4.7 矩阵的运算法则

矩阵的加法与数乘满足以下8条运算法则。对于数域K上任意s ×n维矩阵A, B, C，以及任意k, l∈K，有：

（1）A+B=B+A；

（2）（A+B）+C=A+（B+C）；

（3）零矩阵0使得A+0=0+A=A；

（4）设A=（aij），矩阵（-aij）称为矩阵A的负矩阵，记作-A，且有A+（-A）=（-A）+A=0；

（5）1A=A；

（6）（kl）A=k（lA）；

（7）（k+l）A=kA+lA；

（8）k（A+B）=kA+kB。

矩阵的相乘满足：

（1）结合律：设 A =（aij）s × n, B =（bij）n × m, C =（cij）m × r，则（AB）C=A （BC）；

（2）在相应矩阵乘法可行的情况下，满足左分配律：A（B+C）=AB+AC，和右分配律：（B+C）D=BD+CD；

（3）矩阵的乘法与数乘满足下述关系式：k（AB）=（kA）B=A（kB）。

矩阵的加法、数乘、乘法三种运算与矩阵转置的关系如下：

（1）（A′）′=A；

（2）（A+B）′=A′+B′；

（3）（kA）′=kA′；

（4）（AB）′=B′A′。

有关矩阵逆运算的关系如下：

（1）（A-1）-1=A；

（2）在矩阵A和B均为满秩矩阵的情况下，（AB）-1=B-1A-1；

（3）（kA）-1=k-1A-1；

（4）（A′）-1=（A-1）′。