2.3.4 矩阵的代数运算
矩阵的代数运算应包括线性代数中讨论的诸多方面，限于篇幅，本节仅就一些常用的代数运算在MATLAB中的实现给予描述。
本节所描述的代数运算包括求矩阵行列式的值、矩阵的加减乘除、矩阵的求逆、求矩阵的秩、求矩阵的特征值与特征向量、矩阵的乘方与开方等。这些运算在MATLAB中有些是由运算符完成的，但更多的运算是由函数实现的。
1．求矩阵行列式的值
求矩阵行列式的值由函数det（A）实现。
【例2.24】 求给定矩阵的行列式值。
>> A=[3 2 4;1-1 5;2 –13], D1=det(A)
A =
3 2 4
1 -1 5
2 -1 3
D1 =
24
>> B=ones(3), D2=det(B), C=pascal(4), D3=det(C)
B =
1 1 1
1 1 1
1 1 1
D2 =
0
C =
1 1 1 1
1 2 3 4
1 3 6 10
1 4 10 20
D3 =
1
2．矩阵加减、数乘与乘法
矩阵的加减法、数乘和乘法可用表2-2介绍的运算符来实现。
【例2.25】 已知矩阵
求A+B,2A,2A-3B, AB。
>>A=[1 3;2 –1]; B=[3 0;1 2];
>>A+B
ans =
4 3
3 1
>> 2*A
ans =
2 6
4 -2
>> 2*A-3*B
ans =
-7 6
1 -8
>> A*B
ans =
6 6
5 -2
因为矩阵加减运算的规则是对应元素相加减，所以参与加减运算的矩阵必须是同阶矩阵。而数与矩阵的加减乘除的规则一目了然，但矩阵相乘有定义的前提是两矩阵内阶相等。
3．求矩阵的逆矩阵
在MATLAB中，求一个 n 阶方阵的逆矩阵远比线性代数中介绍的方法来得简单，只需调用函数inv（A）即可实现。
【例2.26】 求矩阵A的逆矩阵。
>> A=[1 0 1;2 1 2;0 4 6]
A =
1 0 1
2 1 2
0 4 6
>> format rat; A1=inv(A)
A1 =
-1/3 2/3 -1/6
-2 1 0
4/3 -2/3 1/6
4．矩阵的除法
有了矩阵求逆运算后，线性代数中不再需要定义矩阵的除法运算。但为与其他高级语言中的标量运算保持一致，MATLAB保留了除法运算，并规定了矩阵的除法运算法则，又因照顾到解不同线性代数方程组的需要，提出了左除和右除的概念。
左除即A\B=inv（A）*B，右除即A/B=A*inv（B），相关运算符的定义参见2.1.5节表2-2的说明。
【例2.27】 求下列线性方程组的解
解：此方程可列成两组不同的矩阵方程形式。
一是，设X=[x1; x2; x3; x4]为列向量，矩阵A= [1 4-7 6;0 2 1 1;0 1 1 3;1 0 1-1], B=[0; -8; -2;1]为列向量，则方程形式为AX=B，其求解过程用左除：
>>A=[1 4-7 6;0 2 1 1;0 1 1 3;1 0 1-1], B=[0; -8; -2;1], x=A\B
A =
1 4 -7 6
0 2 1 1
0 1 1 3
1 0 1 -1
B =
0
-8
-2
1
x =
3.0000
-4.0000
-1.0000
1.0000
>> inv(A)*B
ans =
3.0000
-4.0000
-1.0000
1.0000
由此可见，A\B的确与inv（A）*B相等。
二是，设X=[x1x2x3x4]为行向量，矩阵A=[1 0 0 1;4 2 1 0; -7 1 1 1;6 1 3-1]，矩阵B=[0-8-21]为行向量，则方程形式为XA=B，其求解过程用右除：
>>A=[1 0 0 1;4 2 1 0; -7 1 1 1;6 1 3-1], B=[0-8-2 1], x=B/A
A =
1 0 0 1
4 2 1 0
-7 1 1 1
6 1 3 -1
B =
0 -8 -2 1
x =
3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000
>> B*inv(A)
ans =
3.0000 -4.0000 -1.0000 1.0000
由此可见，A/B的确与B*inv（A）相等。
本例用左右除法两种方案求解了同一线性方程组的解，计算结果证明两种除法都是准确可用的，区别只在于方程的书写形式不同而已。
另需说明一点，本例所求的是一个恰定方程组的解，对超定和欠定方程，MATLAB矩阵除法同样能给出其解，限于篇幅，在此不做讨论。
5．求矩阵的秩
矩阵的秩是线性代数中一个重要的概念，它描述了矩阵的一个数值特征。在MATLAB中求秩运算是由函数rank（A）完成。
【例2.28】 求矩阵的秩。
>> B=[1 3-9 3;0 1-3 4; -2-3 9 6], rb=rank(B)
B =
1 3 -9 3
0 1 -3 4
-2 -3 9 6
rb =
2
6．求矩阵的特征值与特征向量
矩阵的特征值与特征向量是在最优控制、经济管理等许多领域都会用到的重要数学概念。在MATLAB中，求矩阵 A 的特征值和特征向量的数值解，有两个函数可用：一是[X, λ]=eig（A），另一是[X, λ]=eigs（A）。但后者因采用迭代法求解，在规模上最多只给出6个特征值和特征向量。
【例2.29】 求矩阵A的特征值和特征向量。
>> A=[1-3 3;3-5 3;6-6 4], [X, Lamda]=eig(A)
A =
1 -3 3
3 -5 3
6 -6 4
X =
0.4082 0.4082 -0.1203
0.4082 -0.4082 -0.7595
0.8165 -0.8165 -0.6393
Lamda =
4.0000 0 0
0 -2.0000 0
0 0 -2.0000
Lamda用矩阵对角线方式给出了矩阵 A 的特征值为λ1=4, λ2=λ3=-2。而与这些特征值相应的特征向量则由X的各列来代表，X的第1列是λ1的特征向量，第2列是λ2的，其余类推。必须说明，矩阵A的某个特征值对应的特征向量不是有限的，更不是唯一的，而是无穷的。所以，例中结果只是一个代表向量而已。有关知识请参阅线性代数教材。
7．矩阵的乘幂与开方
在MATLAB中，矩阵的乘幂运算与线性代数相比已经做了扩充，在线性代数中，一个矩阵A自己连乘数遍，就构成了矩阵的乘方，例如A3。但3A这种形式在线性代数中就没有明确定义了，而MATLAB则承认其合法性并可进行运算。矩阵的乘方有自己的运算符（^）。
同样地，矩阵的开方运算也是MATLAB自己定义的，它的依据在于开方所得矩阵相乘正好等于被开方的矩阵。矩阵的开方运算由函数sqrtm（A）实现。
【例2.30】 矩阵的乘幂与开方运算。
>> A=[1-3 3;3-5 3;6-6 4];
>> A^3
ans =
28 -36 36
36 -44 36
72 -72 64
>> A^1.2
ans =
1.7097-0.6752i -3.5683-0.6752i 3.5683 + 0.6752i
3.5683 + 0.6752i -5.4270-2.0256i 3.5683 + 0.6752i
7.1367 + 1.3504i -7.1367-1.3504i 5.2780-0.0000i
>> 3^A
ans =
40.5556 -40.4444 40.4444
40.4444 -40.3333 40.4444
80.8889 -80.8889 81.0000
>> A1=sqrtm(A)
A1 =
1.0000 + 0.7071i -1.0000 + 0.7071i 1.0000-0.7071i
1.0000-0.7071i -1.0000 + 2.1213i 1.0000-0.7071i
2.0000-1.4142i -2.0000 + 1.4142i 2.0000-0.0000i
>> A1^2
ans =
1.0000-0.0000i -3.0000 + 0.0000i 3.0000
3.0000-0.0000i -5.0000 + 0.0000i 3.0000-0.0000i
6.0000-0.0000i -6.0000 + 0.0000i 4.0000-0.0000i
本例中，矩阵A的非整数次幂是依据其特征值和特征向量进行运算的，如果用X表示特征向量，Lamda表特征值，具体计算式是A^p=Lamda*X.^p/Lamda。
需要强调指出的是，矩阵的乘方和开方运算是以矩阵作为一个整体的运算，而不是针对矩阵每个元素施行的。强调的目的在于与2.4.3节数组的乘幂和开方运算相区别。
8．矩阵的指数与对数
矩阵的指数与对数运算也是以矩阵为整体而非针对元素的运算。和标量运算一样，矩阵的指数与对数运算也是一对互逆的运算，也就是说，矩阵A的指数运算可以用对数去验证，反之亦然。
矩阵指数运算的函数有多个，例如expm（ ）、expm1（ ）、expm2（ ）和expm3（ ）等，其中最常用的是expm（A）；而对数运算函数则是logm（A）。
【例2.31】 矩阵的指数与对数运算。
>> A=[1-1 1;2-4 1;1-5 3]
A =
1 -1 1
2 -4 1
1 -5 3
>> Ae=expm(A)
Ae =
1.3719 -3.7025 4.4810
0.3987 -2.3495 2.9241
-2.5254 -7.6138 9.5555
>> Ael=logm(Ae)
Ael =
1.0000 -1.0000 1.0000
2.0000 -4.0000 1.0000
1.0000 -5.0000 3.0000
9．矩阵转置
在MATLAB中，矩阵的转置被分成共轭转置和非共轭转置两大类。共轭转置有专门的运算符列在表2-2中。但就一般实矩阵而言，共轭转置与非共轭转置的效果没有区别，复矩阵则在转置的同时实现共轭。
单纯的转置运算可以用函数transpose（Z）实现，不论实矩阵还是复矩阵都只实现转置而不做共轭变换。具体情况见下例。
【例2.32】 矩阵转置运算。
>> a=1:9
a =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
>> A=reshape(a,3,3)
A =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
>> B=A'
B =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> Z=A+i*B
Z =
1.0000 + 1.0000i 4.0000 + 2.0000i 7.0000 + 3.0000i
2.0000 + 4.0000i 5.0000 + 5.0000i 8.0000 + 6.0000i
3.0000 + 7.0000i 6.0000 + 8.0000i 9.0000 + 9.0000i
>> Z'
ans =
1.0000-1.0000i 2.0000-4.0000i 3.0000-7.0000i
4.0000-2.0000i 5.0000-5.0000i 6.0000-8.0000i
7.0000-3.0000i 8.0000-6.0000i 9.0000-9.0000i
>> transpose(A)
ans =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> transpose(Z)
ans =
1.0000 + 1.0000i 2.0000 + 4.0000i 3.0000 + 7.0000i
4.0000 + 2.0000i 5.0000 + 5.0000i 6.0000 + 8.0000i
7.0000 + 3.0000i 8.0000 + 6.0000i 9.0000 + 9.0000i
10．矩阵的提取与翻转
矩阵的提取和翻转是针对矩阵的常见操作。在MATLAB中，这些操作都由函数实现，这些函数如表2-10所示。
表2-10 矩阵结构形式提取与翻转函数
下面举例说明他们的应用。
【例2.33】 矩阵提取与翻转。
>> a=linspace(1,23,12)
a =
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23
>> A=reshape(a,4,3)'
A =
1 3 5 7
9 11 13 15
17 19 21 23
>> fliplr(A)
ans =
7 5 3 1
15 13 11 9
23 21 19 17
>> flipdim(A,2)
ans =
7 5 3 1
15 13 11 9
23 21 19 17
>> flipdim(A,1)
ans =
17 19 21 23
9 11 13 15
1 3 5 7
>> triu(A)
ans =
1 3 5 7
0 11 13 15
0 0 21 23
>> tril(A)
ans =
1 0 0 0
9 11 0 0
17 19 21 0
>> diag(A)
ans =1
11
21