题型一 初等数学模块

基础计算

（一）整数类计算

（2014·深圳·46）1995+1996+1997+1998+1999+2000的值为（　　）。

A．12987

B．12985

C．11988

D．11985

【答案】D

【解析】方法一：不考虑等差数列的话，可用运算定律直接计算，原式=2000×6-1-2-3-4-5=11985。

方法二：等差数列六项的和=（1995+2000）×3=11985。故本题答案选D。

（2011·浙江·46）2011×201+201100-201.1×2910的值为（　　）。

A．20110

B．21010

C．21100

D．21110

【答案】A

【解析】原式=2011×201+2011×100-2011×291=2011×（201+100-291）=2011×10=20110。

（2011·安徽·1）计算：20+19-18-17+16+15-14-13+12+11-…+4+3-2-1=（　　）。

A．10

B．15

C．19

D．20

【答案】D

【解析】根据交换律和结合律，原式可分组为：20+（19-18-17+16）+（15-14-13+12）+（11-10-9+8）+（7-6-5+4）+3-2-1，括号内的数字运算后为0，所以原式=20+3-2-1=20。答案为D选项。

（2013·河北·41）1005×10061006-1006×10051005=（　　）。

A．0

B．100

C．1000

D．10000

【答案】A

【解析】1005×10061006-1006×10051005=1005×1006×10001-1006×1005×10001=0。正确答案为A。

（2010·安徽·6）2009×20082008-2008×20092009=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】原式=2009×（20080000+2008）-2008×（20090000+2009）=0。

本题也可采用尾数法计算：2009×20082008的尾数为2，2008×20092009的尾数也为2，所以差的尾数一定为0，只有A项符合。故选A。

（2014·新疆·56）（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（　　）。

A．215-1

B．215

C．216-1

D．216

【答案】C

【解析】方法一：添加因式利用平方差公式求解。原式=（2-1）×（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（22-1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）=（24-1）×（24+1）×（28+1）=（28-1）×（28+1）=216-1。故选C。

方法二：原式是4个奇数相乘，由奇偶特性可得，结果必为奇数，故排除B、D两项。由于（2+1）×（22+1）×（24+1）×（28+1）>2×22×24×28=215，排除A项。故选C。

（2014·北京·71）已知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2，则13+33+53+…+193=（　　）。

A．19500

B．19900

C．20300

D．22500

【答案】B

【解析】13+33+53+…+193=13+23+33+43+53+…+193-（23+43+…+183）=（1+2+3+…+19）2-23×（13+23+33+…+93）=-23×（1+2+3+…+9）2=19900。故选B。

举一反三

练习以下尾数类计算：

1．12+22+32+…+1234567892的个位数是（　　）。

A．3

B．4

C．5

D．6 2．计算110.12+1210.32+1220.42+1260.82的值为（　　）。

A．4555940.8

B．4555940.9

C．4555941.18

D．4555940.29

3．2012的2012次方的末位数是（　　）。

A．2

B．4

C．6

D．8

4．的个位数是（　　）。

A．8

B．6

C．4

D．2

5．32010+42011+82012的个位数为（　　）。

A．9

B．8

C．6

D．4

1．C 【解析】本题采用尾数法。原式中12+22+32+…+102=1+4+9+…+100，算得尾数为5，由此可以推知原式所算出结果的个位数应为5的倍数，即5或者0。选项中只有C选项满足，故正确答案为C。

2．B 【解析】利用尾数法，*.12+*.32+*.42+*.82=*.01+*.09+*.16+*.64=*.90。故本题应选B。

3．C 【解析】本题属于乘方位数问题。底数末位的数字为2，指数2012能被4整除，所以只要算24的末位数即可，由此可知末位数为6，本题答案为C。

4．A 【解析】原式可写为20132013×20142014，2013的n次方的尾数以3、9、7、1为周期循环，2013除以周期数4，余数为1，因此20132013尾数为周期的第一项3。2014的n次方的尾数以4、6为周期循环，指数2014除以周期数2，余数为0，因此20142014尾数为周期的最后一项6。两者相乘，即3×6=18，尾数为8。因此，本题答案为A选项。

5．A 【解析】本题考查乘方尾数问题。一个自然数幂的尾数是以4为周期循环的，则原式的尾数相当于32+43+84的尾数，即9+4+6的尾数，故正确答案是A项。

（二）多位数问题

1．多位数表示

多位数表示类问题直接求该多位数，直接求解往往比较困难，可以用代入排除快速解决。

（2009·江西·45）某次考试中，小林的准考证号码是个三位数，个位数字是十位数字的2倍，十位数字是百位数字的4倍，三个数字的和是13，则准考证号码是（　　）。

A．148

B．418

C．841

D．814

【答案】A

【解析】直接代入，由“个位数字是十位数字的2倍”排除B、C、D三项，选A。

（2012·江西·47）将一个三位数的个位数字和百位数字调换后所得的三位数与原三位数的和是1070，差是198，这个三位数是（　　）。

A．218

B．327

C．436

D．524

【答案】C

【解析】直接代入排除，C项，436+634=1070，634-436=198，满足条件，答案选C。

★★（2011·浙江·57）一个三位数的各位数字之和是16。其中十位数字比个位数字小3。如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调，得到一个新的三位数，则新的三位数比原三位数大495，则原来的三位数是多少？（　　）

A．169

B．358

C．469

D．736

【答案】B

【解析】直接代入：各位数字之和为16，C项各数字相加和为19，首先排除。然后把A、B、D三项的百位数字与个位数字对调，A项961比169大700多，D项637比736要小，只有B项正确。

★（2014·广东·42）一名顾客购买两件均低于100元的商品，售货员在收款时错将其中一件商品标价的个位数和十位数弄反了，该顾客因此少付了27元。被弄错价格的这件商品的标价不可能是（　　）元。

A．42

B．63

C．85

D．96

【答案】A

【解析】多位数问题，适合代入排除法。代入A项，42-24=18，可知少付18元，与题意不符。故本题正确答案为A。

★★（2013·山东·53）某工厂生产的零件总数是一个三位数，平均每个车间生产了35个。统计员在记录时粗心地将该三位数的百位与十位数字对调了，结果统计的零件总数比实际总数少了270个。问该工厂所生产的零件总数最多可能有多少个？（　　）

A．525

B．630

C．855

D．960

【答案】B

【解析】代入排除法。平均每个车间生产35个，总数可以被7整除，由此排除C、D项。题目问最多有多少个，先代入较大的数字。若总数为630个，则数字对调后为360，630-360=270（个），恰好满足题意。因此，本题答案为B。

2．多位数统计

多位数统计类问题求满足题目条件的多位数的个数，难度较大，基本使用枚举法讨论。

★★（2014·河北·42）从2000到6000的自然数中，不含数字5的自然数有多少个？（　　）

A．2188个

B．2187个

C．1814个

D．1813个

【答案】A

【解析】千位为6的数字只有6000一个，因此只需找到2000—5999之间不含数字5的组合，千位上数字有2、3、4三种选择，百位、十位、个位分别有9种选择（0，1，2，3，4，6，7，8，9），因此共有3×9×9×9=2187（个）数，再加上数字6000，共有2188个数字。因此，本题答案为A选项。

★★（2014·山西·56）数字3、5至少都出现一次的三位数有多少个？（　　）

A．48

B．52

C．54

D．60

【答案】B

【解析】据题意可将此排列组合分为3类：（1）百位数不是3且不是5：则百位数不能是3、5、0，有7种选择，而十位数和个位数就是3和5，排序放在十位和个位即可，是，由此第一类是;（2）百位是3：则5必须处于十位或者个位，有2种选择，剩下的一位从0—10当中去选择即可。共有2×10=20（种），但是有一种重复的情况需剔除：355。因此实际上有20-1=19（种）。（3）百位是5：与百位是3的情况是完全相同的，故也有19种。因此，符合题意的情况共有14+19+19=52（种），故选B。

★★（2014·天津·8）小张练习写数码，从1，2，3……连续写至1000多才停止。写完一数，共写了3201个数码。请问，小张写的最后一个数是多少？（　　）

A．1032

B．1056

C．1072

D．1077

【答案】D

【解析】枚举法。一位数：1到9每个数有1个数码，共9个数码；两位数：从10到99，每个数有2个数码，共2×90=180个数码；三位数100到999，每个数有3个数码，共3×900=2700个数码。所以从1到999共写了9+180+2700=2889个数码，所以四位数应该共有3201-2889=312个数码，也就是说共有312÷4=78个四位数，即从1000到1077，故选D。

★★★（2012·贵州·32）一个三位自然数，把它十位上的数字去掉后变成的两位数是原来三位数的。问这样的三位数有几个？（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【解析】设三位自然数的百位数为a，十位数为b，个位数为c，根据题意有：100a+10b+c=7（10a+c），整理得：30a+10b=6c，30a和10b均是5的倍数，则6c也是5的倍数，则c只能为0和5。当c=0时，不符合题意。当c=5时，3a+b=3，则只有a=1、b=0时符合题意。故本题选B。

★★★（2014·山西·64）小明和小华计算甲、乙两个不同自然数的积（这两个自然数都比1大）。小明把较大的数字的个位数错看成了一个更大的数字，其计算结果为144，小华却把乘号看成了加号，其计算结果为28。问两个数的差为（　　）。

A．16

B．12

C．8

D．4

【答案】A

【解析】本题适宜使用代入排除法。设两数为X与Y，依次验证选项即可，A选项验证过程如下：若X-Y=16，又由题有X+Y=28，解得：X=22，Y=6，那么如果把22的个位数看成4的话，用24×6=144，故A选项符合题意，为正确选项；将B选项代入，则X-Y=12，X+Y=28，解得：X=20，Y=8，那么无法将20错看成18，以得到144的积，故B选项不正确；将C选项代入，则X-Y=8，X+Y=28，解得：X=18，Y=10，不管将18看成哪个自然数都无法与10相乘得到144，故C选项不正确；将D选项代入，则X-Y=4，X+Y=28，解得：X=16，Y=12，无法将16看成12，以得到144的积，故D选项不正确。所以正确答案为A。

（三）小数分数类计算

★（2012·安徽·57（　　）。

A．98

B．99

C．100

D．101

【答案】C

【解析】基础计算，运用运算定律和分数小数的运算法则即可。

。故本题应选C。

★（2014·浙江·46）的值为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】基础计算，运用运算定律和分数小数的运算法则即可。

原式====。

★★☆（2012·浙江·46），，，这四个数中，最大的数为最小的数的几倍？（　　）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】基础计算，但有一定难度。将，，通分为分母为39的分数，分子分别是13，12，14。将化为，可以看出。因此最大的数是，最小的数是，最大数是最小数的倍。

★（2009·江苏B·72+…=（　　）。

A．0

B．0.5

C．1

D．2

【答案】C

【解析】裂项计算求和问题，+…=1。

★（2011·河北·50）的值为（　　）。

A．

B．

C．3

D．

【答案】C

【解析】裂项计算求和问题，，故选C。

★★（2011·安徽·3）计算：（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】规律寻找类，原式可以转化为：，通过观察可以发现，第n个数字和第（n+3）个数字的乘积为1（1≤n≤195，且n为奇数）。所以，最后各个项相乘余下，正确答案为B。

★★（2009·联考上·91）计算=（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】规律寻找类，可发现每一项都接近。

原 式 =。因此，本题答案选择C选项。

★★（2013·江苏B·93）有一个分数，分子与分母的和是100，如果分子加23、分母加32，新的分数约分后是，则原来的分数是（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】本题可采用代入法。四个选项的分子与分母的和都是100，A项分子加23、分母加32后约分为，排除。B项分子加23、分母加32后为，排除。C项分子加23、分母加32后为，排除C。至此可确定答案为D项。对D项进行验证，D项分子加23、分母加32后为，约分后是。

★★（2010·联考下·27）已知，A、B为自然数，且A≥B，那么A有几个不同的值？（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】B

【解析】需要转换不等式，由A≥B，且A、B均为自然数可得：，从而推出：，即，又由A、B均为自然数推出：，综合可得：，故，B为自然数，所以B可为4，5，6，7，代入可得：当B=4时，A=60；当B=5时，A=15；当B=6时，A=10；当B=7时，A不是自然数。故有3组解，B项为正确答案。

（四）无理数计算

★★（2009·联考下·91）的值是（　　）。

A．2

B．2

C．8

D．3

【答案】B

【解析】 原式=

【小杨点睛】无理数的计算往往要先分母有理化，即通过运算使分母变成有理数。

（五）代数式计算

★★（2008·国家·46）若x，y，z是三个连续的负整数，并且x>y>z，则下列表达式是正奇数的是（　　）。

A．yz-x

B．（x-y）（y-z）C.x-yz

D．x（y+z）

【答案】B

【解析】寻找一组特殊解，满足题干即可。可假设x、y、z分别是-1、-2、-3，代入四个选项验证，A为7，B为1，C为-7，D为5，排除C项。再假设一组-2、-3、-4，A是14，B是1，D是14，排除A、D两项。

常规解法：由题干可得x-y=y-z=1，得到（x-y）（y-z）=1。故选B。

★★（2009·江苏C·11）x-y=1，x 3-3 xy-y 3=（　　）。

A．1

B．2

C．3

D．5

【答案】A

【解析】寻找一组特殊解，满足上述方程即可。特殊解x=1，y=0，代入x3-3xy-y3=1。

常规解法：x3-y3-3xy=（x-y）（x2+xy+y2）-3xy=x2-2xy+y2=（x-y）2=1。故选A。

★★（2014·江苏A·35）已知实数x，y满足：3（x2+y2+1）=（x-y+1）2，x2013+y2014=（　　）。

A．0

B．2

C．1

D．3

【答案】B

【解析】寻找一组特殊解，满足上述方程即可，当x=1，y=-1的时候，左右两边都等于9，则12013+（-1）2014=2。

★★（2009·江苏C·12，则a2+b2+c2=（　　）。

A．14

B．15

C．3

D．1

【答案】A

【解析】由题干可知：a≥0，b≥1，c≥2，取特殊解a=1，b=2，c=3，1+2+3=6=2×（1+1+1）=6。代入所求代数式，12+22+32=14，故选A项。

★★（2008·国家·47）已知，那么x的值是（　　）。

A．

B．

【答案】B

【解析】。

C．

D．

★★（2011·浙江·48）设用小数来表示时其小数点后第2010个数字为a，且—b—=b+2010，则—2b+10a—-（b+5a）的值为（　　）。

A．2400

B．2600

C．2800

D．3000

【答案】D

【解析】，小数部分以6个数字为周期循环出现，2010÷6=335，所以第2010个数字是1，即a=1；由—b—=b+2010可得，b=-1005。代入—2b+10a—-（b+5a）得结果为3000。

★★☆（2009·江苏A·13）已知a2+a+1=0，则a2008+a2009+1=（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】A

【解析】本题解为虚数，不能寻得特殊实数解，故可使用立方差公式：由a2+a+1=0，则（a-1）（a2+a+1）=0，可得a3-1=0，即a3=1，则原式=a2007（a2+a）+1，因为a2007=（a3）669=1，原式=a2+a+1=0。

定义运算及创新运算

★（2013·江苏C·27）如x⊕y=x2+y2，则3⊕1⊕3=（　　）。

A．109

B．100

C．120

D．160

【答案】A

【解析】符号运算题。3⊕1=32+12=10，10⊕3=102+32=109，故选A。

★（2011·浙江·47）a☉b=4a+3b，若5☉（6☉x）=110，则x的值为（　　）。

A．5

B．4

C．3

D．2

【答案】D

【解析】根据运算规则，原式=4×5+3×（4×6+3x）=110，解得x=2。

★（2010·浙江·80）定义4△5=4+5+6+7+8=30，7△4=7+8+9+10=34，按此规律，（26△15）+（10△3）的值为（　　）。

A．528

B．525

C．423

D．420

【答案】A

【解析】（26△15）+（10△3）=（26+27+28+…+39+40）+（10+11+12）=33×15+33=528，故本题选A。

★★（2009·江苏B·71）对任意实数a、b、c，定义运算a*b*c=ab-bc+ca，若1*x*2=2，则x=（　　）。

A．2

B．-2

C．0

D．±1

【答案】D

【解析】因为a*b*c=ab-bc+ca，所以1*x*2=1 x-x 2+21=2，解得x=± 1。

★★（2009·江苏A·12）对正实数定义运算“*”：若a≥b，则a*b=b3；若a<b，则a*b=b2。由此可知，方程3*x=27的解是（　　）。

A．1

B．9

C．

D．3，

【答案】D

【解析】直接将各项代入方程中，A、C两项的解属于题干中“a≥b”的情况，根据新定义的运算，3*x=x3，均不等于27，排除A、C两项。B项的解属于“a<b”的情况，则3*x=x2，也不等于27，排除。D项为方程的解。

★★（2013·江苏A·36）设x⊕y=2 x+3 y，x☉y=xy，且x、y均为正整数，若当x☉y=6时，x⊕y取得最小值，则x等于（　　）。

A．2

B．6

C．4

D．3

【答案】D

【解析】根据题意可得：xy=6，则；若2x+3y最小，则为最小。当且仅当时，取得最小值，得x=3。故答案为D。

★★（2014·河北·52）科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照下图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为多少米？（　　）

A．20米

B．15米

C．12米

D．10米

【答案】A

【解析】机器人所走过的路线呈一个正多边形，设该多边形为正n边形，则该正多边形的内角为180°-18°=162°，又正多边形的内角和为（n-2）×180°，故（n-2）×180°=n×162°，解得n=20。机器人所走过的路程为该正二十边形的周长，其边长为1米，故周长为20米。

★★（2014·浙江·47）对分数进行操作，每次分母加15，分子加7，问至少经过几次这样的操作能使得到的分数不小于?（　　）

A．46次

B．47次

C．48次

D．49次

【答案】C

【解析】设经过x次操作能使得到的分数不小于，根据题意可得，解得x≥47.25，因此选择C选项。

★☆（2011·浙江·49）在平面直角坐标系中，如果点P（3a-9，1-a）在第三象限内，且横坐标、纵坐标都是整数，则点P的坐标是（　　）。

A．（-1，-3）

B．（-3，-1）

C．（-3，2）

D．（-2，-3）

【答案】B

【解析】第三象限内点的坐标均为负值，故3a-9<0，1-a<0，解得1<a<3，由横坐标、纵坐标都是整数可知，a=2，所以点P的坐标是（-3，-1）。

★★（2014·天津·12）在右图小空格中已填上了1及7两个自然数，如果其他空格也填上相应不同的数，使得任意一个横行、任意一个纵列以及任意一条对角线上的3个数之和都等于111。请问，位于中间的小空格里应填的数是（　　）。

A．61

B．53

C．41

D．37

【答案】D

【解析】此题是数独的一个变形。设中间为x，则如下图，第一步先求得第三列第二行为110-x；第二步再求得第三列第一行为x-6，第一列第一行为104-x；第三步求得第一列第三行为x+6。由此x+6+x+x-6=111，则x=37，故选D。

约数倍数问题

（一）约数计算

★（2014·河南·31）正整数a乘以1080得到一个完全平方数，问a的最小值是（　　）。

A．15

B．10

C．30

D．60

【答案】C

【解析】将1080进行因式分解，可得1080=36×30，36已经是个完全平方数，所以要想1080乘以a之后是个完全平方数，则a最小应该为30。故答案选C。

★（2007·国家·48）把144张卡片平均分成若干盒，每盒在10张到40张之间，则共有（　　）种不同的分法。

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】题干实质上是求144在10到40之间有多少个约数。将144进行因式分解，144=2×2×2×2×3×3，从拆分的结果可以看出在10到40之间能够被144整除的有12，16，18，24，36。所以本题正确答案为B。

★（2012·安徽·68）如下图所示，街道X YZ在Y处拐弯，X Y=1125米，YZ=855米，在街道一侧等距装路灯，要求X，Y，Z处各装一盏路灯，这条街道最少要安装多少盏路灯？（　　）

A．47

B．46

C．45

D．44

【答案】C

【解析】路灯之间的间距应该是1125和855的公约数；要求路灯最少，即间距要最大，求最大公约数。1125和855的最大公约数为45，1125÷45=25，855÷45=19，因此需要安装路灯25+19+1=45（盏），故本题应选C。

★（2013·河北·42）施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施工要求，必须在距西墙375米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列（墙角不能装灯）。该施工队至少需要安装多少盏吊灯？（　　）

A．6

B．7

C．8

D．9

【答案】B

【解析】由于要在距离西墙375米处安装一盏灯，而600和375的最大公约数为75，600÷75=8，墙角不能安装，故至少需要安装7盏。正确答案为B。

★（2011·广州·39）用一张长1007毫米、宽371毫米的长方形纸，剪成多个面积相等且尽可能大的正方形。长方形纸最后没有剩余，则这些正方形的边长是（　　）毫米。

A．19

B．53

C．79

D．106

【答案】B

【解析】要使长方形纸没有剩余，且剪成面积相等且尽可能大的正方形，则正方形的边长应为1007和371的最大公约数，即53毫米。故选B。

★★（2014·广东·41）在一条新修的道路两侧各安装了33座路灯，每侧相邻路灯之间的距离相同。为提高照明亮度，有关部门决定在该道路两侧共加装16座路灯，要使加装后相邻路灯之间的距离也相同，最多有（　　）座原来的路灯不需要挪动。

A．9

B．10

C．18

D．20

【答案】C

【解析】根据题意可知先前道路每边安装了33座路灯，所以道路总长s=32n（n为相邻路灯的间隔），后每边各加了8座路灯，可知每边安装了41座路灯，所以道路的总长s=40m（m为后来的相邻路灯间隔），由此假设道路总长是32与40的最小公倍数。故令总长s=160米，从而n=5米，m=4米，则每边不需移动的相邻路灯之间的间隔应该是20的整数倍，有距起点0米，20米，40米，60米，80米，100米，120米，140米和160米位置上的路灯不用移动，总共9座。则两边总共有18座路灯不用移动。故本题的正确答案为C。

★★（2015·广东·33）在400米的环形跑道上每隔16米插一面彩旗。现在要增加一些彩旗，并且保持每两面相邻彩旗的距离相等，起点的一面彩旗不动，重新插完后发现共有5面彩旗没有移动，则现在彩旗间的间隔最大可达到（　　）米。

A．15

B．12

C．10

D．5

【答案】C

【解析】增加彩旗数量后，发现有5面彩旗没有移动，则增加前的间距和增加彩旗之后的间距的最小公倍数是400÷5=80。以前的间距是16米，代入排除四个选项，发现只有C、D与16的最小公倍数为80米，题目要求间隔最大，应该是10。故正确答案为C选项。

（二）倍数计算

★（2014·山东·52）甲、乙、丙三个办公室的职工参加植树活动，三个办公室人均植树分别为4、5、6棵，且三个办公室植树总数彼此相等。问这三个办公室总共至少有多少名职工？（　　）

A．37

B．53

C．74

D．106

【答案】A

【解析】每个办公室植树总数=人均×人数，总数相等，说明总数是人均数量的公倍数。问至少有多少名职工，即总数最少，求最小公倍数。4、5、6的最小公倍数为60，所以三个办公室至少要植60棵树，因此三个办公室人数分别为15、12、10人，总人数至少为37人，答案为A。

★（2011·联考上·49）有甲、乙、丙三辆公交车于上午8:00同时从公交总站出发，三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为40分钟、25分钟和50分钟。假设这三辆公交车中途不休息，请问它们下次同时到达公交总站将会是几点？（　　）

A．11点20分

B．11点整

C．11点40分

D．12点整

【答案】A

【解析】因为40，25，50的最小公倍数为200，因此经过200分钟后三辆公交车会同时到达公交总站，即它们下次同时到达公交总站时间为11点20分。故正确答案为A。

★★（2011·安徽·7）有一种红砖，长24厘米，宽12厘米，高5厘米，至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体？（　　）

A．600块

B．800块

C．1000块

D．1200块

【答案】D

【解析】已知红砖的长为24厘米，宽为12厘米，高为5厘米，那么为了拼成一个实心的正方体，该正方体的边长必须为24，12，5的公倍数，则正方体边长最小为24，12，5的最小公倍数，即120厘米。此时需红砖数量为1203÷（24×12×5）=1200（块）。正确答案为D选项。

★★（2008·国家·59）甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？（　　）

A．10月18日

B．10月14日

C．11月18日

D．11月14日

【答案】D

【解析】两次相遇之间的天数应该是每个人每N天去一次的N的倍数。每隔N天去一次相当于每（N+1）天去一次，说明此四人每6，12，18，30天去一次图书馆，6，12，18，30的最小公倍数为180，所以他们下一次相遇应该是180天之后。5月18日后的第180天应该是11月14日（因为如果每个月按30天计算，180天有6个月，应该为11月18日，但中间多出来5月31日，7月31日，8月31日，10月31日这四个大月当中的31号，所以应该往前推4天，即11月14日），所以选择D。

★★（2010·联考下·28）一副扑克牌有52张，最上面一张是红桃A。如果每次把最上面的10张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向，那么，至少经过多少次移动，红桃A会出现在最上面？（　　）

A．27

B．26

C．25

D．24

【答案】B

【解析】每次移动的扑克都是10张，所以总移动数肯定是10的倍数；要想红桃A再次出现在最上面，我们的总移动数还必须是52的倍数。10和52的最小公倍数是260，那么移动260张扑克后，红桃A再次出现在最上面。总共移动了260÷10=26（次）。

★★（2011·联考下·57）1路、2路和3路公交车都是从8点开始经过A站后走相同的路线到达B站，之后分别是每30分钟、40分钟和50分钟就有1路、2路和3路车到达A站。在傍晚17点05分有位乘客在A站等候准备前往B站，他先等到几路车？（　　）

A．1路

B．2路

C．3路

D．2路和3路

【答案】C

【解析】30，40，50的最小公倍数是600，600分钟合10个小时，说明18点整时三路车同时到达A站，往前推一趟易知1路车17点30分到，2路车17点20分到，3路车17点10分到，则乘客先等到3路车。故选C项。

余数问题

★（2010·联考下·26）在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是多少？（　　）

A．237

B．258

C．279

D．290

【答案】C

【解析】本题考查的是余数的基本定义。被除数减去余数后应该正好是除数与商之积，可知319包含：除数与商之积+余数、除数、商、余数。即除数=（319-6-21-6）÷（21+1）=13。那么被除数是13×21+6，尾数法判定为9，只有C选项符合。

【小杨点睛】余数问题看似复杂，但只要抓住核心本质即可：（被除数-余数）÷除数=商。

★（2013·江苏B·91）三位数A除以51，商是a（a是正整数），余数是商的一半，则A的最大值是（　　）。

A．927

B．928

C．929

D．990

【答案】A

【解析】本题可采用代入排除法。代入A项，927÷51=18……9，符合题意。故本题选A。

【小杨点睛】答案直接给出所求数字，首先考虑代入排除。

★★（2011·上海A·61）韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年，楚汉相争。有一次，韩信率1500名将士与楚军交战，战后检点人数，他命将士3人一排，结果多出2名；命将士5人一排，结果多出3名；命将士7人一排，结果又多出2名，用兵如神的韩信立刻知道剩余将士人数。已知剩余将士人数是下列四个数字中的一个，则该数字是（　　）。

A．868

B．998

C．1073

D．1298

【答案】C

【解析】采用代入排除法，分别将各个选项的数值除以3，5和7，如果余数分别为2，3和2，那么便是正确答案。由此可以得出，正确答案为C选项。

★★（2014·广东·44）在某公司年终晚会上，所有员工分组表演节目。如果按7男5女搭配分组，则只剩下8名男员工；如果按9男5女搭配分组，只剩下40名女员工。该公司员工总数为（　　）名。

A．446

B．488

C．508

D．576

【答案】B

【解析】题目可以简化为：总员工数除以（7+5）余8，除以（9+5）余40。结合选项代入，总数减去8能被12整除，即可排除A、C、D三项。可知488符合题意。故本题正确答案为B。

★★☆（2014·联考上·61）某单位组织参加理论学习的党员和入党积极分子进行分组讨论，如果每组分配7名党员和3名入党积极分子，则还剩下4名党员未安排；如果每组分配5名党员和2名入党积极分子，则还剩下2名党员未安排。问参加理论学习的党员比入党积极分子多多少人？（　　）

A．16

B．20

C．24

D．28

【答案】B

【解析】利用数字特性法代入：第二次分配每组党员比入党积极分子多3人，最后还多2名党员，设第二次分配分成x组，则说明党员比积极分子多的人数可以表示为3x+2，即多的人数减去2是3的倍数，结合选项，只有B项符合。

★（2010·浙江·77）有一个自然数“x”，除以3的余数是2，除以4的余数是3，问“x”除以12的余数是多少？（　　）

A．1

B．5

C．9

D．11

【答案】D

【解析】同余口诀。除以3的余数是2，除以4的余数是3，除数与余数的差相同，“差同减差”再“最小公倍加”，x可表示为12N-1，除以12余数为11。故正确答案是D。

★（2009·北京社招·15）某生产车间有若干名工人，按每四个人一组分多一个人，按每五个人一组分也多一个人，按每六个人一组分还是多一个人，该车间至少有多少名工人？（　　）

A．31

B．41

C．61

D．122

【答案】C

【解析】同余口诀。按每四个人一组分多一个人，按每五个人一组分也多一个人，按每六个人一组分还是多一个人，“余同取余”再“最小公倍加”，车间的工人数满足60n+1，n=1时最小值为61人，因此本题选C。

比较一下代入排除：4人一组多一个，排除A、D;6人一组多一个，排除B。直接选择C。可见能代入排除的情况下代入排除更直接迅速。

★★（2011·安徽·4）在1000以内，除以3余2，除以7余3，除以11余4的数有多少个？（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

【答案】B

【解析】本题不适合使用口诀，因此使用特值。11n+4，从最小值起是15、26、37、48、59…符合这三个条件的最小自然数是59，那么通项为N=231n+59≤1000，其中n≥0且为整数，解得n=0，1，2，3，4。故选B。