第3章 点的运动学

点的运动学是运动学的基础。本章将讨论点的运动规律、轨迹、速度和加速度。

3.1 点的运动方程、速度与加速度

空间点M的位置可由一个选定的参考点O到该点M的矢径r来确定，如图3-1所示。当点M的位置随时间变化时，其轨迹由矢量函数

的端点画出。式（3-1）称为点M的运动方程。

从时刻t到时刻t+Δt，点M在空间中的位移Δr=r（t+Δt）-r（t），如图3-2所示。点M在时间间隔Δt内的平均速度为

点M在t时刻的速度为

其方向为点M在t时刻轨迹的切向，指向点的运动方向。

点M在t时刻的加速度为

其方向由Δv=v（t+Δt）-v（t）在Δt→0的极限方向确定，或沿速度矢端曲线v=v（t）在t时刻的切线方向。

3.2 不同坐标系中点的运动方程、速度与加速度

1.直角坐标系

在参考点O建立一直角坐标系，如图3-3所示，则点M的位置矢r可表示为

点M的运动方程为

x=x（t），y=y（t），z=z（t）（3-6

点M的速度为

点M的加速度为

例3-1 设梯子的两个端点A和B分别沿着墙和地面滑动，如图3-4所示。梯子和地面的夹角φ（t）是时间的已知函数，试求梯子上点M的运动轨迹、速度和加速度。已知AM=a，BM=b。

解：建立直角坐标系Oxy，如图3-4所示，则点M的坐标为

这就是点M的运动方程，也是其轨迹方程的参数形式。消去参数φ，得

这是以原点O为中心的四分之一椭圆。

rO M=a c o s φ i+b si n φ j

2.自然坐标系

设点M沿着一已知曲线运动。在曲线上任取一点O1为原点，并规定点O1一侧所取的弧长为正，而另一侧所取的弧长为负，则点M的每一个位置都与从原点O1到该位置的弧长s一一对应，如图3-5所示。如果函数s=s（t）是时间的已知函数，则点M的运动就可以确定了，这种用弧坐标描述点的运动的方法称为自然坐标法。弧坐标形式的点M运动方程为

自然坐标法适用于运动轨迹完全确定的非自由质点。

点M的速度为

令r s，则

因此，τ（s）是一个单位矢。显然，其方向沿着点M切向，并且总是指向弧坐标s的正方向。

由式（3-12）得

点M的加速度

下面求。先讨论的大小。如图3-6所示，在t和t+Δt时刻，动点分别位于点M和M′，相应的切向单位矢分别为τ和τ′，它们之间的夹角为Δθ，=Δs，则

式中，ρ为曲线上点M处的曲率半径。

再讨论的方向。如图3-6所示，当Δs→0时，M′→M，ΔMNQ所在平面趋于一个极限位置，这个极限位置平面称为曲线在点M处的密切面。由于τ和Δτ始终在ΔMNQ所在的平面内，当Δs→0时，M′→M，Δθ→0，Δτ的方向趋于垂直于τ的方向，指向曲线在点M的凹侧（曲率中心一侧），因此的方向在点M的密切面内，沿着点M的法线指向曲线的凹侧。沿此方向取一单位矢n（s），则τ（s）、n（s）和b（s）=τ（s）×n（s）构成点M处的右手正交坐标系，称为自然坐标系。n（s）称为主法线单位矢，b（s）称为副法线单位矢。所以

由式（3-14）得

即点M的加速度由两部分组成，第1部分是由于速度大小变化而产生的加速度，其方向沿曲线的切向，称为切向加速度，记为at

第2部分是由于速度方向变化而产生的加速度，其方向沿曲线的主法线方向，称为法向加速度，记为an，

加速度沿副法线方向的投影恒为零。

几种常见的特殊运动如下。

（1）直线运动：ρ=∞。

（2）匀速曲线运动 。

（3）圆周运动，如图3-7所示，其中的法向加速度也称为向心加速度。

由于点M也可以通过角φ确定，s（t）=Rφ（t）

当点M做匀速圆周运动时

例3-2 如图3-8所示，半径为r的车轮在直线轨道上滚动而不滑动（称为纯滚动）。已知轮心A的速度u是常矢量，求轮缘上一点M的轨迹、速度、加速度和轨迹的曲率半径。

解：如图3-8所示，建立坐标系Oxy，并设t=0时点M位于坐标原点，在时刻t，有关系式，

点M的坐标为

这就是点M的轨迹参数方程，也是其运动方程，它所表示的曲线称为旋轮线或摆线。

为了求轨迹的曲率半径ρ，要先求出an，为此要求at和a。由于运动具有周期性，考虑0≤φ≤2π，即范围的曲线。

当ut=πr（轨迹最高点）时，曲率半径最大，ρm a x=4r，当ut=0或2πr（点M在轨道上）时，曲率半径最小，ρmin=0，这意味着轨迹有尖点。

例3-3 如图3-9所示，设细直杆AB绕定轴A以φ=ωt的规律做匀速转动，ω为常值，一小环M同时套在杆和半径为R的固定细圆环上，试求小环的速度和加速度。

解：以点O1为自然坐标原点。由点O1向上为弧坐标s的正向，则点M的运动方程为

点M的速度为

方向在点M处沿圆环的切向，斜向上。

点M的加速度为

方向由点M指向点O。

习题

3-1 试分析在什么情况下？什么情况下又相等？举例说明。

3-2 如图所示，动点M做曲线运动，虚线为切线，其中，动点做加速运动的有________；减速运动的有_________；不可能实现的运动有________。

3-3 若点的加速度为一常矢量，该点是否一定做匀变速直线运动？

3-4 当点做曲线运动时，若始终有v⊥a，是否必有v=常数？

3-5 图示点M沿螺线自外向内运动，它走过的弧长与时间的一次方成正比。试问该点的加速是越来越大，还是越来越小？点越跑越快，还是越跑越慢？

3-6 图示曲线规尺的杆长OA=AB=20 cm，CD=DE=AC=AE=5 cm。OA与x轴夹角φ按规律变化。试求点D的运动方程和轨迹方程。

3-7 杆A B长为l，角φ的变化规律为φ=ωt，其中ω为常数。滑块B按规律s=a+b si nωt沿水平方向做简谐运动，其中a、b均为常数。试求点A的轨迹。

3-8 半圆形凸轮以匀速v0=1cm/s沿水平方向向左运动。已知t=0时，杆的A端在凸轮最高点，凸轮半径R=8cm。试求杆的端点A的运动方程和t=4s的速度和加速度。已知杆AB的A端在运动过程中一直与凸轮接触。

3-9 摇杆机构的推杆AB以匀速u向上运动，OC=b。试分别用直角坐标法和自然坐标法建立端点C的运动方程和时该点的速度和加速度。设t=0时，φ=0。

3-10 摇杆滑道机构的销钉M同时在半径为R的圆弧槽和摇杆OA的直滑道内滑动，如图所示。已知φ=ωt（ω为常数），试分别写出销钉M的直角坐标和弧坐标形式的运动方程，并求其速度和加速度。

3-11 半径为r的圆轮在水平直线轨道上运动，轮心的速度v 0为常数。OA=l，试求当φ=6 0°时，杆OA端点A的速度和加速度。已知运动时杆OA一直与圆轮相切。

3-12 一点的运动轨迹为平面曲线，其速度在y轴上的投影保持为常数c。试证该点的加速度大小为，其中v为速度大小，ρ为曲率半径。