1.3 有限元分析技术的发展及应用

有限元方法作为一种高效的数值计算方法，早期是以变分原理为基础发展起来的，广泛地用于“准调和方程”所描述的各类物理场中，最著名的就是拉普拉斯方程和泊松方程，工程实际中常遇到的热传导、多孔介质渗流、理想液体无旋流动、电势（磁势）分布、棱柱杆扭转、棱柱杆弯曲、轴承润滑等都属于这类方程。现在则扩展到以任何微分方程所描述的各类物理场中。

其实，有限元方法中对于连续性问题采用的“有限分割、无限逼近”的思想自古有之，我国魏晋时期数学家刘徽1755年前撰写的《九章算术注》就给出了数学史上著名的“割圆术”计算圆周率的方法。“割圆术”（见图1.3-1）是以“圆内接正多边形的周长”，来无限逼近“圆周长”。刘徽形容他的“割圆术”说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”。

图1.3-1 刘徽的“割圆术”示意图

现代有限元方法的起源可追溯到20世纪早期，1943年，美国数学家Richard Courant首先提出了可以用有限个单元模拟无限点的物体，Courant也成为公认的应用有限元方法的第一人。

20世纪50年代，随着计算机的出现和普及，美国的工程师Turner、Clough首先采用Courant的观点解决了飞机机翼的强度问题。1960年，Clough在论文《The finite element in plane stress analysis》中首次提出了“有限元（Finite Element）“这一术语，从而为有限元方法正式命名。1967年，Zienkiewicz和Cheung出版了第一本有关有限元分析的专著。1970年后，有限元方法应用于非线性和大变形问题，Oden于1972年出版第一本处理非线性连续体专著。

20世纪60年代，我国中科院数学所计算数学家冯康首先从数学角度出发，总结出一个工程物理问题可以归结为ΔU=0（见表1.2-1），都可用有限元方法求解，并在其论文中提出了“有限单元”这一名词。国内在有限元方法方面的贡献主要有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱伟长、胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。

现在，有限元分析已经成为数值计算的主流，结构、热、流体、电磁场中的稳态/瞬态、线性/非线性问题都可用有限元方法解决，国际上通用的有限元分析软件很多，如ANSYS、MCS Nastran、Abqus、ADINA、LS-DYNA等，且涉及有限元分析的杂志多达几十种，有限元分析技术及其软件已经得到广泛应用（见图1.3-2）。

有限元方法的主要特征可归纳如下。

●深度：解决多种类复杂问题。

●广度：涵盖多学科领域（结构、热、流体、电磁等）。

●综合：多物理场耦合。

●灵活：从简单到复杂，从单行到多核、并行处理。

●适应性：CAD接口多、数据共享。

图1.3-2 有限元分析应用