第二节 截位法
核心提示
所谓“截位法”，是指在精度允许的范围内，将计算过程中的数字，近似为与之相近的数字，从而简化整个计算过程。
截位法一共有四种形式：
（1）加减截位法；（2）乘除截位法；（3）凑整截位法；（4）参照截位法。
可以毫不夸张地说，“截位法”是很多考生在遇到复杂计算题的时候，最想用但又最不敢用的方法。我们一旦将复杂的数字近似为简单数字，几乎任何复杂计算都将变得非常简单，但这样肯定会产生一定的误差，这种误差很有可能导致最终结果的不正确。因此，将误差控制在题目允许的范围之内是使用“截位法”的关键。
近似方法
我们从小到大用过最多的近似方法就是“四舍五入”，这在资料分析运算当中也是非常重要的方法。但还有两种常见的近似方法也具有同样的重要性，那就是“去尾法”和“进一法”。
· 去尾法
所谓“去尾法”，是指“保留条件所要求的数字的前几位，而将后面的数字直接去除”的近似方法。比如说3.587近似为3.5，0.895近似为0.8，76283近似为76200等等。
· 进一法
所谓“进一法”，是指“保留条件所要求的数字的前几位，将后面的数字直接去除，然后在保留部分的最后一个数字上加1”的近似方法。比如2.16近似为3，8.541近似为8.6，34283近似为35000，等等。
上述两种近似方法在截位近似当中享有和“四舍五入”同样的重要地位，具体方法的选用依赖于具体题设的特征。
一、加减截位法
方法点睛
在加减运算当中使用“截位法”一般有两种形式：
1.直接从左边高位开始相加或相减，同时注意下一位是否需要进位与借位，直到得到达到选项精度要求的答案为止；
2.根据题目要求的精度，对数字进行四舍五入后再进行加减运算。
相对而言，第1种方法得到的结果更为精确，第2种方法在很多时候计算更为简便。
注意事项
1.加减截位时，选项从哪一位开始不同，则计算过程中就需要精确到哪一位；
2.加减截位时，一定要注意“对齐位数”，不要出现因错位而导致的偏差；
3.加减截位时，我们还可以使用“去尾法”或者“进一法”进行数值的放缩。
【例1】某地去年人均纯收入为13070.9元，今年的人均纯收入为14323.7元，则今年该地人均纯收入增长了（ ）。
A.1052.8元
B.1252.8元
C.1452.8元
D.1652.8元
【解析】我们运用“截位法”从左边高位开始计算，根据选项要求，我们应该精确到“百位”，计算过程中注意“借位”：
结合选项，选择第二项。
【例2】下图显示了某市大专及以上文凭学历的人才数量，请问图中四种人才数量之和为多少人？（ ）
A.25353
B.26353
C.27753
D.28353
【解析】我们运用“截位法”从左边高位开始计算，根据选项要求，我们应该精确到“千位”，计算过程中注意“进位”：
结合选项，选择第三项。
【例3】下表为2008年1—12月，浙江省外商直接投资的情况表（单位：万美元）。根据下表，2008年浙江省合同外资、实际外资分别为多少亿美元？（ ）
A.178101
B.178108
C.172101
D.172108
【解一】我们从高位算起，合同外资万位及以上部分的和为：
12+6+9+11+12+25+8+8+14+14+24+30=173
千位相加，大致为50多（还要考虑后面的进位），进位“5”左右，173+5=178，排除C、D两项；
实际外资万位及以上部分的和为：
10+3+11+9+7+13+7+8+7+5+5+10=95
千位相加，大致为50多，进位“5”左右，95+5=100，排除B项。
【注释】很明显，本例比上面两个例子中的数字更加复杂，我们不可能再把这些数据全部完整地抄到草稿纸上面再进行演算。我们可以仅仅提取需要计算的部分在草稿纸上面进行计算，也可以直接在原材料当中进行演算。另外，相加的时候注意分部分相加和凑整相加。
【解二】我们先“四舍五入”再相加，合同外资、实际外资万位及以上部分分别为：
12+7+10+11+13+25+9+9+15+14+24+30=179
10+4+12+10+8+13+7+8+8+5+5+11=101
结合选项，选择第一项。
【例4】下表为某地区2005—2009年房地产开发面积的情况表（单位：万平方米）。根据表格，下面哪一年的房地产开发面积增长量最大？（ ）
A.2006年
B.2007年
C.2008年
D.2009年
【解析】运用“截位法”相减可知，2006年、2008年、2009年增长量都是300多万平方米，而2007年增长量为400多万平方米，即2007年最大。
二、乘除截位法
方法点睛
在乘除运算当中使用“截位法”，关键就是把握好误差的范围。我们前面提到过，在乘除运算当中，我们应该考虑的是相对误差（即“相对误差率”），并且运用以下方式得到近似的相对误差率：
1.两个数相乘，那么这两个数的相对误差率之和，近似为总体的相对误差率；
2.两个数相除，那么这两个数的相对误差率之差，近似为总体的相对误差率。
注意事项
1.我们在乘除当中使用“截位法”，一般是将原有较长位数的数字近似为较短位数的数字（譬如直接凑成整数），然后再进行计算；除此之外，还有可能近似为一些方便计算的特殊数（譬如3.33，1.25，1.667等等，我们将在“凑整法”当中见到大量这样的例子），还有可能近似为式子当中与已有数字相关的数字（譬如近似为某已有数字的一半、三分之一等等）以简化计算。
2.碰到位数特别多的数字进行乘除运算，我们一般截取其前三位进行计算即可；如果有能力控制好误差，或者题目对结果的精度要求很低，直接用前两位进行计算也是可行的。
3.碰到位数特别多的数字相除，如果我们运用直除法，那么对分子进行截位并不能简化计算（但有时候可以抵消误差），只有对分母进行截位才能有效减小计算量。
4.在题目对精度要求较高并且截位时产生的误差并不是特别小的情况下，应该考虑让截位产生的误差可以相互抵消，即：在乘法运算中两个数保持相反的变化；在除法运算中两个数保持相同的变化。
【例5】某厂去年生产服装2431件，今年多生产服装811件，则增产的比例约为（ ）。
A.
B.
C.
D.
【解析】增产的比例为：
≈
=
。
【注释】分子、分母分别减小了1%多一点，两者抵消之后误差率将非常小（肯定在1%以内），而选项之间至少相差了20%。
【例6】某厂有职工147人，某月人均工资1020元，则这个月该厂工资总额约为（ ）。
A.1.5万元
B.14万元
C.15万元
D.16万元
【解析】该厂工资总额为：147×1020≈150×1000=150000（元）=15（万元）。
【注释】两个数分别增长了大约2%、-2%，两者抵消之后误差率将非常小（肯定在1%以内），而选项之间至少相差了6%左右。
【例7】2009年，A国GDP总量为2497.03亿美元，B国GDP总量为4983.16亿美元。则2009年B国GDP总量是A国的（）倍。
A.1.5
B.2
C.2.4
D.3
【解析】B国GDP总量是A国的：
≈
=2（倍）。
【注释】我们将分子近似为分母的两倍，便可直接得到结果。在这个过程中，分子由“4983.16”近似为“4994.06”，增加了0.2%左右，那么结果也应该变大了0.2%左右，这个误差率相对选项间的差别是非常小的。
【例8】根据下列饼图，该地区高校在读大学生文科学生比工科学生少（ ）。
某地区高校在读大学生分科比例（单位：百人）
A.5.13%
B.7.52%
C.10.68%
D.12.77%
【解析】
=
≈
=8%，结合选项，选择第二项。
【注释】在上面的计算中，分子扩大了2%左右，分母缩小了4%左右，整体便扩大了6%左右。8%的6%大致为0.5%，所以结果应该比8%小0.5%左右。
【例9】2009年，某省农产品出口贸易总额为14.82亿美元，其中茶叶出口额占出口总额的11.93%，而绿茶出口额占茶叶出口总额的五分之三。请问2009年，该省绿茶出口额约为多少万美元？（ ）
A.8873
B.10608
C.12293
D.14536
【解析】我们运用“截位法”对计算进行简化：
14.82×11.93%×
≈15×12%×
=1.08（亿美元），即10800万美元。结合选项，选择第二项。
【注释】运算中，我们将两个数分别扩大了1%左右，最后近似的值应该比真实的数值大2%左右。
【例10】某公司2008年主营业务收入为6384.54万元，占全公司总收入的52.94%。该公司全年缴税共683.93万元，请问此税额占其总收入的比例约为（ ）。
A.4.79%
B.5.67%
C.6.38%
D.7.58%
【解析】该公司全年总收入为（6384.54÷52.94%）万元，所以税额占总收入比例约为：
在上面的计算中，我们将“6384.54”近似为“6839.3”以方便和分子里的“683.93”约掉。与此同时，分母从“6384.54”增长为“6839.3”，增长了7%左右，导致结果减小了7%左右。所以最后得到的结果应该比5.294%多7%，而5.294%的7%不到0.53%（5.294% ×7%＜5.3% ×10%=0.53%），结合选项，应该选择第二项。
核心提示
对于误差分析还不熟练的考生来说，上面例题的解析也许让你望而生畏，那主要是因为你对这套理论还比较陌生。客观地说，上面我们对分母的近似彻底简化了原有的计算，而将几乎所有的工作放在了误差分析上，而误差分析最大的优点就是“计算精度要求很低”，能够给出大致的结果和范围即可锁定答案。所有这些，对心算能力比较强的考生来说，就是一种非常有效的速算手段。
【例11】2009年，某地区加大了对超速驾车的处罚力度，全年交通罚款487.65万元当中，有11.09%来自对超速驾车的罚款，而2008年对超速驾车的罚款总额仅有21.56万元。请问2009年，该地区对超速驾车的罚款总额是2008年的几倍？（ ）
A.2.43
B.2.47
C.2.51
D.2.55
【解析】我们运用“截位法”对计算进行简化：
上面近似计算中，我们将“11.09%”近似为“10.78%”，减小了3%左右，所以最后的结果2.438比真实的结果小了3%左右。2.438的3%大致就是0.07，所以结果应该大致为2.438+0.07=2.508，结合选项，选择第三项。
【例12】2009年全年，某地合同外资与实际外资分别为83217.93、55355.17万美元，那么合同外资是实际外资的多少倍？（ ）
A.1.47
B.1.50
C.1.53
D.1.54
【解析】我们利用“四舍五入法”将分母近似以简化计算，然后运用“直除法”：
近似过程中，分母增加了不到0.1%，所以实际结果比上面的近似结果大了也不到0.1%，这是很小的差别，所以选择第二项。
【例13】下表显示部分省、市2007、2008年度财政收入情况（单位：万元）。根据表中数据，云南省2008年度财政收入增长率为（），表中七个省、市2008年度平均财政收入为（ ）。
A.23.7% 1216亿元
B.26.2% 1216亿元
C.23.7% 1016亿元
D.26.2% 1016亿元
【解析】先求云南财政收入增长率，由于数字太长，我们运用截位法对数字进行简化：
我们再求七个省、市平均财政收入，因为选项的差别是“百亿”位的，我们将原始数据以“十亿元”为单位进行截位近似：
综上分析，选择最后一项。
【注释】本题第一问要求两个数值的商，在截位的时候应该采取“同向截位”的方式，即要么都采用“去尾法”，要么都采用“进一法”，这样可以抵消一部分计算误差。第二问是要求多个数的和，在截位的时候应该采取“四舍五入”的近似方法，这样在加和的时候才能将误差尽量地抵消。
【例14】2009年，云南省粗钢产量1049.05万吨，增长16.4%；钢材产量973.30万吨，增长16.3%。请问2008年云南省粗钢产量比钢材多（）万吨。
A.81.38
B.75.75
C.64.36
D.59.34
【解析】
=60+，结合选项，选择第三项。
【注释】两个分母非常接近，直接把两个分母近似成一样的，这样就可以先进行减法运算，再进行除法运算。我们把1.163近似成1.164，误差在1‰以内，影响很小。
三、凑整截位法
方法点睛
资料分析当中的“凑整法”包含了非常广泛的意义，有可能是将计算过程当中的某些数字优先运算得到一个近似“整”数；也可能是通过一定的变化将过程较复杂的数字转化为易于计算的较简单数字；还有可能是将计算过程当中的数字近似为相近的特殊数字（主要是相近“整”数、“多位特殊小数”，偶尔也包括“开方无理数”）从而简化计算。
由于“凑整法”内涵广泛，我们在这里并不做一个严格的定义，而是希望大家好好地在下面的例题当中仔细琢磨与体会这种方法。事实上，我们可以认为“凑整法”是一种“有特定变换目标”的“截位法”。
【例15】某企业2007年第一季度利润上升了38.7万元，第二季度利润下降了18.4万元，第三季度利润上升了51.3万元，第四季度利润上升了28.4万元。则该企业2007年的总利润上升了（ ）。
A.90万元
B.100万元
C.110万元
D.136.8万元
【解析】该企业四季度利润分别上升了38.7万元、-18.4万元、51.3万元、28.4万元，则该企业2007年总利润上升了38.7-18.4+51.3+28.4=（38.7+51.3）+（28.4-18.4）=90+10=100（万元）。
【注释】本题仅仅是给大家一个凑整法的“实例”，在公务员考试中，数据一般都不会像本题中的这样巧合。但这种凑整的估算思想，仍然是我们做题时所需要具备的。
【例16】某地区1—6月的啤酒销量分别为287.13万升、325.29万升、356.76万升、371.04万升、347.18万升、311.03万升，则该地区上半年的啤酒消费总量约为（ ）。
A.1600万升
B.1800万升
C.2000万升
D.2200万升
【解析】287.13+325.29+356.76+371.04+347.18+311.03=（287.13+311.03）+（325.29+371.04）+（356.76+347.18）≈600+700+700=2000（万升）。
【例17】根据下图，请问该国丙行业平均每个从业人员创造产值为多少？（ ）
某国四大行业总产值及其从业人员数量分布图
A.23.3万元/人
B.26.3万元/人
C.29.3万元/人
D.31.3万元/人
【解析】
≈26.7（万元/人），结合选项，选择第二项。
【例18】某地区1978年人口约为162万人，粮食产量2501.4万吨；2008年，该地区人口增长到228万人，粮食产量达到3334.6万吨。则该地区人均粮食产量（ ）。
A.增加了
B.减少了
C.保持不变
D.无法判断
【解析】
，
很明显
，即
，所以该地区人均粮食产量减少了。
【例19】2008年全年，我国完成第一产业增加值3.4万亿，占国内生产总值的比重为11.3%。请问2008年全年，我国完成GDP为多少万亿？（ ）
A.25
B.30
C.35
D.40
【解析】3.4÷11.3%≈3.4÷ 
=3.4×9=30.6（万亿），结合选项，选择第二项。
【例20】2008年年末，我国65岁及以上的老人达到1.1亿人，占全国总人口的8.3%。那么2008年年末我国总人口数应该为多少？（ ）
A.12.1
B.13.2
C.14.3
D.14.9
【解析】1.1÷8.3%≈1.1÷
=1.1×12=13.2（亿人）。
【例21】2008年，某省两个最大城市初中毕业生分别为13.81、11.76万人，其中分别有97.48%、96.63%升入高中段继续学习。请问这两个城市的初中毕业生当中，分别有多少万学生没有升入高中段继续学习？（ ）
A.0.35 0.40
B.0.31 0.40
C.0.35 0.48
D.0.31 0.48
【解析】13.81×（1-97.48%）=13.81×2.52%≈13.81×
=13.81÷40=0.34525，
11.76×（1-96.63%）=11.76×3.37%≈11.76×
=11.76÷30=0.392，
综上分析，结合选项，选择第一项。
【注释】将2.52%、3.37%分别近似为
、
，大致分别缩小了1%，而选项间的误差（不论是0.35与0.31，还是0.40与0.48）都超过了10%，因此这种凑整的近似不会影响最终的结果。
【例22】2008年，我国七大水系的409个水质监测断面中，Ⅰ—Ⅲ类水质断面比例占55.0%，那么应该有多少个水质监测断面属于“Ⅰ—Ⅲ类水质断面”？（ ）
A.203
B.214
C.225
D.236
【解析】409×55.0%≈405× 
=225（个）。
【注释】本题将55.0%近似为
的同时，也将409近似为405，这样做有两个目的：一是为了让这个数成为9的倍数，方便与后面的9约分；二是将55.0%近似为
的时候大致增加了1%，而将409近似为405大致减少了1%，这样近似后，其乘积所产生的误差将很大程度地被抵消。
【例23】2009年，某地区农产品外贸顺差额为286万美元，比上年增长了37万美元。那么请问2009年该地区农产品外贸顺差额的增幅为多少？（ ）
A.11.51%
B.14.86%
C.16.42%
D.18.79%
【解析】
=14.8%，结合选项，选择第二项。
【注释】将249近似为250，大致扩大了0.4%，而选项间的差距大约在10%左右，所以不会在实质上影响最终结果。
【例24】2009年，某玩具公司实现产值4487万美元，其中78.04%销往海外市场，销往海外市场的产值同比增加39.83%。请问，与2008年相比，2009年该公司销往海外的产值增加了多少万美元？（ ）
A.717
B.854
C.997
D.1134
【解析】
×39.83%≈
×0.4=1000（万美元），结合选项，选择第三项。
【注释】本题选项相差都在10%以上，计算过程当中的“凑整”误差都在1%以下，而且计算过程当中由“凑整”产生的误差会相互抵消，因此不会实质影响计算结果。
【例25】2008年，重庆市完成固定资产投资4045.25亿元。从三次产业看：第一产业投资89.10亿元，比上年增长49.1%；第二产业投资1437.05亿元，增长32.4%，其中，工业投资1376.77亿元，增长30.0%，占全社会固定资产投资总量的34.0%；第三产业投资2519.10亿元，增长24.9%，其中，房地产开发投资991.00亿元，增长16.6%。
请问下面表述错误的是（ ）。
A.2007年，重庆市完成第一产业固定资产投资约60亿元
B.2008年，重庆市完成第二产业固定资产投资比上年增加352亿元
C.2007年，重庆市完成第三产业固定资产投资不到2000亿元
D.2008年，重庆市房地产开发投资比上年增加超过140亿元
【解析】我们利用“凑整法”来简化计算：
A选项：
=60（亿元），正确。
B选项：
≈359（亿元），正确。
C选项：
=2000（亿元），错误。
D选项：
≈142（亿元），正确。
【例26】2009年，某省农产品进出口贸易总额为21.4亿元，农产品进出口贸易总额占全省对外贸易总额的3.5%，那么请问该省的对外贸易总额约为多少亿美元？（ ）
A.601
B.606
C.611
D.616
【解析】
≈611（亿元）。
核心提示
我们在进行乘除法计算的时候，如果碰到1.5，3.5，4.5这样的数字时（我们称这类形式的数字为半整数），往往将其乘以2，以降低有效数字位数，从而简化计算。
如果碰到乘以1.5的形式，我们还可以直接运用“减半相加”的技巧；如果碰到乘以或者除以2.5的形式，我们一般将2.5直接乘以4，这样更能简化计算。
其他形式的半整数，如5.5，6.5，8.5，12.5，27.5，76.5等形式，也可以通过乘以2来简化计算，但简化效果没有那么明显，同学们不妨自己试试。
【例27】2011年，某公司实现收入18157万元，其中主营业务收入、新业务收入分别占64.7%、13.5%。请问其主营业务收入、新业务收入应该分别为多少万元？（ ）
A.117482451
B.117482151
C.157482451
D.157482151
【解析】18157×64.7%≈18000×65%=9000×130%=11700（万元）；18157×13.5%≈18000× 13.5%=9000×27%=2430（万元）。结合选项，选择第一项。
【例28】2009年，某省对外贸易出口总额为76.35亿美元，是进口总额的1.51倍。那么请问该省的进口总额约为多少亿美元？（ ）
A.49.37
B.50.56
C.51.37
D.53.85
【解析】
=50+，并且
=50.9，结合选项，选择第二项。
四、参照截位法
方法点睛
所谓“参照截位法”，是指在计算过程中，以某一个数字为“参照”，将其他的数字化为“参照+差异”的形式，从而简化计算。
【例29】假设2560，1744，2475，3009的平均数为X，而27.5，29.7，31.8，33.3的平均数为Y，那么（ ）。
A.X＞2500 Y＞30
B.X＞2500 Y＜30
C.X＜2500 Y＞30
D.X＜2500 Y＜30
【解析】要判断一组数字的平均数是否超过某一个数，我们可以以这个数字为参照，研究各个数字的差异。
以2500为参照，第一组数字的差异分别为2560-2500，1744-2500，2475-2500，3009-2500，简单计算分别得到：60，-700多，-25，500多，这四个数字加起来显然是负数，所以第一组数字的平均数不到2500。排除A、B两项。
以30为参照，第二组数字的差异分别为-2.5，-0.3，1.8，3.3，这四个数字加起来显然是正数，所以第二组数字的平均数超过了30。排除D项。
【例30】求下面两组数字的和：①58.4、62.7、68.9；②185、166、195、189、190。
【解析】以60为参照，第一组数字的差异分别为-1.6，2.7，8.9，加起来为10，所以第一组数字的总和为：60×3+10=190；
以185为参照，第二组数字的差异分别为0，-19，10，4，5，加起来为0，所以第二组数字的总和为：185×5=925。
【点睛】“参照”的选择并不是唯一的，比如第二组数字，我们也可以选用180甚至160做参照，都不会影响结果。本例题是求和，如果是求平均数，这样的方法也是非常有效的。
【例31】2011年末，我国总人口为134735万人，而上年末为134091万人，其中65岁及以上人口占比为9.1%，比上年提高了0.2个百分点。请问2011年末我国65岁及以上人口约比2010年末多多少万人？（ ）
A.124
B.249
C.327
D.467
【解析】2011年末我国65岁及以上人口是134735×9.1%（万人），2010年末我国65岁及以上人口是134091×8.9%（万人）。两者相差：134735×9.1%-134091×8.9%=（134091+644）×9.1%-134091×（9.1%-0.2%）=644×9.1%+134091×0.2%≈60+268=328（万人），结合选项，选择第三项。
【点睛】碰到两个乘积求差的计算形式时，如果相乘的两个因子分别都很接近的话，建议拆成如解析当中的形式，这样抵消掉一部分，可以有效地提高精度。注意：减号前后各拆一个数字，不要全部拆前两个数字，或者全部拆后两个数字。