第2章
基于商业信用的易腐烂品的库存模型

2.1　引言

正如从文献回顾中所见，围绕商业信用的运营决策优化现有模型主要针对处于成熟期阶段的产品。但是，在商业实践中，很多企业在产品成长期甚至新产品上市时就已采用商业信用激励机制，况且激烈的市场竞争也使产品在市场上很难维持较长稳定的成熟期。

在现实生活中，我们注意到，对于一些新上市的、比较畅销的或处于成长期的产品，其需求会随着时间的延长而发生变化。运营管理领域的很多文献都对此类依赖于时间的需求函数进行了研究，较早研究的学者包括Silver和Meal（1969）、Donaldson（1977）与Ritchie（1980）等，最新的研究成果包括Roy等（2013）、Das等（2013）和Sarkar等（2014）等。而Chang等（2001）较早地把基于时间的线性需求引入商业信用下的带有变动腐烂率产品的库存模型中。Sana和Chaudhuri（2008）分别研究了基于时间二次方的需求函数和线性函数。近期的相关研究还包括Khanra等（2011）、Teng（2012）、Sarkar（2012）、Singh和Pattnayak（2014）等。

另外，在现实中，一些商品，如消费品和食品等，由于受多种因素的影响，如广告、促销等，会使需求与其库存水平有某种程度上的关联。Levin等（1972）是最早观测到这种现象的，并建立了相关函数。相关的研究文章包括Gupta和Vrat（1986）、Baker和Urban（1988）、Su等（1996）、Balakrishnan等（2004）、Cárdenas-Barrón（2009）、Widyadana（2011）等。而Liao等（2000）把这种函数关系首次引入商业信用的库存决策模型中。之后有关这方面的研究开始多了起来，相关的研究成果可参见Soni和Shah（2008）、Sarkar（2012）、Min等（2012）。

以上两方面研究均是分别针对不同的需求函数，如时变性需求和依赖库存水平的需求，而开展的研究。但是，我们观测到某些产品销量的增长与时间和库存水平均有很大关联，如处于成长期的消费品或畅销的消费品。而且，一些消费品还存在腐烂现象。因此，本章研究一类需求依赖于时间与库存水平的、处于成长期的易腐烂品，零售商在给定的商业信用期下的库存决策。

2.2　假设和符号说明

2.2.1　符号说明

为建模的需要，引入符号如下。

S：每次的订购成本，元/次；

P：每单位的零售价格，元/件；

C：每单位的采购成本，元/件，C<P；

a：每年的初始需求率；

b：每年的需求增长率；

Q：订购量，它是时间T的函数；

h：库存持有成本包括支付利息成本，即储存成本，元/（件·年）；Ie：表示零售商年收益利息率；

Ic：表示零售商年支付利息率；

M：供应商提供给零售商的商业信用期值，单位为年；

θ：依赖于库存水平的常数需求率；

r：产品的固定腐烂率；

T：补货周期的时长；

I（t）：时刻t的库存水平，0≤t≤T；

TC（T）：零售商的年总成本，它是时间T的函数；

T*：表示最优的补货周期；

D*：表示每年的平均最优需求量，它等于Q（T*）/T*。

2.2.2　假设

以下我们采用Goyal（1985）和Teng等（2012）有关模型中相同的假设，以便进行对比分析。

（1）决策期内不存在缺货现象。

（2）仅考虑一个产品。

（3）补货是瞬时补货且生产能力无限大。

（4）依据Dye和Ouyang（2005）、Koschat（2008）、Sana和Chaudhuri（2008）、Min等（2012）所研究的模型可知，他们均假设需求率是瞬时库存水平I（t）的线性函数。另外，处于成长期的产品，特别是时尚商品、季节性商品及最新的电子产品等，它们的需求率会是时间t的线性函数。该类需求模型可参见Dave和Patel（1981）、Chang等（2001）、Teng等（2012）文献。但是，我们观测到某些产品销量的增长与时间和库存水平均有很大关联，如处于成长期的消费品或畅销的消费品。因此，本章综合以上两种需求假设，给出以下需求率函数：

其中，a> 0，b≥0，t≥0。

（5）需要说明的是，本章的目的是最小化第一个补货周期的单位总成本。在实践中，当需求的信息结构发生变化时，其求解的方法和思路也会发生变化。因此，在初始需求D（0）=a时，获取在此情形下的最优补货周期t1，然后我们评估所研究的产品是否仍然处于成长期阶段。如果产品仍处于成长期，在新的初始需求为D（0）=a+bt1的情况下，我们再使用同样的方法获得下一个最优的补货周期t2。否则，当产品趋于或已经处于成熟期时，新的需求函数为D（t）=a′+θI（t）。这种新的需求函数的求解方法和思路，可参见Teng（2002）、Sana和Chaudhuri（2008）等的文献，本章仅研究需求依赖时间和库存的腐烂性产品的库存问题。

（6）在商业信用期内零售商不用还款。在此期间，零售商可以将销售收入存入银行获取利息收入，利息率为Ie。商业信用期结束时，零售商应全额偿付货款。当补货周期大于商业信用期时，即T≥M，零售商应为剩下的库存货物支付利息，利息率为Ic。

（7）为了简化问题，继续假设（θ+r）C-θPMIe≥0和（θ+r）a≥rbM，这在实践中也是很合理的假设。

2.3　模型的建立

库存水平I（t）的持续下降主要是由于满足需求和腐烂所引起的损失。因此，库存水平I（t）关于时间变化的微分方程表达式如下：

其中，边界条件为I（T）=0和I（0）=Q。因此，微分方程（2-2）的解如下：

相应的订购量为

零售商在接受商业信用时，会获得额外的利息收入。此时，要对零售商的总成本构成要素进行细分，主要是对库存持有成本进行细分和拆解，即考虑订购周期和商业信用期限的大小对相关决策结果的影响。零售商总成本构成为：①订购成本；②储存成本（不包含资金的机会成本）；③原材料的采购成本；④利息收入；⑤利息费用。

以下为一个周期的成本构成。

（1）订购成本=S。

（2）储存成本（不包含资金的机会成本）=。

（3）原材料的采购成本=CQ。

有关利息收入和利息费用，即④和⑤两部分，将分两种情况进行讨论。Case 1：T≤M和Case 2：T≥M。

Case 1：T≤M。

在该情形下，商业信用期M大于补货周期T。此时，零售商在T时间内销售所有的产品，并持有全部销售收入至M时刻还清货款。因此，零售商此时没有利息的支付，只有利息的收入。于是，可获得有关零售商的总成本TC1（T）函数表达式如下：

Case 2：T≥M。

在该条件下，商业信用期M小于补货周期T。根据前面的假设可知，在区间[0，M]，零售商可以使用销售收入获得利息收入，此时的利息收入为。当商业信用结束后，零售商要为剩余的产品支付利息费，此时的利息费用为。可获得有关零售商的总成本TC2（T）函数表达式如下：

基于以上结果，单位时间内的总成本函数TC（T）可以写成如下表达式：

显而易见，TC1（M）=TC2（M）。

接下来，针对T≤M和T≥M两种情形，分别求解零售商的最优解及最优补货周期T*。另外，为了简单和方便起见，以下的一些公式中仍然含有积分表达式。

2.4　模型的求解

在以往的商业信用研究中，绝大多数采用二阶求导数和凸分析法，本章并不采用这种传统的分析方法，而是采用使用两次一阶导数方法。类似的证明方法可参见Chung（2008）、Min等（2012）。

Case 1：T≤M。

为使公式（2-5）中的TC1（T）取得最小值，应满足一阶必要条件dTC1（T）/dT=0。TC1（T）有关T的一阶导数如下：

进一步，令：

这样一个转换，使dTC1（T）/dT和k1（T）具有相同的性质。接下来，求得k1（T）有关T的一阶导数如下：

根据上文的假设条件（7），很容易证明dk1（T）/dT> 0。因此，在区间（0，M]上，k1（T）是有关T的严格增函数。而且，容易得出。然而，k1（M）的正负性不易判断。因此，如果k1（M）> 0，运用介值定理可知，k1（T）=0，即dTC1（T）/dT=0，也就意味着，在区间（0，M]上，存在唯一的正根。因此，在区间（0，）上，k1（T）是负值，而在区间（，M]上，k1（T）是正值。对应地意味着，在区间（0）上，TC1（T）是减函数，在区间（，M]上，TC1（T）是增函数。因此，是公式（2-8）中TC1（T）的唯一最优解。但是，如果k1（M）≤0，那么在区间（0，M]上，k1（T）是非正值，进而TC1（T）在区间（0，M]上是减函数。因此，此时的TC1（T）的最优解是M。

基于以上的分析，可获得以下结论。

定理1

如果k1（M）> 0，TC1（T）有唯一的最优解，该值小于M；如果k1（M）≤0，最优值为。

Case 2：T≥M。

同样，为使公式（2-6）中的TC2（T）取得最小值，应满足一阶必要条件dTC2（T）/dT=0。TC2（T）有关T的一阶导数如下：

同样地，令：

因此，使dTC2（T）/dT和k2（T）具有相同的性质。接下来，求得k2（T）有关T的一阶导数如下：

同样地，根据上文的假设条件（7），很容易证明dk2（T）/dT> 0。因此，在区间[M，+∞）上，k2（T）是有关T的严格增函数。而且，容易得出（具体证明参见附录A）。然而，k2（M）的正负性不易判断。因此，如果k2（M）< 0，运用介值定理可知，k2（T）=0，即dTC2（T）/dT=0，也就意味着，在区间[M，+∞）上，存在唯一的正根。因此，在区间[M，）上，k2（T）是负的，而在区间（，+∞）上，k2（T）是正的。对应地意味着，在区间[M，）上，TC2（T）是减函数，在区间[，+∞）上，TC2（T）是增函数。因此，是公式（2-11）中TC2（T）的唯一最优解。但是，如果k2（M）≥0，那么在区间[M，+∞）上，k2（T）是非负值，进而TC2（T）在区间[M，+∞）上是增函数。因此，此时的TC2（T）的最优解是M。

基于以上的分析，可获得以下结论。

定理2

如果k2（M）< 0，TC2（T）有唯一的最优解，该值大于M；如果k2（M）≥0，最优值为。

另外，根据公式（2-9）和公式（2-12）可知，当T=M时，存在k1（T）=k2（T）。为方便起见，令ω=k1（T）=k2（T），其中T=M，即有如下表达式：

综合以上分析和上述两个定理，有关TC（T）的最优解T*，存在以下定理。

定理3

（1）如果ω> 0，那么最优补货周期。

（2）如果ω< 0，那么最优补货周期。

（3）如果ω=0，那么最优补货周期。

证明：

（1）如果ω> 0，根据定理1可知，TC1（）<TC1（M）。另外，运用TC1（M）=TC2（M）和定理2可知，对于所有的T>M，存在TC1（）<TC1（M）=TC2（M）<TC2（T）。因此，定理3中的（1）得证。

（2）如果ω< 0，根据定理2可知，TC2（）<TC2（M）。另外，运用TC1（M）=TC2（M）和定理1可知，对于所有的T<M，存在TC2（）<TC2（M）=TC1（M）<TC1（T）。因此，定理3中的（2）得证。

（3）如果ω=0，根据定理1和定理2可知，TC1（）=TC1（M），TC2（）=TC2（M），最优解均为M。因此，定理3中的（3）得证。

2.5　数值实例与灵敏度分析

为了证明以上提出的库存模型，以下考虑两个算例且分别对应上文提到的两种情形，即Case 1和Case 2，并给出灵敏度分析，讨论参数变化对最优结果的影响。需要指出的是，模型中商业信用和补货周期的时间单位是“年”，而在以下算例中它们的时间单位是“天”。

算例1　S=80元/次，P=5元/单位，C=2元/单位，h=1元/单位·年，Ie=0.1/年，Ic=0. 1/年，M=30天=30/365年，a=3000单位/年，b=8100单位/年，θ=0.1，r=0.1。

通过公式（2-14）的计算，可得ω等于-1.279。因此，根据定理3中的第（2）部分结论可知，，，，。运用MATLAB R2011a中数值运算公式，将上文提到的对应公式带入，求得最终结果为T*=30.25天，Q*=278.8单位，D*=3364.3单位/年，TC*=7771.679元/年。

算例2　S=70元/次，P=6元/单位，C=2元/单位，h=1元/（单位·年），Ie=0. 1/年，Ic=0. 12/年，M=30天=30/365年，a=5000单位/年，b=10000单位/年，θ=0.1，r=0.06。

同样的，运用公式（2-14）的计算，可得ω等于35. 619。根据定理3中第（1）部分的结论可知，，。采用相应的计算公式，可得最优解为T*=24.58天，Q*=361.4单位，D*=5366.2单位/年，TC*=11802.199元/年。

为进一步得到更多的管理上有意义的启示，接下来通过改变参数赋值，分析这些变化对T*、Q*、D*、TC*结果的影响。该灵敏度分析以算例1的原始赋值为基准，每次仅改变一个参数，而其他参数保持不变，且每个参数在原先值的情况下，进行-60%、-30%、30%和60%的改变，最终运算结果如表2-1所示。同时，为更易于理解，基于表2-1中的数据，形成了灵敏度分析图，如图2-1所示。

该灵敏度分析揭示了以下现象。

（1）T*、Q*、D*、TC*随着S值的增加而增大。一个简单的经济上的解释是零售商为了避免更大的订购成本，而转向多订购些产品，即订购周期变长。而且，T*和Q*对于参数S是中等灵敏，TC*对于参数S是低灵敏，而D*对于参数S几乎不灵敏。

（2）T*、Q*、D*、TC*随着P、Ie值的增加而下降。这表明在整个商业信用期内，如果零售价和年收益利息率越大将会获得越多的收益利息。因此，零售商会订购更频繁。然而，T*、Q*、D*、TC*对于参数P、Ie值的变化均不灵敏。

（3）T*、Q*、D*随着C值的增加而下降，但是TC*随着C值的增加而上升。这表明越高的采购成本会导致越高的库存成本，这会让零售商更倾向于订购更少的产品以降低库存成本。T*、Q*对于参数C是中等灵敏，TC*对于参数C是高灵敏，而D*对于参数C的变化几乎不灵敏。

（4）T*、Q*、D*随着h值的增加而下降，但是TC*随着h值的增加而上升。这表明越高的采购成本会导致越高的库存成本，这会让零售商更倾向于订购更少的产品以降低库存成本。这与C的变化对最终决策的影响是相似的。而且，T*、Q*对于参数h是低灵敏，TC*、D*对于参数h的变化几乎不灵敏。

（5）T*、Q*、D*随着Ic值的增加而下降，但是TC*随着Ic值的增加而上升。另外，T*、Q*、TC*、D*对于参数h的变化均几乎不灵敏。需要说明的是，在所有参数中，Ic是对最优结果变化最不灵敏的一个。

（6）TC*随着M值的增加而下降，但是，T*、Q*、D*随着M值的增加是先下降而后上升。另外T*、Q*、TC*、D*对于参数M的变化也均几乎不灵敏。

（7）T*随着a值的增加而下降，但是，Q*、D*、TC*随着a值的增加而上升，这在经济意义上很明显。另外，Q*、TC*、D*对于参数a的变化是高度灵敏的，T*对于参数a的变化是低灵敏的。

（8）T*、Q*随着b值的增加而下降，而D*、TC*随着b值的增加而上升。其经济学上的解释与P、Ie对最终决策的经济学上的解释是相似的。另外，T*、Q*对于参数b是中等灵敏，TC*对于参数b是低灵敏的，而D*对于参数b的变化几乎不灵敏。

（9）T*、Q*随着θ和r值的增加而下降，而D*、TC*随着θ和r值的增加而上升。其经济学上的解释与C对最终决策的经济学上的解释是相似的。然而，T*、Q*、TC*、D*对于参数θ和r的变化也均几乎不灵敏。这也就是说，对于θ和r的估值如果出现偏差，对最终的最优结果影响不是很大。

基于以上的分析和描述，可以获得各个参数与最优值之间的灵敏度等级，具体结果如表2-2所示。

2.6　本章小结

基于给定的商业信用期且需求是时间和库存水平的综合变动函数，本章构建了一种腐烂品的零售商库存决策模型。本章以第一个订购周期的成本函数为优化对象，通过对最优解的存在性和唯一性等证明，提出了有效获取最优解的途径，即定理3。最后，通过算例和数值分析证明了所提出的策略、定理和算法并详细给出了管理学上的启示，并区分了各个参数对于所有最优结果的影响程度，给出了灵敏度等级。另外，如果依赖于库存水平的常数需求率等于零、腐烂率等于零、需求增长率b等于零和商业信用期M等于零，即θ=0、r=0、b=0和M=0，本章所研究的模型就是经典的EOQ模型。当θ=0、r=0时，Teng等（2012）所研究的模型可以视为本章研究的特例，具体证明参见附录B。