4.9 矩阵在社会科学中的应用

矩阵的优点在于它是一种方便的表示方法，一个矩阵可以用来表示很多信息，所以它在包括社会科学在内的很多学科中都有着大量的应用。在本节，我们举两个具体的应用例子。

矩阵在社会关系网络分析中是基本的表示方式。如果这种关系是无向的，比如两个人之间是否存在朋友关系（这里默认如果A是B的朋友，则B也是A的朋友），用1表示这种关系存在、0表示这种关系不存在，那么可以将若干人关系的网络图用一个仅由0、1元素组成的矩阵表示出来。比如，第2个人和第3个人是朋友关系，和第4个人不是朋友关系，那么在矩阵中，第2行第3列和第3行第2列的元素都用1表示、第2行第4列和第4行第2列的元素都用0表示。这样，一个系统中所有人之间的朋友关系就可以用一个矩阵来表达。注意，这种表达无向关系的矩阵一定是对称矩阵。如果关系是有向的，比如调查的问题是“向谁寻求帮助”，那么得到的关系矩阵就不一定是对称矩阵。

此外，矩阵在应用随机过程理论的研究中也会经常出现。一个矩阵可以表示在一个马尔科夫链中从一个状态转移到下一个状态的转移概率分布，这种矩阵被称为转移概率矩阵。这在随机过程的研究中很常见。比如，可以用第i行第j列的元素表示当现在的状态为i时，下一时刻的状态变为j的概率。显然，转移概率矩阵的元素都不小于零且不大于1，并且每行元素之和为1（因为每个行为表示某一时刻、某一状态下的条件概率）。比如，人口学中关于人口结构变化的研究（Keyfitz, 1985）、传染病学以及语音识别等研究都会用到这种转移概率矩阵。