削时A，B处所产生的约束反力。

解：工件受到总的切削力偶矩M等于每个孔所受的切削力偶矩m的代数和，即

M=∑m=-4m=-4×15=-60（N·m）

因工件仅受力偶作用，故两螺栓处的约束反力NA，NB必定也组成一个力偶，与切削力偶相平衡，如图2-19所示。由平面力偶系的平衡条件，可得

2.3 平面任意力系

2.3.1 平面任意力系的概念

在工程实际中，经常遇到作用于物体上的各力的作用线在同一平面内，但它们既不汇交于一点，亦不平行。如图2-20（a）所示的简易吊车，其横梁在考虑自重时的受力情况（见图2-20（b）所示）就属于这种例子。这种作用线位于同一平面内，既不相交，亦不平行的力系称为平面任意力系，简称平面力系。前面讨论了平面汇交力系和平面力偶系，而平面汇交力系和平面力偶系则是平面任意力系的两个特例。所以平面任意力系才是在工程上最常见的普通力系。

2.3.2 平面任意力系的平衡方程及其应用

既然平面汇交力系和平面力偶系是平面任意力系的两个特例，则平面任意力系的平衡条件也就是上两个力系的综合。因此，平面任意力系平衡的必要和充分条件是：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零；所有各力对其作用面内任一点力矩的代数和为零，即

式（2-12）称为平面任意力系的平衡方程。它是平衡方程的基本形式。力系中各力在任何方向的坐标轴上投影的代数和等于零，说明力系对物体无任何方向的平动，称为投影方程；各力对平面内任意点之矩的代数和等于零，说明力系对物体无转动作用，称为力矩方程。这三个独立的方程可以求解三个未知量。

在应用平衡方程解题时，式（2-12）中三个方程可根据解题的方便而首先选用其中的任一个方程。坐标系的选取一般使坐标轴与该力系中多数力的作用线平行或垂直，而矩心则通常选在两个未知力的交点上。

【例2-6】 某电视塔塔架采用桅杆式起重机吊装，如图2-21所示。吊装时，用卷扬机绞动钢索BC，使整个塔架绕A点转动。已知塔架自重G=3800kN，钢索与桅杆间的夹角α=60°，有关尺寸如图2-21所示。试求在图示位置扳起塔架时，钢索BC的拉力及铰链支座在A点的反力。桅杆AB和钢索的重量略去不计。

解：（1）取塔架和桅杆整体为研究对象，画出受力图如图2-21所示。

（2）取如图2-21所示坐标系Axy。若先列投影方程，则方程内将有两个未知量，故先列力矩方程，并选取A点为矩心，由

得

再列投影方程

∑Fx=0，RAx-Tsinα=0

得

RAx=Tsin60°=4140sin60°=3590（kN）

∑Fy=0，RAy-Tcosα-G=0

得

RAy=Tcos60°+G=4140cos60°+3800=5870（kN）

【例2-7】 简易吊车如图2-22（a）所示。横梁AB采用No.22a工字钢，长3m，重G=0.99kN，作用于梁的中点C，α=20°，最大载荷（电动葫芦和起吊工件的总重）P=10kN。试计算图示位置时拉杆DE所受的拉力及位于A点处的销钉的约束反力。

解：（1）取横梁AB为研究对象，画受力图如图2-22（b）所示。

（2）取如图2-22（b）所示坐标系Axy，并取A点为矩心，列出力矩方程

∑mA（F）=0，T·ADsinα-G·AC-P·AF=0

得

再由

∑Fx=0，RAx-Tcosα=0

得

RAx=Tcosα=38.7cos20°=36.4（kN）

∑Fy=0，RAy+Tsina-G-P=0

得

RAy=G+P-Tsina=0.99+10-38.7sin20°=-2.25（kN）

负号说明RAy的实际指向与图示假设的指向相反。

上述例题中，由于矩心是可以任意选择的，因此，例2-7中也可选择RAx和T两力作用线的交点D为矩心，由力矩方程∑mD（F）=0直接解出RAy；再选择RAy和T两力作用线的交点E为矩心，由力矩方程∑mE（F）=0直接解出RAx。所以平面任意力系的平衡方程除了式（2-12）这种基本形式外，还有二力矩形式的平衡方程

注意，式中所选A，B两点的连线不能与x轴垂直。

由于物体处于平衡状态，则对任意点的力矩平衡方程式均成立，可得三力矩平衡方程

式中，所选的A，B，C三点不能位于同一直线上。

对所选矩心只要满足上述条件，都将得到三个独立的平衡方程式。

需要指出的是，对于平面力系问题，虽然可以写出三组不同形式的平衡方程式，但其中独立的平衡方程只有三个，即只能求解出三个未知量。

2.3.3 固定端的约束及其应用

在工程实际中，约束的形式除了前面已经提到的几种类型外，还有一种称为固定端的约束。例如，建筑物中的阳台、跳水比赛中的跳板、夹紧在刀架上的车刀（见图2-23（a）所示）、被卡盘夹紧的工件（见图2-23（b）所示）等的约束都是这种约束。图2-23（c）所示为固定端约束的简化表示法，而这一类物体在工程上称为梁。

如图2-23（d）所示梁在主动力P作用下，其插入部分受到墙的约束，梁上每个与墙接触的点所受到的约束反力的大小和方向都不一样，这样杂乱分布的约束反力组成了一个平面任意力系。由于固定端约束既能限制物体在平面内沿任何方向的移动，也能限制物体的转动，所以在平面任意力系问题中，这种约束可以产生一个反力和一个反力偶，而反力和反力偶的方向则由物体所受的主动力来决定，其中反力通常用两个互相垂直的分力Rx和Ry表示，如图2-23（d）所示。

【例2-8】 车刀割槽时刀具的受力和约束情况可简化为如图2-24（a）所示的情况。设切削力Fx，Fy及尺寸L均已知，试计算固定端A点的约束反力。

解：（1）取车刀为研究对象，其受力如图2-24（b）所示。因车刀在B处受到水平方向和垂直方向的主动力Fx，Fy作用，所以固定端的约束反力有约束力RAx，RAy和约束力偶mA。

（2）应用平衡方程可得

∑Fx=0，RAx-Fx=0，RAx=Fx

∑Fy=0，RAy-Fy=0，RAy=Fy

∑mA（F）=0，mA-Fy·L=0，mA=Fy·L

2.4 物体系统的平衡 静定与静不定问题

2.4.1 物体系统的平衡

前面几节讨论了单个物体的平衡问题，而在工程中的机械或结构一般总是由若干个零部件通过一定的约束联系在一起而组成的，这种组合体称为物体系统，简称物系。

在研究物体系统平衡问题时，不仅需要求出外界作用于系统的外力，有时还需要求出系统内各物体之间相互作用的内力，内力与外力的概念是相对的。在研究整个系统平衡时，由于各物体之间相互制约的内力总是成对出现，互为作用力与反作用力，因此这些内力是不必考虑的；当研究系统中某一物体或部分物体的平衡时，系统中其它物体对它们的作用力就成为外力，必须予以考虑。所谓外力与内力应视物体系统所取研究对象的边界而定。例如图2-25（a）为三铰拱的示意图。所谓三铰拱，就是由AC、BC两半拱用中间铰链C连接，并由铰链A与B固定于支座上的建筑物，如拱门、拱桥等。设三铰拱自身重量不计，拱上有力F1和F2作用如图所示，若将三铰拱视为一个整体，则整个系统处于平衡状态。AC、BC两半拱铰链连接处C的作用力为内力，可不考虑。若要求得中间铰链C处的约束反力，则必须将AC、BC两半拱分别作为研究对象，如图2-25（b）、（c）所示，则右半拱通过中间铰链C作用于左半拱的约束力Fcx、Fcy即为外力。同理左半拱作用于右半拱的约束力Fc′x、Fc′y也为外力。它们互为作用力与反作用力。

2.4.2 静定与静不定问题

在前面讨论的平衡问题中，无论是单个物体还是物体系统的平衡问题，若未知量的数目少于或等于独立平衡方程式的数目，则所有未知量可全部求出。系统的所有未知量都能由静力平衡方程确定的问题称为静定问题。在工程中为了提高结构的安全可靠性，往往在结构中增加某些约束，这样未知量的数目便超过了独立平衡方程式数目，因此单靠平衡方程无法求出全部未知数。静力平衡方程不足以确定系统的所有未知量的问题称为静不定问题。例如，图2-26（a）、（b）所示为静定结构，图2-27（a）、（b）所示为静不定结构。

静力学中研究的是刚体的静定平衡问题，至于静不定问题，需要考虑物体受力后的变形，并建立相应的补充方程才能求解。

2.5 考虑摩擦时的平衡问题

前面各章讨论物体的平衡问题时，都假定物体的接触表面是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦。这样做，在摩擦对所研究的问题影响不大时是完全允许的，它可以使问题得到简化。但是由于摩擦现象在自然界是普遍存在的，而且在有些问题中，摩擦成为主要因素，例如，工程中常见的带传动、摩擦制动、斜契夹紧装置等，都是依靠摩擦力来工作的。当然，摩擦也有其有害的一面：摩擦要消耗能量并使机器磨损，降低了机器的精度和缩短了使用寿命。目前在能源的使用中，估计有一半以上的能源是用于克服各类摩擦。机械零件因磨损而导致失效的约占全部报废零件总数的80%左右，这时摩擦对所研究的问题起着重要的作用，因此就不能再将其忽略而必须加以考虑。学习本节的目的，在于掌握摩擦现象的客观规律，利用其有利的一面，限制它有害的一面。

2.5.1 摩擦力

互相接触的两个物体，当它们发生相对滑动或有滑动趋势时，在两个物体的接触面上就会出现阻碍彼此滑动的力，称为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与物体相对运动（或相对运动趋势）的方向相反，它产生的主要原因是物体接触表面的凹凸不平和表面间分子的相互吸引。当两物体尚未发生滑动而仅有滑动趋势时，两物体间的摩擦力称为静滑动摩擦力（简称静摩擦力）；当两物体已经滑动时，两物体间的摩擦力称为动滑动摩擦力（简称动摩擦力）。

以图2-28所示的实验为例，来观察摩擦现象。

放在桌面上的物体受水平拉力T的作用，拉力的大小由砝码的重量决定，拉力有使物体向右滑动的趋势，而桌面对物体的摩擦力F阻碍它向右滑动。当拉力不大时，物体处于平衡，因此摩擦力与拉力大小相等，即F=T。

若拉力逐渐增大，滑动的趋势增大，静摩擦力F也相应地增大，当拉力增至某一值Tk时，物体处于将动未动的状态，称为临界平衡状态或临界状态，显然这时的摩擦力是所有静摩擦力中的最大值，即

Fmax=Tk

式中，Fmax是物体处于临界平衡状态时的摩擦力，称为最大静滑动摩擦力（简称最大静摩擦

力）。

由上面的实验可知，静摩擦力随外力的增大而增大，但它最多等于最大静摩擦力，即

这就是说，如果水平力T的值不超过Fmax，则由于摩擦力的存在，物体总能保持平衡（相对静止）。

大量实验证明：最大静摩擦力的方向与相对滑动趋势的方向相反，最大静摩擦力的大小与两物体间的正压力（即法向反力）成正比，即

这就是静滑动摩擦定律。式中的比例常数f称为静滑动摩擦因数（简称静摩擦因数），其值可通过实验测定。它与接触物体的材料、表面粗糙度、温度、湿度等情况有关，而与接触面积的大小无关。静摩擦因数的数值可从有关工程手册中查到。表2-1列出了一部分常用材料的摩擦因数。

对于动摩擦力，通过实验也可得出与静滑动摩擦定律相似的动滑动摩擦定律，即

式中，f′称为动滑动摩擦因数（简称动摩擦因数），它与接触物体的材料和表面情况有关。

动摩擦因数一般小于静摩擦因数，即f′＜f。在大多数情况下，动摩擦因数随相对滑动速度的增大而稍减小。当相对滑动速度不大时，动摩擦因数可近似认为是个常数，参看表2-1。

综上所述可知，当考虑摩擦问题时，首先要分清物体是处于静止、临界状态或相对滑动三种情况中的哪一种，然后选用相应的方法来计算摩擦力。

2.5.2 考虑摩擦的平衡问题

考虑摩擦时的平衡问题，其解题方法、步骤与不考虑摩擦时基本相同。只是应该注意：

（1）在分析物体受力时，除了一般约束反力外，还必须考虑摩擦力，其方向与滑动的趋势方向相反。

（2）需分清物体是处于一般平衡状态还是临界状态。在一般平衡状态下，静摩擦力的大小由平衡条件确定，并满足F≤Fmax关系式；在临界状态下，静摩擦力是一个定值，满足F=Fmax=fN关系式。

（3）由于静摩擦力可在零与Fmax之间变化，所以物体平衡时的解也有一个变化范围。为了避免求解不等式，一般先假设物体处于临界状态，求得结果后再讨论解的范围。

【例2-9】 绞车的制动装置如图2-29（a）所示，制动轮半径R=25cm，鼓轮半径r=15cm，鼓轮上悬吊重W=1kN的重物，尺寸a=100cm，b=40cm，c=50cm，制动轮与制动块间的摩擦因数f=0.6。试问要使重物不致落下，加在制动杆上的力P至少应为多大？

解：按临界平衡状态考虑，此时所需力P为最小。

（1）先取鼓轮为研究对象，作受力图（见图2-29（b））。列出平衡方程

∑mo1=0，W·r-Fmax·R=0

可得

由于

Fmax=f·N

所以

（2）再取制动杆为研究对象，作受力图（图2-29（c））。列出平衡方程

∑mo=0，F′max·c÷Pmin·a-N′·b=0

将

即得

由此可解出

即：要使物体不致落下，则P≥Pmin=10（N）。

本章小结

1．平面汇交力系概念：力系中各力的作用线位于同一平面内并汇交于一点。平面汇交力系的合成与分解，力在坐标轴上的投影。平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系中各力在任一坐标轴上投影的代数和均为零，即∑Fx=0，∑Fy=0。

2．力偶的概念：力偶由两个等值、反向、作用线不重合的平行力组成。它对物体的作用效应是使物体产生旋转运动的变化。力偶的三要素：力偶矩的大小、力偶的转向和力偶作用面的方位。力偶的等效条件：凡两力偶的三要素相同，此两力偶等效。力偶的运算特性：力偶无合力，它在任何方向的坐标轴上力的投影为零。力偶的合成与平衡：平面力偶系可合成一合力偶，合力偶矩为各力偶矩的代数和，即 M=∑m。其平衡条件为∑m=0。

3．平面任意力系概念：力系中各力的作用线位于同一平面，但在平面上呈任意分布的。平面任意力系的平衡方程式为：

（1）∑Fx=0，∑Fy=0，∑mo（F）=0。

（2）∑Fx=0，（或∑Fy=0），∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，附加条件为x（或y轴）轴不垂直于AB。

（3）∑mA（F）=0，∑mB（F）=0，∑mC（F）=0，附加条件为A，B，C不共线。

4．平面力系问题的解题步骤：

（1）取研究对象，应选取有已知和未知力作用的物体为考虑平衡问题的对象。

（2）画分离体的受力图。

（3）选取坐标轴和矩心，列出平衡方程。根据未知力之间的几何关系选定坐标轴和矩心。

（4）讨论与校核。对解的力学含义进行讨论，并可探讨一些参量变化时对解的影响。通过另外选取一个不独立的平衡方程，对某一个解答做重复运算，以校核解的正确性。

5．静定问题：系统的所有未知量都能由静力平衡方程确定的问题。

静不定问题：静力平衡方程不足以确定系统的所有未知量的问题。

6．滑动摩擦力是指当有相对滑动或相对滑动趋势时，在物体接触面间产生的阻碍相对滑动的切向阻力。它作用于物体相互接触处，方向与相对滑动或相对滑动趋势方向相反，其大小根据主动力作用的情况而定。

思考题和习题2

2-1 圆环左端固定，右端受三根绳索的拉力作用。已知绳索的拉力分别为F1=0.5kN，F2=1kN，F3=2kN，方向如图2-30所示。试求这三根绳索作用于环上的合力R。

2-2 蜗轮机机壳重G=20kN，起吊时机壳在如图2-31所示的水平位置处保持平衡，此时拉杆AB和AC与铅垂线间的夹角分别为α=20°，β=30°。求拉杆AB和AC所受的拉力TAB和TAC。

2-3 简易吊车如图2-32所示。设吊车连同载荷共重P=10kN，作用于AB梁的中点，梁的自重不计。试求拉杆BC的拉力TBC和固定铰链支座A处的反力RA。

2-4 简易吊车由臂BC和绳索AB所构成。臂的一端以铰链固定于立柱的C点，另一端用绳索悬挂重G=5kN的物体，如图2-33所示。不计臂重，试求绳索AB的拉力T和臂BC所受的压力S的大小。

2-5 试求图2-34中各力F对固定端B的力矩。

2-6 锻锤工件时，由于工件对锤头的作用力有偏心，使锤头发生偏斜。已知锻打时作用力F=1000kN，偏心距e=20mm，锤头高度h=200mm，如图2-35所示。试求锤头加给两侧导轨的压力N。

2-7 用铣刀加工齿轮如图2-37所示。已知切削力F1=2kN，F2=0.5kN。设轴向力F1由轴承B承受，试求A，B两轴承处的反力RAy、RBx、RBy。

2-8 高炉加料的料斗车，沿θ=70°的倾斜轨道匀速上升。已知料斗车和炉料共重G=10kN，重心在C点，尺寸a=0.4m，b=0.5m，e=0.2m，h=0.3m，如图2-37所示。试求钢索拉力T和轨道对A，B轮的反力。

2-9 试求如图2-38（a）、（b）中所示梁的支座反力。已知：F1=300N，F2=600N，m=450N·m，q=2N/cm，a=50cm，b=100cm。

2-10 梯子的两部分AB和AC，长度均为l，在A点以铰链连接，并在D，E两点用水平绳索相连。在梯子的一边作用铅垂力P，尺寸如图2-39所示，不计梯子自重与接触面间的摩擦，试求绳索的张力T。