纯数学——科学的基础

在剑桥聚会的逻辑实证主义者清楚，纯数学是通往圣杯的道路，而不是奖赏本身。数学虽然在架构理论上具有无可比拟的潜力，但却是逻辑上的同义反复。也就是说，数学上的结论完全是由它自定的前提推导出来的，而这些前提和真实世界不一定有关系。数学家首先发明引理（lemma）和定理（theorem），并且加以证明，再由此推导出其他引理和定理，如此相循而生，永无止境。其中有些定理和物质世界相吻合，有些则不然。最伟大的科学家，是那些具备令人眼花缭乱技巧的知识运动员，他们有时会发现一些观念，而开启抽象思维的新领域。结果证明，复数、线性变换（linear transformation）以及调和函数（harmonic function）是数学上最有趣也是科学上最有用的方法。

纯数学是描述所有可想象世界的科学，它是一个在逻辑上封闭的系统，但是在初始前提允许的条件下，可以朝各个方向无限延伸。我们如果有无穷的时间和计算潜力，就可以用数学来描述任何想象得到的宇宙。但是我们无法只依赖数学来获得关于我们所生存的这个特殊世界的信息。只有通过观测，我们才能得知周期表、哈勃常数（Hubble constant），以及关于人类存在的其他所有的明确事物。这些事物在其他宇宙中也许不同或不存在，因为物理学、化学和生物学都会受限于我们这个宇宙的参数——这个宇宙也就是我们由银河系向外观测到的宇宙；这些参数构成了科学，描绘我们可触及的所有现象。

因为数学在自然科学中具有极大的绩效，它似乎像一支箭，指向客观真理这个终极目标。让逻辑实证主义者印象尤其深刻的，是量子力学和相对论中抽象数学理论与观测结果之间密切相关，这两项20世纪中最伟大的成就，重新鼓舞了我们对人脑天生潜能的信心。想想看，人类，灵长目的一支，才刚走出石器时代的村落，就能正确预测出几乎无法想象且在日常经验之外的现象。理论家因而推论，我们必定离客观真理的一般公式不远了。

但是逻辑实证主义者摸不着这个圣杯，而且跌倒并暂停前进。逻辑实证主义分析法虽然仍得到少数人的偏好，但普遍而言已经归入哲学研究的范围，就像古生物实验室的恐龙化石一样，人们之所以研究它，是为了寻找其灭绝原因。逻辑实证主义最后的舞台，是卡纳普极少为人所阅读的著作《明尼苏达科学哲学研究》（Minnesota Studies in the Philosophy of Science）。它的致命伤在于整个系统的关键性语义：创始者和跟随者无法同意彼此对语义的基本区分，包括事实和观念、经验归纳与数学真理，以及理论和推测的区隔。在这些烟雾笼罩下的二分法之外，他们对科学和非科学陈述的差别，看法也不一致。