第三章 典型解题技巧

第一节 ★十字交叉法

一、题型评述

“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”的效果。

二、破题密钥

“十字交叉法”实际上是一种简化方程的形式，凡是符合下图左边方程的形式，都可以用右边的“十字交叉”的形式来简化：

很多考生疑惑哪种题型可以使用十字交叉法，并且不知道得到的比例是哪两个量的比例，这时，可以列出上面形式的式子来判断。当然这是平时就要积累的，如果考场之上无法判断的话，就不建议使用这种方法，直接列方程更快更准确。

三、例题精析

【例1】（广东2014—40）在环保知识竞赛中，男选手的平均得分为80分，女选手的平均得分为65分，全部选手的平均得分为72分。已知全部选手人数在35到50之间，则全部选手人数为（）。

A.48

B.45

C.43

D.40

[解析]运用十字交叉法：

男女比例为7∶8，说明总人数是15的倍数，只有45满足。

【例2】（山东2013—60）某单位共有职工72人，年底考核平均分数为85分，根据考核分数，90分以上的职工评为优秀职工，已知优秀职工的平均分数为92分，其他职工的平均分数是80分，问优秀职工的人数是多少？（）

A.12

B.24

C.30

D.42

[解析]运用“十字交叉法”：

，说明优秀职工共有30人。

【例3】（重庆2013—96）某工厂共有160名员工，该厂在7月的平均出勤率是85%，其中女员工的出勤率为90%，男员工的出勤率为70%，问该厂男员工共有多少人？（）

A.40

B.50

[解析]运用“十字交叉法”：

C.70

D.120

，说明男员工共有40人。

【例4】（甘肃2013—26）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高20%，则乙商品提价后为多少元？（）

A.40

B.60

[解析]运用“十字交叉法”：

C.36

D.84

，乙商品原价60元，提价后为60×1.4=84（元）。

[点睛]乙商品提价40%之后，是原价的1.4倍，一定有因子7，可以直接锁定答案。

【例5】（上海2013A—63）某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元。相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%。若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%，且买小鸡苗的总费用最小，则应选购甲、乙两种小鸡苗各（）。

A.500只、1500只

B.800只、1200只

C.1100只、900只

D.1200只、800只

[解析]因为希望总费用尽可能小，那么尽可能使用便宜的甲种小鸡苗，但甲种成活率较低，所以使用的比例最好保证两种小鸡苗的总体成活率恰好为96%。对成活率进行“十字交叉法”：

比例为3∶2，结合选项，即可得出答案。

【例6】（国考2014—64）烧杯中装了100克浓度为10%的盐水。每次向该烧杯中加入不超过14克浓度为50%的盐水，问最少加多少次之后，烧杯中的盐水浓度能达到25%?（假设烧杯中盐水不会溢出）（）

A.6

B.5

C.4

D.3

[解析]运用“十字交叉法”：

，至少要加60克，每次最多14克，则至少5次。

【例7】一只松鼠采松子，晴天每天采24个，雨天每天采16个，它一连几天共采168个松子，平均每天采21个，这几天当中晴天有几天？（）

A.3

B.4

C.5

D.6

[解析]运用十字交叉法，晴天∶雨天=5∶3，晴天是5的倍数。

【例8】（山西、四川2014—62）学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的价格折扣，结果共少付了22%。问购买的足球和篮球的数量之比是多少？（）

A.4∶5

B.5∶6

C.6∶5

D.5∶4

[解析]假设购买足球x个，篮球y个，根据“十字交叉法”：

80x∶100y=2%∶3%⇒x∶y=5∶6。

【例9】（浙江2014—52）有30名学生，参加一次满分为100分的考试，已知该次考试的平均分是85分，问不及格（小于60分）的学生最多有几人？（）

A.9人

B.10人

C.11人

D.12人

[解析]假设及格学生的平均分为x分，不及格学生的平均分为y分，则：

及格与不及格学生的比例为。

要使不及格学生人数尽可能多，比例就要尽可能小，分子尽可能小而分母要尽可能大，所以x和y都应该尽可能大，取x=100, y=59.9，得到比例为25.1∶15，进而得到不及格人数为（30×15）÷（25.1+15）≈11.2，所以最多只有11人。

【例10】（江苏2014B—31）甲、乙两种商品，其成本价共200元。如甲、乙商品分别按20%和30%的利润定价，并按定价的90%出售，全部售出后共获得利润27.7元，则乙种商品的成本价是（）。

A.120元

B.125元

C.130元

D.150元

[解析]甲利润率：（1+20%）×90%-1=8%；乙利润率：（1+30%）×90%-1=17%。总利润率：27.7÷200=13.85%。

，所以乙种商品的成本价为130元。

第二节 构造设定法

一、题型评述

“构造设定法”指的是：解题时，直接构造出满足条件的情况，从而得到正确的答案。

二、破题密钥

按照题目条件的要求，直接进行构造。如有必要，可以回头验证所构造结果。

三、例题精析

【例1】（广州2014—32）某公交线路从起点到终点共25个站点，每天早上6点分别从起点站和终点站同时开出首班车，晚上10点开出末班车，每班车发车时间间隔10分钟。假设每辆车从一个站点行驶到下一个站点所需时间均为5分钟，则该线路至少需要配备（）辆车。

A.24

B.13

C.12

D.26

[解析]从起点到终点共25个站点，24段路，一辆车行驶完全程所需时间为24×5=120分钟，说明早上6点之后120分钟的时候，对面的第一趟车才能到达，在这之前，必须发出120÷10=12辆车，所以至少需要12×2=24辆车。

【例2】（秋季联考2013—45）某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88分，还有另外2人的得分比他低。若所有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5人的得分不完全相同，问参加考试的最多有多少人？（）

A.38

B.44

C.50

D.62

[解析]分析题干可知，除了比小周低的2人外，其他人的分数在88到99之间，共12种可能的分数，为了保证任意5人不完全相同，说明得同一分数的人最多只能有4个，因此最多有12×4+2=50（人）。

【例3】（浙江2013—48）从1,2,3…30这30个数中，取出若干个数，使其中任意两个数的积都不能被4整除，问最多可取几个数？（）

A.14个

B.15个

C.16个

D.17个

[解析]由于任意两个数的积都不能被4整除，那么4的倍数肯定不能取，另外，2的倍数也不能有两个（否则这两个数的积就是4的倍数了），所以最多可取15个奇数，再加一个2，一共16个数字。

【例4】（甘肃2013—29）黑母鸡下1个蛋歇2天，白母鸡下一个蛋歇1天，两只鸡共下10个蛋最少需要多少天？（）

A.10

B.11

C.12

D.13

[解析]既然问“最少”需要多少天，那么我们构造两只鸡第一天就生蛋的情形：

显然，第11天的时候一共下蛋10个。

【例5】（春季联考2014—55）一个圆形的草地中央有一个与之同心的圆形花坛，在花坛圆周和草地圆周上各有3个不同的点，安放了洒水的喷头，现用直管将这些喷头连上，要求任意两个喷头都能被一根水管连通，问最少需要几根水管？（一根水管上可以连接多个喷头）（）

A.5

B.8

C.20

D.30

[解析]题目要求水管尽可能的少，那么我们要尽量安排喷头共线，如下图所示：

首先，一根水管直接最多与这两个圆各交2个点，总共4个喷头，如上图2所示。另外还有2个喷头，最多可以与之前的一个喷头共线，如上图3所示。现在已经有两根水管了（图中实线所示），上图3新添的两个喷头要与图2中的喷头都相连，还要添加6根水管，如上图4虚线所示。所以，总共至少需要8根水管。

【例6】（国考2015—69）现要在一块长25千米、宽8千米的长方形区域内设置哨塔，每个哨塔的监视半径为5千米，如果要求整个区域内的每个角落都能被监视到，则至少需要设置多少个哨塔？（）

A.4

B.5

C.6

D.7

[解析]如下图所示，每个哨塔能覆盖半径为5千米的圆，我们依图布局：

观察红色的直角三角形，斜边长为5千米，竖直的直角边为区域宽8千米的一半，即4千米，所以很容易算得其水平的直角边长应该为3千米，那么一个圆可以覆盖水平宽度为6千米的区域（如图中红色箭头所示）。整个区域水平长度为25千米，所以至少要5个圆，才能覆盖整个区域。

【例7】（山东2014—64）往返A市和B市的长途汽车以同样的发车间隔从两个城市分别发车，以每小时40千米的速度前往目标城市。上午9点多，李先生以每小时50千米的速度开车从A市长途汽车站前往B市长途汽车站，路途中总共追上了3辆从A市开往B市的长途汽车。问他在路途中最多能迎面遇到多少辆从B市开往A市的长途汽车？（）

A.27

B.25

C.36

D.34

[解析]假设长途汽车的发车间隔为1小时，那么相邻两辆长途汽车的距离应该为40千米，所以李先生每40÷（50-40）=4小时可以追上1辆长途汽车，每小时可以迎面遇到1辆长途汽车。由于李先生“路途中总共追上了3辆”，所以李先生在路上最多行驶了16小时，即在第4、8、12小时分别追上了1辆车，而第0、16小时追上的车恰好是其出发、到达时追上的，不算路途中追上的。而16小时最多可以在路途中遇到辆车。

【例8】（国考2013—71）公路上有三辆同向行驶的汽车，其中甲车的时速为63千米，乙、丙两车的时速均为60千米，但由于水箱故障，丙车每连续行驶30分钟后必须停车2分钟。早上10点，三车到达同一位置，问1小时后，甲、丙两车最多相距多少千米？（）

A.5

B.7

C.9

D.11

[解析]60千米/小时=1千米/分钟，甲、丙两车相距最远，即丙车要停车的时间最长，1小时内丙车最多停车4分钟，即丙车最少行驶56千米，两车相距最远为63—56=7（千米）。

【例9】（湖北2009—95）有4支队伍进行4项体育比赛，每项比赛的第一、第二、第三、第四名分别得到5、3、2、1分，每队的4项比赛的得分之和算作总分，如果已知各队的总分不相同，并且A队获得了三项比赛的第一名，问总分最少的队伍最多得多少分？（）

A.7

B.8

C.9

D.10

[解析]由于题目求“总分最少的队伍最多得多少分”，我们需要让各队的得分尽可能地平均。每项比赛产生5+3+2+1=11（分）,4项比赛一共产生11×4=44（分），最终平均每队得到44÷4=11（分）。A队已经获得了5 × 3=15（分），已经超过平均分，需要A队最后一场比赛得最少的分，即1分，那么剩下3队将得到44-15-1=28（分）。要让剩下三队比分尽可能地平均，可以构造11+9+8=28，在这个条件下，总分最少的队伍可以得到最多的分数，即8分。下面我们构造这种比赛的情形：

[点睛]本题只是构造了满足条件的“一种”情形，并没有证明这是“唯一”的情形，但这并不妨碍我们完成答题。另外，本题在构造设定的同时，还使用了下节就要讲到的“极端思维法”，事实上，这两种方法是密切相关的，我们经常需要结合使用。

第三节 ★极端思维法

一、题型评述

“极端思维”是我们日常生活、学习和工作当中普遍运用的思维方式，也是近年来考题的一大热点内容，大量相关考题出现在近年的试卷当中，各位考生务必对此引起足够的重视。

二、破题密钥

当试题当中出现了“至多”“至少”“最多”“最少”“最大”“最小”“最快”“最慢”“最高”“最低”等字样时，我们通常需要考虑“极端思维法”。这种方法需要分析题意，构造出满足题意要求的最极端的情形，所以从本质上来讲，极端思维也是一种“构造设定法”。

三、例题精析

【例1】（天津2014—13）假设7个相异正整数的平均数是14，中位数是18，则此7个正整数中最大数最大是多少？（）

A.58

B.44

C.35

D.26

[解析]假设最大数字为x，它要尽可能的大，其余的数字就要尽可能的小，构造如下：

x+20+19+18+3+2+1=14 × 7=98，得到：x=35。

【例2】（秋季联考2013—38）某单位有18名男员工和14名女员工，分为3个科室，每个科室至少有5名男员工和2名女员工，且女员工的人数都不多于男员工，问一个科室最多可以有多少名员工？（）

A.14

B.16

C.18

D.20

[解析]分析题干可知，要求一个科室员工人数最多，可以让其他两个科室的员工数尽量少，即均为5男2女，则此时还剩8男10女。而题目又要求每个科室女员工人数不能多于男员工，故这个科室最多只能有8男8女，即16人。

【例3】（天津2013—15）5个人平均年龄是29,5个人中没有小于24的，那么年龄最大的人最大可能是多少岁？（）

A.46

B.48

C.50

D.49

[解析]5个人平均年龄为29，总年龄为145岁。要使年龄最大的人年龄尽可能大，则其余4人年龄要尽可能小，即都是24岁，那么年龄最大者为145-24×4=49（岁）。

[点睛]实际计算的时候，可以以平均年龄29岁为参照，其余4个人都比29岁低5岁，总共低20岁，那么年龄最大者应该比平均年龄高20岁，即49岁。

【例4】（江苏2013A—27）5名学生参加某学科竞赛，共得91分，已知每人得分各不相同，且最高是21分，则最低分最低是多少分？（）

A.14

B.16

C.13

D.15

[解析]分数总和固定，最低分最低即其他人分数尽可能的高，那么第1—4名应该分别为21、20、19、18分，总和为78分，所以第5名最低为91-78=13（分）。

【例5】（陕西2013—79）现有100块糖，要把这些糖分给10名小朋友，每名小朋友分得的糖数都不相同，则分得最多的小朋友至少分得（）块糖。

A.13

B.14

C.15

D.16

[解析]假设分得最多的小朋友得到了N块糖，要让N尽可能的小，那么其他9个小朋友应该分得尽可能的多，即分别为N-1、N-2、…、N-8、N-9，这10个数字加起来为100，即N+（N-1）+（N-2）+…+（N-9）=10N-45=100，得N=14.5，说明14.5是其最小值，也就是下限，在这个范围内最小的整数只有15。

[点睛]在使用“极端思维法”构造极端情形时，可能得到非整数解，这时就需要分析应该往大取整还是往小取整。如果题目问“最大”时，就往小取整；如果题目问“最小”时，就往大取整，请大家牢记这个相反的原则。

【例6】（国考2014—65）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖店数量都不同。如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最后的城市，最多有几家专卖店？（）

A.2

B.3

C.4

D.5

[解析]设排名最后的城市专卖店数量为x，若要x最大，则其他要最小，列表如下：

进而可以得到：16+15+14+13+12+（x+4）+（x+3）+（x+2）+（x+1）+x=100，解得x=4。

【例7】（国考2013—61）某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部门分得的毕业生人数至少为多少名？（）

A.10

B.11

C.12

D.13

[解析]假设行政部门分得毕业生x名，那么其他6个部门不会超过6×（x-1）名毕业生，那么总数不会超过x+6（x-1）=7x-6，即65≤7x-6，得，所以至少是11名。

【例8】（春季联考2013—46）60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。开票中途累计，前30张选票中，甲得15票，乙得10票，丙得5票。问在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？（）

A.15

B.13

C.10

D.8

[解一]我们假设甲再得N票。要保证甲一定当选，我们假设剩下的30张选票，除了甲的N票，全部30-N票都被乙得到，那么15+N>10+30-N⇒N>12.5, N至少需要是13。

[解二]乙是甲最大竞争对手，除了丙得到的5票外，还有55票，甲需要得到这其中的过半数才能保证当选，即28票。而他已经得到了15票，还需要13票。

【例9】（北京2014—85）一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？（）

A.34

B.37

C.40

D.43

[解析]要想第6名和第15名之间的分差尽可能的大，那么前5名和最后5名之间的差距也要尽可能的大，并且前5名分数尽量挨着，给第6名留出上升的空间，后5名分数也尽量挨着，给第15名留出下降的空间。前5名最多能是100、99、98、97、96，平均分为98，那么后5名平均分为49,5个数就应该是47、48、49、50、51。于是第6名最多可以上升到95分，第15名最多可以下降到52分，相差43分。

【例10】（浙江2012—58）一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。问至多有几人会跳两种舞蹈？（）

A.12人

B.14人

C.15人

D.16人

[解析]一共会跳舞的人次为12+8+10=30（人次），总共最多可以分配给30÷2=15（人），让每人会两种舞蹈。

【例11】（秋季联考2014—45）公司举办的内部业务知识竞赛有若干人参加，所有参赛者获得的名次之和为300，且所有人没有并列名次。其中，销售部门、售后服务部门和技术部门参赛者获得的名次平均数分别为11.3、10.4和9.2，问其他部门获得的名次最高为多少？（）

A.16

B.18

C.20

D.21

[解析]设总共有n人参加竞赛，名次从1到n，相加为n（n+1）÷2=300，解得n=24，总共有24人。销售部门的名次平均数为11.3，但其名次总和肯定是整数，所以人数一定是10的倍数。同理售后部门、技术部门的人数必须是5的倍数，否则其名次总和就不是整数。根据总人数24这个条件，这三个部门的人数只能分别为10、5、5人，其他部门还有4人，其名次总和为：300-10×11.3-5×10.4-5×9.2=89。要使其他部门最高名次尽可能的高，剩下3人名次要尽可能的低（也就是最后三名），所以答案为：89-22-23-24=20。

【例12】（深圳2013—46）一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场的100家商铺。已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的商铺至少有（）家。

A.5

B.10

C.20

D.30

[解析]甲、乙、丙没有检查过的分别为20家、30家、40家，当甲、乙、丙未检查过的商铺没有重复时，三人都检查过的商铺最少，为100-20-30-40=10（家）。

[点睛]如果题目告诉你“满足三个条件的数目分别为多少”，问你“同时满足这三个条件的数目至少有多少”时，就把这三个数字加起来，减去总数的2倍即可。如果题目设定是四个条件，就把四个数字加起来，减去总数的3倍。依此类推。

【例13】（北京2013—85）老王和老赵分别参加4门培训课的考试，两人的平均分数分别为82和90分，单个人的每门成绩都为整数且彼此不相等。其中老王成绩最高的一门和老赵成绩最低的一门课分数相同，问老赵成绩最高的一门课最多比老王成绩最低的一门课高多少分？（）

A.20

B.22

C.24

D.26

[解析]因为“老王最高成绩”与“老赵最低成绩”相等，我们设之为x分。题目希望求“老赵最高成绩（设之为z）”与“老王最低成绩（设之为y）”的最大差值，那么前者要尽可能的高，后者要尽可能的低。两个人各自的平均分是确定的，那么总分也是确定的，如果要“老赵最高成绩”尽可能高，他的其他成绩应该尽可能的低，分别应该为x+2、x+1、x分；如果要“老王最低成绩”尽可能的低，他的其他成绩应该尽可能的高，分别应该为x、x-1、x-2分，如下表所示：

由此可得：，两个方程相减求得z-y=26。

第四节 枚举归纳法

一、题型评述

解题时，直接列举满足条件的所有情况，从而得到答案的方法叫作“枚举法”。在此基础之上，总结提炼出其通用性质，从而解出更复杂的情形，这种方法叫作“归纳法”。

二、破题密钥

枚举法：当满足条件的情形比较少时，直接一一列举；

归纳法：当答案要求数字很大时，我们从较小的数字出发，总结归纳其通用规律。

三、例题精析

● 题型一：枚举法

【例1】（深圳2014—47）甲、乙两厂生产同一种汽车，甲厂每月产量保持不变，乙厂每月产量翻番。已知第1个月甲、乙两厂共生产88辆汽车，第2个月甲、乙两厂共生产96辆汽车，那么乙厂每月产量第一次超过甲厂是在第（）个月。

A.4

B.5

C.6

D.7

[解析]第2个月比第1个月多生产96-88=8（辆），进而可得乙第1个月的产量为8，甲为80，那么乙各月产量分别为8、16、32、64、128，所以第5个月时，乙超过甲。

【例2】（上海2014A、B—68）某工厂某种产品每月的产能为8000个，1月的销量为5000个，且预计每月销量环比增加10%，则当年该产品库存最高的月份是（）。

A.4月

B.5月

C.6月

D.7月

[解析]当“销量<产能”时，库存增加；当“销量>产能”时，库存减少。产能固定为8000个，销量每月增加10%，那么各月销量分别为：5000,5000+500=5500,5500+550=6050,6050+605=6655, 6655+665.5=7320.5,7320.5+732.05>8000，所以6月开始，销量>产能，库存减少，那么5月的库存是最高的。

【例3】（国考2015—67）餐厅需要使用9升食用油，现在库房里库存有15桶5升装的，3桶2升装的，8桶1升装的。问库房有多少种发货方式，能保证正好发出餐厅需要的9升食用油？（）

A.4

B.5

C.6

D.7

[解析]四个选项数字都很小，我们直接枚举，如下表所示：

【例4】（山东2014—54）某人要从A市经B市到C市，从A市到B市的列车从早上8点起每30分钟一班，全程行驶一小时；从B市到C市的列车从早上9点起每40分钟一班，全程行驶1小时30分钟；在B市火车站换乘需用时15分钟。如果他想在出发当天中午12点前到达C市，问他有几种不同的乘车方式？（）

A.3

B.2

C.5

D.4

[解析]四个选项都是非常小的数字，我们枚举每种乘车方式即可：

1．早上8:00列车A→B,9:00到达，9:40列车B→C,11:10到达；

2．早上8:00列车A→B,9:00到达，10:20列车B→C,11:50到达；

3．早上8:30列车A→B,9:30到达，10:20列车B→C,11:50到达；

4．早上9:00列车A→B,10:00到达，10:20列车B→C,11:50到达。

【例5】（江苏2014A—32）从1,2,3,4,5,6,7中任取2个数字，分别作为一个分数的分子和分母，则在所得分数中不相同的最简真分数一共有多少个？（）

A.14

B.17

C.18

D.21

[解析]“真分数”要求分子<分母，从7个数字中任取2个数字，都可以构成一个真分数，一共有个。“最简”要求分子、分母互质，所以这四个不满足：,,,，剩下17个。

【例6】（国考2015—72）网管员小刘负责甲、乙、丙三个机房的巡检工作，甲、乙和丙机房分别需要每隔2天、4天和7天巡检一次。3月1日，小刘巡检了3个机房，问他在整个3月有几天不用做机房的巡检工作？（）

A.12

B.13

C.14

D.15

[解析]直接将3月的31天枚举观察，甲、乙、丙的巡检周期分别为3、5、8天：

如上表，三个机房都不用巡检的日期为2、3、5、8、12、14、15、18、20、23、24、27、29、30这14天。

[点睛]实际上考场的时候，并不需要列上面这样的表格，只需要写上31个数字，然后在数字上直接画圈即可。

【例7】（北京2015—81）某工厂有甲、乙两个车间，其中甲车间有15名、乙车间有12名工人。每个车间都安排工人轮流值班，其中周一到周五每天安排一人、周六和周日每天安排两人。某个星期一甲车间的小张和乙车间的小赵一起值班，则他们下一次一起值班是星期几？（）

A．周一、周二或周三中的一天

B．周四或周五中的一天

C．周六

D．周日

[解析]对小张来说，因为甲一共有15人，所以下次安排一定是安排了15个人之后，也就是说甲各次被安排的序号应该分别为1、16、31、46、61、76…，后面数字比前面数字大15。每周要被安排9人，所以用这个序号去除以9，得到各次的商和余数，如下表上半部分所示。“商+1”代表这次被安排在第几周，余数为1-5分别代表是周一到周五值班，余数6、7代表周六值班，余数8、0代表周日值班。对于小赵，我们也可以同理列表，如下表下半部分。上下比较可知，两人再次一起值班是第7周的星期六。

[点睛]本题相对比较耗时，如果猜测的话，千万不要猜A、B选项，因为答案肯定是确定的某一天。

● 题型二：归纳法

【例8】（天津2014—15）100个骨牌整齐地排成一列，一次编号为1、2、3、4…99、100。如果第一次拿走所有偶数位置上的牌，第二次再从剩余牌中拿走所有偶数位置上的牌，第三次再从剩余牌中拿走所有奇数位置上的牌，第四次再从剩余牌中拿走所有奇数位置上的牌，第五次再从剩余牌中拿走所有偶数位置上的牌，以此类推，问最后剩下的一张骨牌的编号是多少？（）

A.77

B.53

C.39

D.27

[解析]直接枚举，归纳出剩余牌的规则，如下表所示：

[点睛]其实取过第四次之后，满足16n+13的就只有一个选项了。

【例9】十阶楼梯，小张每次只能走一阶或者两阶，请问走完此楼梯共有多少种方法？（）

A.55

B.67

C.74

D.89

[解析]答案数字太大，我们可从数字较小的阶数进行归纳，提取规律：

通过前五项数字，我们容易观察到：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

[点睛]当我们再次遇到本题型时，只需要直接列出这一串数列，即可从中找到答案。

【例10】（安徽2011—6）如图所示为两排蜂房，一只蜜蜂从左下角的1号蜂房到8号蜂房，假设只能向右、右上或右下爬行，则不同的走法有（）。

A.16种

B.18种

C.21种

D.24种

[解析]我们在蜂房下面画一条水平的直线，并且做8个峰房中心关于这个直线的垂线，用这8个六边形来代表原来的8个蜂房（如右图所示）。蜜蜂需要从1号蜂房爬到8号蜂房，也就是从直线的1号位置到8号位置，需要跳动7格。如果蜜蜂向正右方爬行一个蜂房（如从1号到2号，或者从6号到7号），相当于在直线上跳动2格；如果蜜蜂向右上（如从2号到6号）或者向右下（如7号到4号），相当于从直线上跳动1格。于是这个题目相当于在那条直线的1号位置跳到8号位置，每次可以跳动1格或者2格，根据上面例题可知，跳动7格一共有21种方法。

【例11】（秋季联考2012—57）用直线切割一个有限平面，后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点，第1条直线将平面分成2块，第2条直线将平面分成4块。第3条直线将平面分成7块，按此规律将平面分为22块需（）。

A.7条直线

B.8条直线

C.9条直线

D.6条直线

[解析]枚举1—4条直线所对应的分割平面数：

平面数构成多级等差数列规律，两两做差依次得到2,3,4…进而得到直线数是6条时，可以将平面分割为22块。

[点睛]n条直线最多可将平面分割为个部分。

第五节 逆向分析法

一、题型评述

很多数学试题，从正面不容易着手，这时可以从它的反面去考虑，运用“逆向思维”进行分析。

二、破题密钥

逆向推导型：将变化过程完全颠倒，交换运算法则，从后往前逆推，得到初始值。

正反互补型：若“正面”不好求解，用“总体”剔除与之互补的“反面”来求解。

三、例题精析

● 题型一：逆向推导型

【例1】（安徽2012—61）某数加上5再乘以5再减去5再除以5结果还是5，这个数是多少？（）

A.0

B.1

C.-1

D.5

[解析]我们知道，原题过程为“+5→×5→-5→÷5”，逆过程就是“×5→+5→÷5→-5”，即很容易得到这个数是1。

【例2】（广州2013—37）一个杯子最大的容量是500毫升，甲将杯子装满水，喝了部分后加入了杯子容量的水，之后甲又将杯子里一半的水用来浇花。这时，杯子里还剩下200毫升水。则甲喝了（）毫升水。

A.100

B.150

C.200

D.250

[解析]假设甲喝了x毫升，杯子容量的为100毫升。一开始是500毫升，经过“-x→+100→÷ 2”最后变成200毫升。那么最后的200毫升，经过逆过程“×2→-100→+x”应该得到500毫升，易知x=200。

【例3】（广东2013—9）某礼堂的观众座椅共96张，分东、南、西三个区域摆放。现从东区搬出与南区同样多的座椅放到南区，再从南区搬出与西区同样多的座椅放到西区，最后从西区搬出与东区剩下的座椅数量相同的座椅放到东区，这时三个区域的座椅数量相同。则最初南区的座椅有（）张。

A.24

B.28

C.32

D.36

[解析]我们知道，原题即是分别对南、西、东三个区经历了“加倍”处理，最终三个区域的座椅数均是32张。我们倒过来顺序分别对东、西、南区经历“减半”处理：

所以最开始南区有座椅28张。

● 题型二：正反互补型

【例4】（深圳2012—13）1000个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后，再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是（）个。

A.490

B.488

C.484

D.480

[解析]大正方体表面涂油漆后，内部边长为8厘米的正方体是没有涂油漆的，故被涂过油漆的正方体个数为1000-8×8×8=488（个）。

第六节 调和平均数

一、题型评述

在数学做题中，我们一般会接触到“算术平均数”，偶尔也会碰到“几何平均数” 。但事实上，还有一类平均数，虽然一般人都没有听说过，但在数学运算当中出现频率很高，这就是“调和平均数”。

二、破题密钥

本节所有例题类型，都给了详细的证明，严格推导出在以下各种题型设置下，答案都是以“调和平均数”的形式出现的。推导的过程看着有点深奥，但结论是简洁、实用、好记的，大家在考场上，碰到这些类型的题目，直接套用公式即可。

三、例题精析

● 题型一：等距离平均速度

【例1】（北京2014—76）某人开车从A镇前往B镇，在前一半路程中，以每小时60千米的速度前进；而在后一半的路程中，以每小时120千米的速度前进。则此人从A镇到达B镇的平均速度是每小时多少公里？（）

A.60

B.80

C.90

D.100

[解析]假设一半路程为S，前、后速度分别为v1、v2，则平均速度为：

。

[点睛]其实，“调和平均数”还有一个口算的办法，以本题为例，要求60和120的调和平均数，这个平均数，离60的距离∶离120的距离，就是60和120的比值，即1∶2。

【例2】（江苏2011C—32）老张上山速度为60米/分钟，原路返回的速度为100米/分钟，问老张往返的平均速度是多少米/分钟？（）

A.85

B.80

C.75

D.70

[解析]运用公式：（米/分钟）。

【例3】（河北2014—43）小伟从家到学校去上学，先上坡后下坡。到学校后，小伟发现没带物理课本，他立即回家拿书（假设在学校耽误时间忽略不计），往返共用36分钟，假设小明上坡速度为80米/分钟，下坡速度为100米/分钟，小明家到学校有多远？（）

A.2400米

B.1720米

C.1600米

D.1200米

[解析]小明往返的平均速度为：（米/分钟），那么其往返总路程为：（米），所以单程为1600米。

[点睛]在这种来回上下坡问题当中：去的上坡一定是回的下坡，去的下坡一定是回的上坡。因此，来回一趟走的上坡与下坡距离一定是对半平分。这是解本题的关键。

● 题型二：等价钱平均价格

【例4】商店购进甲、乙两种不同的糖所用的钱数相等，已知甲种糖每千克6元，乙种糖每千克12元。如果把这两种糖混在一起做成什锦糖，那么这种什锦糖每千克的成本是多少元？（）

A.7

B.8

C.9

D.10

[解析]设购进甲、乙两种不同的糖所用的钱数都为M，甲糖的价格为p1，乙糖的价格为p2，则什锦糖平均成本为：（元/千克）。

● 题型三：等溶质增减溶剂

【例5】（河北2014—47）浓度为15%的盐水若干克，加入一些水后浓度变为10%，再加入同样多的水后，浓度为多少？（）

A.9%

B.7.5%

C.6%

D.4.5%

[解析]我们假设在这个过程中，三次溶液的浓度分别为r1、r2、r3，最开始的溶质和溶液分别为a、b，每次加入的水量都为c，那么：

。

【例6】（天津2012—8）一个容器盛有一定量盐水，第一次加入适量水后，容器内盐水浓度为3%，第二次再加入同样多水后，容器内盐水浓度为2%，则第三次加入同样多的水后盐水浓度为（）。

A.0.5%

B.1%

C.1.2%

D.1.5%

[解析]代入公式：。

【例7】（江苏2012B—89, C—30）某盐溶液的浓度为20%，加入水后，溶液的浓度变为15%，如果再加入同样多的水，则溶液的浓度变为（）。

A.13%

B.12.5%

C.12%

D.10%

[解析]代入公式：3。

● 题型四：等发车前后过车

【例8】（黑龙江2010—54）某人沿电车线路匀速行走，每12分钟有一辆电车从后面追上，每4分钟有一辆电车迎面开来，假设两个起点站的发车间隔是相同的，求这个发车间隔（）。

A.2分钟

B.4分钟

C.6分钟

D.8分钟

[解析]设车速为u，人速为v，相邻两辆车间距为S，发车间隔为T，有：

。

[点睛]一般来说，设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面超过该人，有方程组：

（其中S表示发车间距，T为发车间隔时间，v车为车速，v人为人速，N为车速和人速的比）

【例9】（广东2009—7）地铁检修车沿地铁线路匀速前进，每6分钟有一列地铁从后面追上，每2分钟有一列地铁迎面开来。假设两个方向的发车间隔和列车速度相同，则发车间隔是（）。

A.2分钟

B.3分钟

C.4分钟

D.5分钟

[解析]根据公式，发车时间间隔（分钟）。

【例10】小红沿某路公共汽车路线以不变速度骑车去学校，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。每隔10分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔6分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车，公共汽车的速度是小红骑车速度的（）倍。

A.3

B.4

C.5

D.6

[解析]根据公式：。

● 题型五：前后轮消耗模型

【例11】有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行驶多远？（）

A.4250

B.3000

C.4000

D.3750

[解析]轮胎在前后位置消耗程度不一样，那么在一半路程时将前后轮胎对调，可以尽可能地提高行驶距离。假设两个新轮胎最多行驶S（在的时候调换前、后轮），那么对于一个新轮胎，它在前轮消耗的比例为：，它在后轮消耗的比例为：，两个比例相加为1时，正好消耗完毕： （千米）。

[点睛]假设轮胎在前轮、后轮位置分别可以行驶S1、S2，两个新轮胎可以最多行驶S（在的时候调换前、后轮），那么：。

本章习题训练

[习题01]（国考2011—76）某单位共有A、B、C三个部门，三部门人员平均年龄分别为38岁、24岁、42岁。A和B两部门人员平均年龄为30岁，B和C两部门人员平均年龄为34岁。该单位全体人员的平均年龄为多少岁？（）

A.34

B.36

C.35

D.37

[习题02]（广东2010—15）小张到文具店采购办公用品，买了红、黑两种笔共66支。红笔定价为5元，黑笔的定价为9元，由于买的数量较多，商店给予优惠，红笔打八五折，黑笔打八折，最后支付的金额比核定价少18%，那么他买了红笔（）。

A.36支

B.34支

C.32支

D.30支

[习题03]红酒桶中有浓度为68%的酒，绿酒桶中有浓度为48%的酒，若每个酒桶中取若干酒混合后，酒浓度为52%。若每个酒桶中取酒的数量比原来都多12升，混合后的酒浓度为53.2%。第一次混合时，红酒桶中取的酒是（）。

A.17.8升

B.19.2升

C.22.4升

D.36.8升

[习题04]（上海2012A—65）某单位每四年举行一次工会主席选举，每位工会主席每届任期四年，那么在18年期间该单位最多可能有（）位工会主席。

A.5

B.6

C.7

D.8

[习题05]（国考2012—75）为了浇灌一个半径为10米的花坛，园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头，但库房里只有浇灌半径为5米的喷头，问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到？（）

A.4

B.7

C.6

D.9

[习题06]（浙江2012—55）有一个上世纪80年代出生的人，如果他能活到80岁，那么有一年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份。问此人生于哪一年？（）

A.1980年

B.1983年

C.1986年

D.1989年

[习题07]甲、乙、丙同时给99盆花浇水，已知甲浇了75盆，乙浇了66盆，丙浇了58盆，那么三人都浇过的花至少有（）盆。

A.1

B.2

C.3

D.4

[习题08]（安徽2012—60）将25台笔记本电脑奖励给不同的单位，每个单位奖励的电脑数量均不等，最多可以奖励几个单位？（）

A.5

B.6

C.7

D.8

[习题09]（江苏2012B—94）一学生在期末考试中6门课成绩的平均分为92.5分，且6门课的成绩是互不相同的整数，最高分是99分，最低分是76分，则按分数从高到低居第三的那门课至少得分为（）分。

A.93

B.95

C.96

D.97

[习题10]（河北2012—42）要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几棵？（）

A.7

B.8

C.10

D.11

[习题11]（四川2009—10）将参加社会活动的108个学生平均分成若干小组，每组人数在8人到30人之间，则共有（）种不同的分法。

A.3

B.4

C.5

D.6

[习题12]（国考2011—80）一个班的学生排队，如果排成3人一排的队列，则比2人一排的队列少8排；如果排成4人一排的队列，则比3人一排的队列少5排。这个班的学生如果按5人一排来排队的话，队列有多少排？（）

A.9

B.10

C.11

D.12

[习题13]（北京2011—77）某突击队150名工人准备选一名代表上台领奖，选择的方法是：让150名工人排成一排，由第一名开始报数，报奇数的人落选退出队列，报偶数的站在原位置不动，然后再从头报数，如此继续下去，最后剩下的一名当选。小李非常想去，他在第一次排队时应在队列的什么位置上才能被选中？（）

A.64

B.128

C.148

D.150

[习题14]（四川2013—56）假期里，汪老师有一个紧急通知要用电话通知到50位同学，假如每通知一位同学需要1分钟，同学接到电话后可以相互通知，要使所有同学都接到通知至少需要几分钟？（）

A.5

B.6

C.7

D.8

[习题15]（深圳2011—13）已知一对幼兔能在一个月后长成一对成年兔子，一对成年兔子能在一个月后生出一对幼兔，如果现在给你一对幼兔，问一年后共有（）对兔子。（假设每对兔子都为雌雄各一只）

A.55

B.89

C.144

D.233

[习题16]某法院刑事审判第一庭有6位工作人员，现需要选出3位分别参与乒乓球、羽毛球、跳绳比赛，每人参与一项比赛，其中甲不能参与跳绳比赛，则不同的选派方案共有（）。

A.64种

B.80种

C.100种

D.120种

[习题17]一艘轮船从甲港出发到乙港，航行速度为30千米/小时，从乙港返回甲港，航行速度为20千米/小时，这艘轮船往返甲、乙两港的平均速度是（）千米/小时。

A.24

B.25

C.26

D.27

[习题18]从甲地到乙地的公路有加油站丙，从甲到丙为上坡，从丙到乙为下坡，某人骑车从甲地到乙地用了1.6小时，返回用了1.9小时，他上坡的速度是10千米/小时，下坡的速度是25千米/小时，问甲、乙两地的距离是多少千米？（）

A.25

B.30

C.35

D.40

[习题19]小张下个月结婚，他想去商店购买两种糖混合制成喜糖发给同事。商店里巧克力糖、奶糖、酥糖、椰糖、玉米糖每千克的价格分别为30元、18元、15元、12元和10元，小张拿出预算的一半全部购买了巧克力糖。如果他希望他的喜糖包平均重量为2两/包，平均成本为2元/包，那么他应该将剩下的一半预算购买另外哪种糖？（）

A．奶糖

B．酥糖

C．椰糖

D．玉米糖

[习题20]（浙江2010—89）已知盐水若干千克，第一次加入一定量的水后，盐水浓度变为6%，第二次加入同样多的水后，盐水浓度变为4%，第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少？（）

A.3%

B.2.5%

C.2%

D.1.8%

[习题21]某人沿公交路线匀速行走，每9分钟有一辆公交车从后面追上来，每3分钟有一辆公交车从前面迎面开来，假设公交车起点发车间隔一样，并且公交车匀速行驶，发车间隔多少分钟？（）

A.3分钟

B.4.5分钟

C.6分钟

D.9分钟

本章习题训练详解

[习题01]C [简析]对A、B部门运用“十字交叉法”得其人数比例为3∶4，对B、C部门运用“十字交叉法”得其人数比例为4∶5。不妨假设A、B、C部门分别有3、4、5人，总平均=（3×38+4×24+5× 42）÷（3+4+5）=35（岁）。

[习题02]A [简析]假设小张购买红笔x支，黑笔y支，根据“十字交叉法”：

5x∶9y=2∶3⇒x∶y=6∶5=36∶30，所以红笔是36支。

[习题03]B [简析]运用“十字交叉法”，易知第一次混合比应该为1∶4，所以假设第一次分别取x、4x升；再用“十字交叉法”得到第二次混合比为13∶37，所以（x+12）∶（4x+12）=13∶37，得x=19.2升。

[习题04]B [简析]我们直接构造18年的情形，要使得有更多的任期，我们假设这18年的第1年是单独的任期，可得：18=1+4+4+4+4+1，这样构造出来6任工会主席。

[习题05]B [简析]我们直接构造满足题目条件的情形，如图所示，由于每个小圆（喷头浇灌范围）的直径为10，所以每个小圆至多盖住圆心角为60度相应的大圆（花坛）弧长，所以想盖住整个圆周，需要至少六个小圆，当且仅当这六个小圆以大圆的内接正六边形各边中点为圆心，但此时大圆的圆心未被盖住，所以至少需要七个圆。

[习题06]A [简析]这个人最早1980年出生，活到80岁最晚是2069年（比如1989年出生），那么这中间某一年是他当年年龄的平方，我们需要在1980-2069间找一个平方数，我们直接构造尝试即可。很明显，这个数介于402=1600和502=2500之间，我们尝试452=2025，满足区间范围，2025年如果是45岁的话，那么其出生年份应该是：2025-45=1980年。

[习题07]A [简析]三人未浇的盆数分别为：甲=24，乙=33，丙=41，则有人未浇过的花最多为24+33+41=98（盆），所以三人都浇过的花至少为99-98=1（盆）。

[习题08]B [简析]奖励单位最多，即每个单位尽量的少，可设分别分得1、2、3、…、n。当n=6时，总数至少为21（台）；当n=7时，总数至少为28台，最多可分给6个单位。

[习题09]B [简析]设第三高科目分数为x分，则这六科分别最多为99、98、x、（x-1）、（x-2）、76，总和=99+98+x+（x-1）+（x-2）+76=270+3x=92.5×6，得x=95。

[习题10]A [简析]假设最大的草坪栽了N棵树，要让这个数尽可能少，其他草坪就要尽可能多，第二、三、四、五名草坪最多为N-1、N-2、N-3、N-4，相加为5N-10=21⇒N=6.2，说明N最小只能是7。

[习题11]B [简析]枚举8与30之间108的约数：9、12、18、27满足题意，共4个。

[习题12]C [简析]我们假设学生共有N人，记{X}为不小于X的最小整数，则：

。

当N是4的倍数的时候，的解为：N=52。若N不是4的倍数，我们枚举代入52附近的数字，发现N=51、53、54都满足条件。无论是哪个数字，5人一排都是11排。

[习题13]B [简析]我们从枚举中找规律，第一次剩余：2、4、6、8、10、…、100，都是2的倍数；第二次剩余：4、8、12、…、100，都是4的倍数；第三次剩余：8、16、24、…、96，都是8的倍数。依此类推：第四次剩余16的倍数；第五次剩余32的倍数；第六次剩余64的倍数；第七次剩余128的倍数——只剩下128。

[习题14]B [简析]最开始的时候，只有1个人知道这个通知；1分钟之后，有2个人知道；2分钟之后，有4个人知道；3分钟之后，有8个人知道……所以n分钟之后，一共有2n个人知道，除了老师之外，相当于可以通知（2n-1）个人。所以6分钟可以通知26-1=63个人。

[习题15]D [简析]第T+1期与第T期的兔子之差=第T+1期出生的小兔子数=第T期的成年兔子数=第T-1期的兔子数。于是得到：第T+1期的兔子数=第T期、第T-1期兔子数之和，满足递推和关系。于是我们直接列举数字（1个月后是一对成年兔子，2个月后是两对兔子）:1,2,3,5,8, 13,21,34,55,89,144,233，第12个数字为233。

[习题16]C [简析]任选3位参与比赛共有种方案，甲参加跳绳比赛有种方案，则满足条件的方案有（种）。

[习题17]A [简析]根据公式有：（千米/小时）。

[习题18]A [简析]使用“等距离平均速度公式”求其平均速度为：_1 2（千米/小时），那么甲、乙两地距离为（千米）。

[习题19]B [简析]小张的混合喜糖平均成本应为：2元/包÷2两/包=1元/两=20（元/千克）。其中巧克力糖的成本为30元/千克，运用等价钱平均价格问题核心公式： 。

[习题20]A [简析]代入公式：。

[习题21]B [简析]根据公式：（分钟）。