2.2 欧几里得公设

欧几里得在构筑他的几何大厦时，对其证明所依赖的假定有过相当仔细的考虑。[2]特别是，他将所谓公理——一些自明的真理，它们基本上是关于点、线等的定义——的明确命题与5个公设——一些假定，其有效性不那么确实，但从我们周围世界的几何性质来看似乎是正确的——进行了仔细的区分。这些假定中的最后一条，即所谓欧几里得第五公设，被认为比其他几条更缺少自明性，许多世纪以来，人们一直认为它应当能够从其他几条更为明确的公设中导出。欧几里得第五公设通常又称为平行公设，这里我们来研究一下这条公设。

在讨论平行公设之前，有必要指出欧几里得其他四条公设的性质。这些公设主要涉及（欧几里得）平面几何，虽然欧几里得在他后来的工作中也曾考虑过三维空间问题。他的平面几何的要素是点、直线和圆。这里，我将“直线”（或简称为“线”）看成是两端无限延伸的，相反的则称为“线段”。欧几里得第一公设是说，两点间存在（唯一的）直线段。第二公设是说，任何直线段可无限（连续地）延伸。第三公设为给定任一点及任意半径值可以有一个圆。最后，第四公设是说，所有直角都相等。[3]

从现代观点看，其中的一些公设略显奇怪，特别是第四公设，但我们应当意识到，欧几里得几何的这些基本概念，基本上都源自理想刚体的运动，以及由两个这样的理想刚体同时相对运动带来的全等观念。一物的直角与另一物的直角相等很可能来自这样的经验：我们移动一物使得由此形成直角的线正好与移动另一物时形成的直角线重合。实际上，第四公设说的是空间的各向同性和均匀性，因此一地的图形才可能与另一地的图形具有“相同的”（即全等的）几何形状。第二和第三公设表述的是空间可无限扩张并且没有“间隙”的观念，而第一公设表述的是直线段的基本性质。虽然欧几里得看待几何的方式与我们今天的方式大相径庭，但他的前四个公设基本上包括了我们目前的（二维）完全均匀且各向同性的度规空间，范围上是无限的。实际上，按照当代宇宙学的理解，这样一种图像似乎与实际宇宙的大尺度空间性质紧密相关，我们将在§27.11和§28.10再来讨论这个问题。

那么什么是欧几里得第五公设（或平行公设）呢？按照欧几里得对这一公设的基本描述，它可陈述为：如果平面上两条直线段a和b同时为另一条直线c所截（故c称为a和b的截线），使得c的某一侧的同旁内角和小于两个直角，则a和b在该侧的部分经无限延伸后必在某一点相交（见图2.8（a））。这个公设的等价形式（有时称为普莱菲尔公理［Playfair's axiom］）表述为：给定一直线和直线外一点，过该点存在唯一一条直线与已知直线平行（见图2.8（b））。这里，“平行”线是指同一平面上两条彼此不相交的直线（我们知道，“线”是个指两端可充分延伸的概念，不是指欧几里得“线段”）。*〔2.1〕一旦有了平行公设，我们就能够着手建立正方形存在所需的性质。如果一对直线与一截线相交，使得截线的同旁内角和等于两个直角，则我们就能够证明这对直线是平行的。进一步还有，这对直线的任意一条截线都具有这样的角的性质。这差不多就是上述建立正方形论证所需的东西了。我们看到，证明所有边全相等所有角都是直角的正方形能够建立起来要用到的正是平行公设。没有平行公设，我们就不可能真正建立（通常意义上的各角都是直角的）正方形。

图2.8（a） 欧几里得平行公设。直线段a和b为另一条直线c所截，使得c的某一侧的同旁内角和小于两个直角，则a和b（假设可延伸到足够远）最终必相交。（b）（等价的）普莱菲尔公理：如果a是平面上一直线，P为平面上a外的一点，则过P点平面上存在唯一一条直线与a平行。

为了“严格证明”像正方形这样明显的事实我们需要对假设给予高度关注，这好像是一种数学上的矫情。我们为什么要对“正方形”这样一种人尽皆知的熟悉图形保持关注呢？一会儿我们还会看到，实际上欧几里得曾长期困扰于这一问题。欧几里得的执著不是没有道理，它与宇宙的实际几何这样的深层次问题密切相关。特别是，实际宇宙中是否存在着宇宙学尺度上的物理“正方形”，这并不是一个显然的问题。它是一个观察问题，目前的证据看起来并不一致（见§2.7和§28.10）。