1.4　非线性微分方程的线性化

在实际控制系统中，组成控制系统的元器件并非完全是线性的，例如，弹簧的刚度与其形变有关系，因此弹性系数K实际上是其位移x的函数，并非常值；电阻、电容、电感等参数值与周围环境（温度、湿度压力等）及流经它们的电流有关，也并非常值；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性方程。

在一定条件下，为了简化控制系统，可忽略这些元器件的非线性影响，将其视为线性化原件，除此之外，还可以利用切线法（小偏差法）对其进行线性化处理，如图1-5所示。

图1-5　小偏差线性化示意图

设连续变化的非线性函数为y=f（x）。取某平衡状态A为工作点，对应有y0=f（x0），当x=x0+Δx时，有y=y0+Δy。设函数y=f（x）在（x0，y0）点连续可微，则将它在该点附近用泰勒级数展开为：

当增量x-x0很小时，略去其高次幂项，则有：

令Δy=y-y0=f（x）-f（x0），Δx=x-x0，

则线性化方程可简记为Δy=KΔx，略去增量符号Δ，便得函数y=f（x）在工作点A附近的线性化方程为y=Kx。式中，K=[df（x）/dx]x0是比例系数，它是函数f（x）在A点的切线斜率。对于有两个自变量x1、x2的非线性函数f（x1，x2），同样可在某工作点（x10，x20）附近用泰勒级数展开为

略去二阶以上导数项，并令

可得增量线性化方程为：

式中

这种小偏差线性化方法对于控制系统的大多数工作状态是可行的。事实上，自动控制系统在正常情况下都处于一个稳定的工作状态，即平衡状态，这时被控量与期望值保持一致，控制系统也不进行控制动作。一旦被控量偏离期望值产生偏差时，控制系统便开始控制动作，以便减小或消除这个偏差，因此控制系统中被控量的偏差一般不会很大，只是“小偏差”。在建立控制系统的数学模型时，通常将系统的稳定工作状态作为起始状态，仅研究小偏差的运动情况，也就是只研究相对于平衡状态下，系统输入量和输出量的运动特性，这正是增量线性化方程所描述的系统特性。