4.4 矩阵的秩

在矩阵中，线性无关的最大行数等于线性无关的最大列数，这个数目就是矩阵的秩（rank of matrix）。注意，这个定义同时保证了矩阵的秩不大于矩阵行的数目且不大于列的数目。读者对由此定义得出的推论应当并不陌生。比如，

由于第3行=第1行+第2行，所以第3行与第1行和第2行线性相关。同时，第1行与第2行明显不成比例，因此该矩阵中真正独立的只有2行。另外，我们也可以通过列的最大线性无关数目来看矩阵的秩。由于第3列=第1列+第2列，第4列=第1列+第2列的1.5倍，而第1列和第2列彼此不成线性关系，于是线性无关的最大列数也是2列。这样我们就通过一个例子验证了矩阵线性无关的最大行数等于线性无关的最大列数，这个数目即为矩阵的秩。

当n × n维方阵A的秩等于n时，我们称这个矩阵为非奇异（nonsingular）矩阵或满秩矩阵。如果A的秩小于n，那么这个矩阵就是奇异的（singular）。