魔力四射

【例1】(2013年江苏)一个三位数除以53，商是a，余数是b(a,b都是正整数)，则a+b的最大值是？( )

A.69

B.80

C.65

D.75

【解析】本题考查余数问题。由题意可知，这个三位数等于53a+b，因此有99<53a+b<999,0<b<53，因此b的最大值为52，将b=52代入得47<53a<948，可求得a最大为17，所以a+b最大值为52+17=69。因此，答案选择A选项。

【例2】(2011年北京)有一个整数，用它分别去除157、324和234，得到的三个余数之和是100，求这个整数。( )

A.44

B.43

C.42

D.41

【解析】本题考查余数问题。根据余数的可加性，157+324+234-100=615，则615可被该整数整除。615为奇数，不可能被偶数整除，排除A、C两项。将B选项代入，615÷43≠整数，排除。615÷ 41=15，满足题意。因此，答案选择D选项。

【例3】(2011年天津事业)一个三位数除以9余7，除以5余2，除以4余3，这样的三位数共有( )个。

A.8

B.7

C.6

D.5

【解析】本题考查余数问题。

解法一：这个数除以5余2，除以4余3,“和同加和”，则这个数可表示为20n+7，所以这个数除以20余7；由于这个数除以9余7，除以20余7,“余同取余”，则这个数可以表示为180n+7。所以这个数可能的取值是187、367、547、727、907，共5个。因此，答案选择D选项。

解法二：对于数学基础比较好的考生可以这样考虑：9、5、4的最小公倍数是180，那么180是满足条件的数的最小正周期，即每180个数当中有一个数可以满足条件。而三位数从100到999一共900个数，900÷180=5。因此，答案选择D选项。

【例4】20073除以7的余数是多少？( )

A.2

B.3

C.4

D.6

【解析】本题考查余数问题。根据余数的可乘性，2007除以7的余数为5,20073除以7的余数可转换为“53除以7的余数”，即125÷7=17……6。因此，答案选择D选项。