5 小波技术

分析各种自然的、社会的、经济的现象，压缩图像和声音信号，追踪股票市场的波动以及从模糊的画面中恢复信息，这是小波技术要完成的目标。小波技术是新近20年逐步成熟的一项数学技术。

小波函数，在数学上是一个小的波形函数，通常含有一个中央尖峰和两边上较小的负尖峰。小波方法和傅里叶变换类似，后者常按照频率成分或特征波长来分析信号。例如，傅里叶变换能够恢复声音信号，还可通过不同成分的简谐波的叠加而实现。小波方法克服了傅里叶变换在分析急剧变化的信号时的缺点。小波技术提供信号的各特征所在位置的信息，它可以探测和突出讲话音节的出现和小号音符的键击。

贝尔实验室的数学家开发了一种适合于声音和图像处理的小波变换算法，明显快于最好的傅里叶变换法。其复杂程度仅与待分析的数据点的数目成比例。这种算法，正在由剑桥的一家公司制成集成电路块。这仅是使用这个“大技术”的开始。耶鲁大学的数学家们说，语言和图像识别、统计分析与湍流的模拟都可利用小波技术来作出分析。“自适应小波变换包”能以一种特别紧凑的形式来表示信息。这种变换易于压缩，但更重要的是，它提示了信号的结构。心电图的自适应小波变换有可能帮助临床医生区别正常人与病人的心脏的跳动。有位数学家指出，小波能用来简化物理学家和其他学科中的专家们用来表示世界的数学变换。他认为，采用小波变换能够把需要10000次运算的问题减少到100次！

小波是傅里叶分析理论的一个分支，它寻求把复杂现象通过分析表示成具有简单的成分来理解，即不同频率和振幅的正弦波和余弦波的和。它适用于周期现象，周期性是正、余弦函数最显著的性质。脉冲越大，描述它所需要的傅里叶分量就越多。小波分析不用无限延长的正、余弦波，而依赖于对一个适当选择的母波进行平移和伸缩，这个母波集中在一个有限的区间中，几乎任何函数都能充当母波，这使得小波理论比傅里叶分析更灵活，“子”波是通过对母波的单位步长平移和二进位制伸缩形成的，即小波的组合来表示别的函数。

小波是由地球物理学家和数学物理学家引进的。1985年数学家构造了一族小波，它具有光滑性和正交性。1987年又一位数学家构造了另一族小波，不仅具有光滑性和正交性，而且在一个有限区间外恒为零。现在只要符合某种性质的集合上很容易构造且应用得最普遍。

小波技术正尝试应用数学成像的改进——使模糊图像到数值分析的新方法。美国联邦调查局采用了以小波技术为基础的规则实行它的指纹档案，占地1英亩，约4047米2。若把它数字化，则仅需20英尺× 20英尺的房间大小的设备（约36米2）。一张指纹卡要10兆比特的数据。通过指纹所需要的作为二维函数来处理就可以将它表示为小波的组合。适当地选取一族小波，表示一个指纹所需要的数量相对比较少，现有特殊的小波公式表示，可按20比1的比例压缩数据，这样10兆比特可减少到5000比特。

小波技术特别适用于分析声音，可以消除数据中的噪音。

特别还应指出，当一个函数按δ函数展开时，在时间域的定位性是完全准确的，而在频率段无任何定位性（或分辨能力），也即函数分析所反应的只是信号在全部频率上的整体时域，而不能提供任何频率域所对应的时间信息。实际问题中，对一些常见的非平衡信号，如音乐信号，在不同时间演奏不同音符；语音信号，在不同时间对应不同音节；探地信号在目标出现的位置对应一个回波信号等，它们的频率域特性都随时间而变化，因此也可称它们为时变信号。对这一类时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬时）的频率域信息或某一频率段对应的时间信息。因此，寻求一个介于傅里叶分析和δ分析之间的并且有一定时间和频率分辨的基函数来分析时变信息，就非小波技术莫属了。其实小波技术思想来源于伸缩和平移方法。早在1910年就有人提出规范正交基。1938年又有学者对傅里叶变换建立了按二进制频率成分分组。1965年出现了离散形式的小波层。1981年有学者对规范正交基进行改进，证明小波函数存在。但小波概念正式出现于1984年。此后，如上所述，小波技术在各个领域应用效果显著，各种工程的小波软件包愈来愈多。小波技术在信号处理、图像处理、模式识别、语言识别、量子物理、地震勘探、机器人视觉、数值计算等方面都得到广泛应用。