1.1 建立数学模型的基本方法

所谓模型，就是把关于实际过程的本质部分的信息简写成有用的描述形式。用数学结构和形式来反映实际过程行为特性的模型就是数学模型。一般来说，建立数学模型有两种基本方法。

1.理论分析法

这种方法主要是通过分析系统的运动规律，运用已知的定律、定理和原理，例如力学原理、生物学定律、牛顿定理、能量平衡方程、传热传质原理等，利用数学方法进行推导，建立系统的数学模型。这种方法也称为机理分析法。

【例 1.1】Vertical Take-Off and Landing（VTOL）空间飞行器的理论建模。

VTOL空间飞行器是能够垂直起飞、垂直着陆的具有3个空间自由度的系统。如图1-1所示为X-Y平面上的VTOL受力图。由于只考虑起飞过程，因此只考虑横向X轴和垂直方向Y轴，忽略了前后运动（即Z方向）。X-Y为惯性坐标系，Xb-Yb为飞行器的机体坐标系。

设状态变量是飞行器质心的X，Y位置和滚转角θ，相应的速度为dX/dt、dY/dt和dθ/dt，控制输入T，l是推力（直接从飞机的底部推动）和滚动力矩。利用牛顿定理， VTOL空间飞行器的动力学模型表示为

式中，g是重力加速度；ε0 是刻画滚动力矩和横向加速度关系的系数。进一步简化动态方程，并定义x=X/g，y=-Y/g，u1=T/（mg），u2=l/Ix，ε=ε0l/（mg），系统简化为

虽然VTOL飞行器的数学模型可以根据力学原理较准确地推导出来，但要想获得精确的模型参数ε0，Ix，m，就要进行辨识。

由例1.1可知，理论分析方法只能用于较简单系统的建模，并且对系统的机理要有较清楚的了解。对于比较复杂的实际系统，这种建模方法有很大的局限性。这是因为在建模时必须对实际的系统提出合理的简化假设，然而这些假设未必符合实际情况。另外，有时实际系统的机理也并非完全可知的。

2.测试法

系统的输入、输出一般总是可以测量的。由于系统的动态特性必然表现于这些输入、输出数据中，故可以利用输入、输出数据所提供的信息来建立系统的数学模型。这种建模方法就是系统辨识。

与理论分析方法相比，测试法的优点是不需要深入了解系统的机理，不足之处是必须设计一个合理的试验以获取所需要的大量信息，而设计合理的试验是很困难的。

在实际研究中，往往将理论分析方法和测试法相结合，机理已知部分（名义模型）采用理论分析方法，机理未知部分采用测试方法。

【例 1.2】通过实验确定一个热敏电阻的电阻R和温度t的关系，为此在不同的温度t下，对电阻R进行多次测量获得了一组测量数据（ti，Ri）。由于每次测量中，不可避免地含有随机测量误差，因此想寻找一个函数R=f（t）来真实地表达电阻R和温度t之间的关系。

假设模型结构为

R=a+bt

式中，a和b为待估参数。

如果测量没有误差，只需要两个不同温度下的电阻值，便可以解出a和b。但是由于每次测量中总存在随机误差，即

yi=Ri+vi或 yi=a+bt+vi

式中，yi为测量数据，Ri为真值，vi为随机误差。

显然，将每次测量误差相加，可构成总误差

如何使测量的总误差最小，选择不同的评判准则会获得不同的方法，当采用每次测量误差的平方和为最小时，即

由于上式中的平方运算又称为“二乘”，而且又是按照J最小来估计a和b，称这种估计方法为最小二乘估计算法，简称最小二乘法。

利用最小二乘法辨识模型参数，若使得J最小，利用求极值的方法得

对上式进一步整理，则和的估计值可由下列方程确定

解方程组，可得

由于一定存在a和b使J 取极小值，而和只有一个根，所以和使J 取最小值。