第2篇 材料力学

1.材料力学研究的问题及其任务

在日常生活和工程实践中，人们常常会遇到材料力学问题，由此积累了丰富的感性知识。譬如，大家都知道，绳索承受拉力的能力与其粗细及材料性能有关。各种机器设备和工程结构，都是由若干构件，即组成结构或机械的不能再拆卸的元件组成。由于构件工作时往往承受载荷作用，在载荷作用下，构件必然产生变形——形状和大小发生变化，并可能发生破坏。为了保证构件正常安全工作，需要考虑下列三大问题：

（1）强度问题。构件抵抗破坏的能力，称为强度。如果构件的尺寸、材料的性能与载荷不相适应，譬如机器中传动轴的直径太小，起吊货物的绳索过细，当传递的功率较大，货物过重时，就可能因强度不够而发生断裂，使机器无法正常工作，甚至造成灾难性的事故。因而首先要解决强度问题——即如何使构件具有足够的强度，以保证在载荷作用下不致破坏。

（2）刚度问题。构件抵抗变形的能力，称为刚度。有些构件，如车床主轴AB（见图Ⅱ-1（a）），若变形过大（见图Ⅱ-1（b）），则影响加工精度，破坏齿轮的正常啮合，引起轴承的不均匀磨损，从而造成机器不能正常工作。因此，对这类构件，还需要解决刚度问题——即如何使其具有足够的刚度，以保证在载荷作用下，其变形量不超过正常工作所允许的限度。

（3）稳定问题。受压的细长杆和薄壁构件，载荷增加时，还可能出现突然失去初始平衡形态的现象，称为丧失稳定。例如顶起汽车的千斤顶螺杆AB（见图Ⅱ-2（a）），长活塞杆CD（见图Ⅱ-2（b）），有时会突然变弯（见图Ⅱ-2（c）），甚至弯曲折断，由此酿成严重事故。这种场合需考虑稳定问题——即如何使构件具有足够的保持初始平衡形态的能力，即足够的稳定性。

材料力学就是研究构件强度、刚度和稳定性计算的科学。

2.构件的四大基本变形

构件受力后，其变形的基本形式有四种：轴向拉伸和压缩；剪切和挤压；扭转；弯曲（如表Ⅱ-1所示）。其他复杂的变形形式，都是上述两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形。

第4章 拉伸和压缩

【内容提要】

本章主要介绍材料力学的任务和研究对象。拉伸和压缩的概念，求内力的截面法，横截面上的正应力。轴向横向变形、应变、胡克定律。材料拉伸和压缩时的力学性能，应力集中，轴向拉伸和压缩时的强度计算。

4.1 拉伸和压缩的概念

在工程实际中，有很多构件在工作时是承受拉伸或压缩的。例如，图4-1（a）所示的起重装置中，如果不考虑各杆自重，则杆AB是承受拉伸的构件，杆BC是承受压缩的构件。其受力如图4-1（b）所示。可以看出，这类构件的受力特点是：作用于杆端的两力大小相等，方向相反，且作用线与杆的轴线重合；其变形特点是杆沿轴线方向伸长或缩短。构件的这种变形称为轴向拉伸或轴向压缩。

4.2 拉伸和压缩时的内力与截面法

4.2.1 内力

杆件受到外力作用而变形时，其内部各质点之间的相互作用力将发生改变。这种由于外力作用而引起的杆件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为内力。可见内力是由于外力的作用而引起的，它随外力的变化而变化。内力具有抵抗外力、阻止外力使物体继续变形，以及在外力除去后使物体消失变形的性质。由于内力的增大有一定的限度，如果超过了这个限度，物体就会破坏。因此为了保证杆件在外力作用下能安全、正常地工作，就必须研究杆件的内力。

4.2.2 截面法

设有一受拉杆如图4-2（a）所示。为了确定其横截面m-n上的内力，可假想沿横截面m-n将杆截成两段，弃去右段，研究左段，如图4-2（b）所示。由于杆在拉力P作用下原处于平衡状态，所以截开后的左段仍应保持平衡。由此可推断，横截面上必然有一个力N作用，它是杆右段对左段的作用力，以便与P力平衡。实际上内力是分布在整个横截面上的，所以这个力N应为横截面上内力的合力，通常就称N为截面m-n上的内力，它的大小可由平衡方程求得，即

∑Fx=0，N-P=0

得

N=P

由于内力N的作用线与杆件的轴线重合，所以又称此内力为轴力。

如取右段研究，则可求得左段对右段的作用力N′=P，如图4-2（c）所示。N与N′为左右两段相互作用的内力，它们必然大小相等、方向相反。因此在求内力时，可取截面两侧的任一段来研究。同时不难看出，如改换横截面的位置，求得的结果都相同，可见此杆各横截面上的内力是相同的。

综上所述，求杆件内力的方法是：

（1）在所要求的内力的截面处，假想将杆截开成两段。

（2）留下任一段，在截面上加上内力，即另一段对保留段的作用以力代之，使加上的内力与作用在该段上的外力相平衡。

（3）运用平衡方程求内力，这种方法称为截面法。它是求内力的普遍方法，在其他各种基本变形中也可应用此法求内力。下面通过例题说明截面法的应用。

【例4-1】 如图4-3（a）所示，为一个双压手铆机的示意图。作用于该手铆机活塞杆上的力分别简化为P1=2.62kN，P2=1.3kN，P3=1.32kN。试求活塞杆横截面1-1和2-2上的轴力。

解：（1）画计算简图，如图4-3（b）所示。

（2）求截面1-1上的轴力。使用截面法，假想沿截面1-1将杆截成两段，保留左段，然后在截面1-1上加上轴力N1，如图4-3（c）所示。列平衡方程

∑Fx=0，P1-N1=0

得

N1=P1=2.62（kN）（压力）

（3）求截面2-2上的轴力。假想沿截面2-2将杆截成两段，仍保留左段，然后在截面2-2上加上轴力N2，如图4-3（d）所示。列平衡方程

∑Fx=0，P1-P2-N2=0

得

N2=P1-P2=2.62-1.3=1.32（kN）（压力）

如保留右段，如图4-3（e）所示，则可得

N′2=P3=1.32（kN）（压力）

所得结果与取左段研究时相同。所以求内力时可选取受力比较简单的一段进行分析。

4.3 横截面上的正应力

在用截面法确定了拉（压）杆的内力以后，还不能判断杆件的强度是否足够。例如两根材料相同的拉杆，一根较粗，一根较细，在相同的拉力作用下，它们的内力是相同的。但当拉力逐渐增大时，较细的杆先被拉断。这说明杆的强度不仅与内力有关，还与截面的面积有关，所以应以单位面积上的内力来衡量杆的强度。

如果内力在截面上均匀分布，则单位面积上的内力称为应力。

为了研究截面上应力的分布规律，可先通过实验，观察杆的变形情况。在如图4-4（a）所示的杆上，预先刻画出两条横向直线ab和cd（图中虚线），当杆受到拉力P作用时，可以看到直线ab和cd分别平移到了实线a1b1和c1d1处。

根据以上现象可假想杆由许多纵向纤维组成，那么每根纵向纤维都受到了相等的拉伸。由此可推出：杆受拉伸时的内力，在横截面上是均匀分布的，其作用线与横截面垂直，如图4-4（b）所示。

设杆横截面面积为A，则单位面积上的内力（即应力）为。因为此应力与截面垂直，故称为正应力，以σ表示，于是

式（4-1）是根据杆件受拉伸时推得的，它在杆件受压缩时也同样适用。

应力的单位：在国际单位制中是牛/米2（N/m2），称为帕斯卡，简称帕（Pa）；常用的还有兆帕（MPa），1MPa=106Pa=1N/mm2；吉帕（GPa），1GPa=103MPa=109Pa。在工程单位制中，应力单位是公斤力/厘米2（kgf/cm2）。两种单位制中应力的换算关系为

【例4-2】 试计算例4-1中活塞杆在截面1-1和2-2上的应力，设活塞杆的直径d=10mm。

解：截面1-1上的应力

截面2-2上的应力

4.4 轴向变形和胡克定律 横向变形

直杆在轴向拉力（或压力）的作用下，所产生的变形表现为轴向尺寸的伸长（或缩短）及横向尺寸的缩小（或增大）。前者称为轴向变形，后者称为横向变形。

4.4.1 轴向变形和胡克定律

现以如图4-5所示的受拉等截面直杆为例来研究杆的轴向变形。设杆的原长为L，在轴向拉力的作用下，杆长由L变为L1，如图4-5（a）所示，则杆的轴向伸长为

式中，ΔL称为绝对变形。

实验指出：在弹性范围内，杆件的绝对变形ΔL与所受拉力P成正比，与杆件的长度L成正比，而与杆件的横截面面积A成反比。可用数学式表示为

引进比例常数E，则有

由于P=N，故此式又可改写为

这个关系式称为胡克定律。式中的比例常数E称为材料的抗拉（压）弹性模量，其值随材料而异，可通过实验方法测定。表4-1中给出了一些常用材料的E值，E的单位常用吉帕（GPa）。

由式（4-3）可知，当其他条件不变时，E值越大，绝对变形ΔL越小。因此弹性模量E的大小表示材料抵抗弹性变形的能力。

由式（4-3）还可看出，当内力N和长度L一定时，乘积EA越大，绝对变形ΔL越小，它反映了杆件抵抗拉伸（压缩）变形的能力，故称EA为杆件的抗拉（压）刚度。

由于绝对变形ΔL与杆件的长度L有关，为了更确切地反映杆件纵向变形的程度，消除长度的影响，以单位长度的轴向伸长（缩短）来表示杆件的变形，称为相对变形或应变，并以ε表示，即

ε是个比值，拉伸时为正；压缩时为负。ε是无量纲的量，有时也用百分数来表示。

将σ和ε=代入式（4-3）中，即得胡克定律的另一表达形式

因此，胡克定律又可叙述为：当应力不超过某一极限时，应力与应变成正比。该极限值称为比例极限。

4.4.2 横向变形

若杆件变形前的横向尺寸为b，变形后变为b1（见图4-5（b）），则杆的横向绝对变形为

Δb=b1-b

横向应变为

拉伸时，ε′为负；压缩时，ε′为正。

实验表明：当应力不超过比例极限时，横向应变ε′与轴向应变ε之比的绝对值为一常数，即

μ称为横向变形系数或泊松比。μ是无量纲的量，其值因材料而异，可通过实验测定。一些常用材料的μ值见表4-1。

【例4-3】 阶梯轴AC，在A，B两处分别受50kN及140kN的两力作用，如图4-6所示。试分别求AB与BC两段上的内力和应力，并求AC杆的总变形。已知材料的弹性模量E=200GPa。

解：（1）计算AB段的内力、应力和变形。

内力：

N1=50（kN）（压力）

应力：

变形：

（2）计算BC段的内力、应力和变形。

内力：

N2=140-50=90（kN）（拉力）

应力：

变形：

（3）计算总变形量。轴的总变形量等于各段变形的代数和。求代数和时，“伸长”用正值、“缩短”用负值代入，则有

ΔL=-ΔL1+ΔL2=-0.5+0.45=-0.05（mm）（缩短）

4.5 拉伸和压缩时材料的力学性能

实践表明，粗细相同的钢丝和铜丝受拉伸时，钢丝不易被拉断，而铜丝容易拉断。这说明不同材料抵抗破坏的能力也不同，构件的强度与构件的力学性能（机械性能）有关。为了得到既安全又经济的构件，必须研究材料的力学性能。

研究材料的力学性能，不仅可以解决构件的强度计算问题，也可作为选择材料、合理地制订工艺规程的依据。

材料的力学性能是材料固有的特性，可以通过试验来测定。试验应根据国家标准《金属拉伸试验方法》（GB228—87）中的规定，将材料制成标准试样。拉伸圆试样如图4-7（a）所示。试样的两端为夹持部分，中间为用于测试的工作部分，它以两标记间的长度L0表示，L0称为原始标距，d0为试样直径，原始标距L0和直径d0之间有如下关系：长试样L0=10d0，短试样L0=5d0。对于压缩试样，通常采用短圆柱体，其高度L与直径d之比为1.5～3，如图4-7（b）所示。

材料的力学性能与很多因素有关，如温度、加在试样上载荷变化的速率、热处理工艺等。本节只研究材料在常温（室温）、静载（载荷由零开始逐渐缓慢地增加）条件下的力学性能。

在常温、静载条件下，材料大致可以分成塑性材料和脆性材料两类。通常以Q235A钢代表塑性材料，用灰铸铁代表脆性材料，通过试验来分别研究它们的力学性能。

4.5.1 塑性材料拉伸时的力学性能

拉伸试验是在材料万能试验机上进行的。试验时，将试样的两端装在试验机的夹头中，然后开动机器加载，使试样受到自零开始逐渐增加的拉力F的作用。在加载过程中，任一瞬时的F值可由试验机的示力盘读出，与此同时，试样在原始标距内的伸长ΔL的大小可通过装在试样上的变形仪测出。试验机上有自动绘图装置，可以自动绘出以拉力F为纵坐标、伸长ΔL为横坐标的F-ΔL曲线，称为拉伸图。如图4-8所示的拉伸图描绘了Q235A钢试样从开始加载直至断裂的全过程中力和变形的关系。

拉伸图中拉力F和伸长ΔL的对应关系与试样的尺寸有关。为了消除试样尺寸的影响，将F-ΔL曲线的纵坐标F除以试样原有的横截面面积A，将横坐标ΔL除以试样的原始标距L0，即可得到以应力σ为纵坐标和以应变ε为横坐标的σ-ε曲线，称为应力-应变图，如图4-9所示，其形状与如图4-8所示的拉伸图相似。

下面通过研究Q235A钢受拉时的σ-ε曲线和其上的一些特性点来了解塑性材料在拉伸时的力学性能。

1.比例极限

在σ-ε曲线上，Oa段为直线，表明应力在a点以下时，应力σ与应变ε成正比关系，即胡克定律σ=Eε成立。过a点后，应力与应变不再保持正比关系。所以，对应于a点的应力是应力与应变保持正比时的最大应力值，称为比例极限，以σp表示。Q235A钢的比例极限σp=196MPa。

图4-9中直线Oa的斜率为

即直线Oa的斜率等于材料的拉（压）弹性模量。

2.屈服极限

在σ-ε曲线上，在a点以后，曲线开始变弯，且弯曲的程度不断增加。过b点后，在σ-ε曲线上出现一段接近水平线的小锯齿形曲线。此时应力变化很小而应变显著增加，说明材料抵抗变形的能力暂时丧失，这种现象称为材料的屈服。在屈服阶段的b点称为屈服点，对应于b点的应力值称为屈服极限，以σs表示。Q235A钢的屈服极限σs=235MPa。

试样在外力作用下的变形，通常是由两部分组成的，一部分是外力除去后能够消失的变形，称为弹性变形；另一部分是外力除去后不能消失的变形，称为塑性变形。

当应力在比例极限以内时，可以认为试样只产生弹性变形。应力超过比例极限后，试样上将会出现塑性变形。当应力达到屈服点时，塑性变形所占的比例较大。对于工程中的大多数构件来说，当它们发生较大的塑性变形时，就不能正常地工作了。

3.强度极限

过了屈服阶段后，材料又恢复了抵抗变形的能力，试样内的应力又逐渐增加，一直到c点。

c点是试样在拉断过程中最大拉力所对应的应力，称为材料的强度极限，以σb表示。强度极限是以最大载荷除以试样原来的横截面面积而得的应力。Q235A钢的强度极限σb=431MPa。

当试样上的拉力达到最大载荷后，试样上某一部分的截面发生显著的收缩，出现缩颈现象（见图4-9）。

过了c点以后，因缩颈处截面显著减小，此时拉力虽然减小，试样的变形还是继续增加，到达d点时试样发生断裂。

在图4-9中，试样断裂前的总应变为Of，断裂后，弹性应变εe=ef立即消失，而塑性应变εp为Oe遗留在试样上。

4.材料的塑性

试样断裂后所遗留下来的塑性变形，可以用来表明材料的塑性。通常有下面两种表示方法。

（1）断后伸长率δ。试样拉断后，标距的伸长与原始标距的百分比，称为断后伸长率，即

式中，L0是试样的原始标距；

L1是试样拉断后的标距。

δ值越大，表明材料的塑性越好，因此，断后伸长率δ是衡量材料塑性的指标之一。对于Q235A钢，δ=21%～23%。

（2）断面收缩率Ψ。试样拉断后，缩颈处横截面面积的最大缩减量与原始横截面面积的百分比，称为断面收缩率，即

式中，A0是试样的原始横截面面积；

A1是试样拉断后缩颈处的最小横截面面积。

断面收缩率是衡量材料塑性的另一个指标。Ψ值越大，表明材料的塑性越好。对于Q235A钢，Ψ=60%～70%。

工程上通常根据断后伸长率的大小将材料分为两大类。将δ＞5%的材料，称为塑性材料，如钢材、铜、铝等；将δ＜5%的材料称为脆性材料，如铸铁、砖石等。

5.冷作硬化

试验表明，塑性材料拉伸过程中，当应力超过屈服点后（如图4-10中的g点），如果逐渐卸去载荷，则试样的应力和应变关系将沿着与直线Oa近乎平行的直线gO1回到O1点。如果卸载后再重新加载，则应力应变关系将大体上沿着曲线O1gcd变化，直至断裂。比较曲线Oagcd与O1gcd，可以看出在试样的应力超过屈服点后卸载，然后再重新加载时，材料的比例极限提高了，而断裂后的塑性变形减少了，这表明材料的塑性降低了，这一现象称为冷作硬化。工程上常利用冷作硬化来提高某些构件（如钢筋、钢丝绳等）在弹性范围内的承载能力。

4.5.2 脆性材料拉伸时的力学性能

用灰铸铁（简称铸铁）做成标准试样，按照与低碳钢拉伸试验的同样方法，得出铸铁的σ-ε曲线，如图4-11所示。由图可以看出，σ-ε曲线无明显的直线部分，但是，应力在较小范围内的一段曲线，很接近于直线，故胡克定律还可适用。

与Q235A钢相比较，铸铁拉伸时无屈服和缩颈现象，抗拉强度较低，试样在断裂时的塑性变形很小，其断后伸长率约为0.5%～0.6%。

4.5.3 塑性材料压缩时的力学性能

将Q235A钢制成的压缩试样置于万能试验机上，使其受压，得Q235A钢受压缩的σ-ε曲线，如图4-12中实线所示，图中虚线则表示Q235A钢拉伸时的σ-ε曲线。

试验结果表明，在屈服以前，两曲线重合，即压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量都与拉伸时相同，但由于Q235A钢压缩时，试样越压越扁，并不碎裂，因此无法得到使其压坏的强度极限应力值。

4.5.4 脆性材料压缩时的力学性能

灰铸铁的压缩试验所得的σ-ε曲线如图4-13中实线所示。图中虚线则表示灰铸铁拉伸时的σ-ε曲线。

铸铁在压缩时的σ-ε曲线和拉伸时类似，无明显的直线部分，也无屈服和缩颈现象。变形较小时就发生碎裂，破坏断面与轴线大致成45°～55°的倾角（见图4-13）。但铸铁压缩时的塑性变形较拉伸时大，压坏时的抗压强度值也比抗拉强度高，约为抗拉强度的2～5倍。

上面研究了Q235A钢和灰铸铁在拉伸和压缩时的力学性能，它们分别反映了塑性材料和脆性材料的力学性能。经过比较可以得到这两类材料力学性能的主要区别如下所述。

（1）塑性材料在断裂时有较大的塑性变形，脆性材料在断裂时变形很小。

（2）塑性材料在拉伸和压缩时的比例极限、屈服点和弹性模量都相同。由于塑性材料在使用时应力一般不允许达到屈服极限值，所以它的抗拉伸和抗压缩强度相同；脆性材料的抗拉强度低于抗压强度。因此，脆性材料通常用来制造承压构件。

4.6 应力集中的概念

由前述可知，等截面直杆受到轴向拉伸（或压缩）作用时，除载荷作用点附近处的应力分布较复杂外，各横截面上的应力是均匀分布的，如图4-14（b）所示。在工程实际中，由于设计的需要，构件上常常加工有油孔、切槽、螺纹等工艺结构，使构件在这些部位的截面尺寸发生突变。实验和理论分析指出，构件在截面突变处，应力显著增大。图4-15为开有圆孔和切口的矩形截面杆在受到轴向拉伸时开孔和切口处截面的应力分布图。这种由于截面突变而引起局部应力增大的现象，称为应力集中。

应力集中对不同材料、不同受载状态下的构件影响不同。

在静载荷作用下的塑性材料，应力集中的影响通常可不予考虑。这是由于塑性材料在静载荷作用下会出现屈服现象。构件受较大载荷作用时，应力集中处的σmax将首先达到屈服点值。随着载荷的不断增加，该处材料因屈服应力将不再增加，但变形在继续，增加的载荷由尚未达到屈服点的材料来承担，使截面上各点的应力陆续达到屈服点值，这样应力在截面上就逐渐趋于平均，从而降低了应力集中的影响。

在静载荷作用下，由脆性材料制成的构件，因它没有屈服现象，所以随着载荷的增加，应力集中处的最大应力值也不断增加，直到该处的应力达到材料的强度极限σb值，使构件在该处出现裂纹，整个截面被削弱而破坏。所以，对于脆性材料制成的构件应考虑应力集中的影响。实验和实践表明，应力集中对铸铁材料的影响较小，这是由于铸铁材料自身的不均匀性和缺陷较多的缘故。

需要指出，构件在受到周期性变化的应力作用或冲击载荷作用下，不论是塑性材料还是脆性材料制成的构件，均应考虑应力集中对构件强度的影响。

4.7 拉伸和压缩时的强度计算

4.7.1 许用应力和安全系数

为了保证机器和工程结构中的构件能安全可靠地工作，要求构件在工作时不产生过大的塑性变形或断裂。构件产生过大的塑性变形或断裂时的应力称为极限应力。

对于塑性材料，在屈服时就产生过大的塑性变形，所以应以屈服极限σs作为极限应力；对于脆性材料，由于它在断裂时变形很小，所以强度极限σb就是它的极限应力。

为保证构件在外力作用下，能安全可靠地工作，它的工作应力应小于材料的极限应力。还应考虑到构件有必要的强度储备，通常将极限应力除以大于1的系数S，作为构件在工作时所允许产生的最大应力，称为许用应力，以[σ]表示。系数S称为安全系数。对应于屈服极限σs的安全系数用Ss表示，对应于强度极限σb的安全系数用Sb表示。因此，许用应力可由下列两式表达

应注意到脆性材料在拉伸和压缩时的抗拉强度与抗压强度是不相等的，所以它的拉伸许用应力和压缩许用应力也不相等。

从公式（4-10）和公式（4-11）可知，如果安全系数取得过小，即接近于1，则许用应力就比较接近极限应力，构件工作时就有危险；如果安全系数取得过大，则许用应力就会偏小，虽然足够安全，但不够经济。因此，安全系数选取得是否确当，直接影响到安全和经济问题。

安全系数的确定与许多因素有关，例如材料的均匀程度、载荷和应力计算的准确程度、制造工艺过程及构件的工作条件等。

在静载荷作用下，安全系数的大致数值如下所述。

塑性材料：轧、锻件Ss=1.2～2.2

铸件Ss=1.6～2.5

脆性材料：Sb=2.0～3.5

4.7.2 强度计算

为了保证承受拉（压）的构件能安全、正常地工作，必须使构件的工作应力不超过材料在拉（压）时的许用应力，即

式（4-12）称为杆件受轴向拉伸或压缩时的强度条件。运用此条件可解决工程中下列三种形式的强度计算问题。

1.强度校核

已知杆件的材料、截面尺寸及所受载荷（即已知[σ]，A及N），可用式（4-12）验算杆件的强度是否足够。如果σ≤[σ]，则强度足够；如果σ＞[σ]，则强度不足。

2.设计截面尺寸

已知杆件所受载荷及所用材料（即已知N和[σ]），可将式（4-12）改写成

由此可确定杆件所需的横截面面积，然后确定截面尺寸。

3.确定许可载荷

已知杆件的材料及截面尺寸（即已知[σ]及A），可按式（4-12）计算此杆件能安全地承受的轴力为

N≤A[σ]

由此可确定机械或结构的许可载荷。

【例4-4】 如图4-16（a）所示为一刚性梁ACB由圆杆CD在C点悬挂连接，B端作用有集中载荷F=25kN。已知CD杆的直径d=20mm，许用应力[σ]=160MPa。

（1）试校核CD杆的强度。

（2）试求结构的许可载荷[F]。

（3）若F=50kN，试设计CD杆的直径d。

解：（1）校核CD杆强度。

做AB杆的受力图，如图4-16（b）所示。由平衡方程

∑MA=0

有

2FCDl-3Fl=0

得

杆CD的轴力：N=FCD

杆CD的工作应力：

所以CD杆安全。

（2）求结构许可载荷[F]。

由

得

由此可得结构的许可载荷[F]=33.5kN。

（3）若F=50kN，设计圆杆直径d。

由

即

取

d=25mm。

本章小结

1．本章建立了拉、压杆的应力，变形与轴力，截面尺寸，材料性能间的关系；讨论了强度计算问题；介绍了材料在拉、压时的主要力学性能。本章研究的问题、运用的方法、涉及的概念等将贯穿于整个材料力学之中，读者不仅要掌握拉、压杆的轴力、应力、变形及其强度计算，而且需清晰地理解本学科的基本概念、理论和方法。

2．轴力、应力。凡作用线垂直于杆的横截面、且通过其形心的内力，称为轴力。轴力的大小等于截面一侧沿轴线作用的外力代数和。过同一点不同方向截面上的轴力相同。拉、压杆的内力是轴力。

3．应力是单位面积上的内力。拉、压杆截面上的应力均匀分布。横截面上只有正应力，其计算公式为σ=。

4．胡克定律建立了应力（力）和应变（变形）间的关系。轴向拉、压时的胡克定律

EA称为杆的抗拉（压）刚度。胡克定律是今后分析变形和建立应力计算公式的理论基础，应熟练掌握，并注意它的适用范围。

5．强度计算是材料力学研究的主要问题。强度条件是强度计算的依据，基本变形杆的强度条件，都是限制最大应力不超过其许用应力。拉、压杆强度条件为

许用应力是保证构件具有足够强度，材料允许承担的最大应力值。

6．强度计算的大致步骤为：（1）计算杆受的外力，并画其计势简图与轴力图；（2）分析危险截面位置；（3）建立危险截面的强度条件，进行计算。

7．材料的力学性能是进行强度、刚度和稳定性计算不可缺少的实验资料。应清楚理解表征材料力学性能的各种指标，并注意塑性材料与脆性材料的区别。

强度指标——屈服极限σs，强度极限σb。

刚度指标——弹性模量E。

塑性指标——断后伸长率δ，断面收缩率ψ。

思考题和习题4

4-1 如图4-17所示，已知P=20kN，Q=60kN，杆的横截面面积A=500mm2。试求杆各段横截面上的内力和应力。

4-2 在圆钢杆上铣去一槽如图4-18所示。已知钢杆受拉力P=15kN作用，钢杆直径d=20mm。试求I-I和II-II截面上的应力。在截面I-I上因铣槽而减小的面积可近似地按长为d，宽为4/d的矩形面积计算。

4-3 如图4-19所示，为了改进万吨水压机设计，在四立柱小型水压机上做模型试验。当小型水压机的中心载荷为P时，在标距L=100mm内，测得立柱的轴向变形ΔL=0.0296mm。立柱材料为铸钢，弹性模量E=200GPa，问此时立柱截面上的应力有多大？中心载荷P又等于多少？

4-4 用绳索起吊重G=10kN的木箱，如图4-20所示。设绳索的直径d=25mm，许用应力[σ]=10MPa。试问绳索的强度是否足够？如果强度不足，则绳索的直径应取多大才能安全工作？

4-5 如图4-21所示，钢杆受拉力P=40kN，若已知钢杆材料的许用应力[σ]=100MPa，横截面为矩形，且b=2a，试确定尺寸a和b。

4-6 自制旋臂吊车尺寸如图4-22所示，电动葫芦能沿横梁AB移动。已知电动葫芦自重G=5kN，起吊重物重W=15kN。拉杆BC为圆形截面，其材料采用Q235A钢，许用应力[σ]=120MPa。试确定拉杆BC的直径d。