数学的魅力

[挪威]纽特

“学数学为什么这么困难？”“学这种东西有什么用处？”你在上数学课时，可能也有这样的疑问。问这种问题并不蠢，可是死背老师教的东西就很蠢了。

第一个问题可以简单回答：“人所以会对数学感到头痛多半是因为头脑不适合计算。”对于生活在大自然中的原始人来说，数学这种东西应该是一点用处也没有，因为他们最重要的事情是能够活到明天，而人的身体构造从那时候到现在并没有什么改变，因此你的大脑在丛林里寻找老虎时远比思考二加二来得灵活。

要证明人脑的这个弱点很容易。请闭上眼睛，试着想象桌上放着五件东西，什么都可以，这里姑且假设是啤酒瓶好了。首先在脑海里想象桌上有五个啤酒瓶，然后再把一个酒瓶放在这张桌子上，这时……会怎样？这第六个啤酒瓶是不是在脑海里显得很模糊？再加入第七个啤酒瓶看看。这时除非把所有啤酒瓶一个个数出来，否则恐怕无法一次想象清楚。事实上，进行这个测验时，只有极少数人才能在脑海中一次想象出八九个啤酒瓶。

所以，听到这个地球上有很多民族没有表示“数量”的语汇时，也没什么好惊讶的。这些民族虽然有“一”这个词，后面的数量却都由“很多”这个词汇来表示，也就是说没有代表“二”、“三”、“四”等数字的话语。

然而，我们的社会却要你在书桌前不停地使用原始人的大脑钻研数学课本。为什么呢？答案有两个，一个是————老师和父母一定已经告诉过你了，我在这里还是重复一次吧，就是在这个世界上生活时，多少有一些数学知识比较有利。

拿金钱来说好了，你也许有一天需要去银行借钱，要避免在这时候为计算借款而张皇失措，就要尽可能多了解数学。当然你可以用计算器，但是万一按错了键，还是必须靠自己去发现这个错误。换句话说，要发现这种错误，就必须具备充分的数学知识。

苏美尔人的智慧

总之，懂得计算比较有利，这也是数学这个东西会出现的原因之一。那是距今5000多年前的事了，当时有一个民族叫做苏美尔人，刚开始在幼发拉底河和底格里斯河流域建造第一座大城，数学就是在这里起源的。

人一开始住在大城市，就会发生许多以前没有遇到过的问题。苏美尔人察觉到这一点，决定向几千名居民收费，也就是说征税，然后用收来的钱筑路、挖掘运河或建造房屋、寺院、城池。不管是哪一种建设，需要的劳工和建筑材料都远远不是以往的小村落所能比拟的。而且那时候已经有许多苏美尔人在经商，也需要管理自己买卖的商品。

苏美尔人于是想出最早的数学系统，制订加、减、乘、除四则演算的规则，从而解决了生活上的现实问题。譬如建造一间寺院需要花上300天，在这段期间必须供给1000名劳工一天两餐，这时管理阶层的苏美尔人就能够马上计算出施工期间必须准备60万份饮食。因为他们具有计算能力，所以能够预先做好计划。

此外，苏美尔人还知道天上的事情也和数字有关。他们早就注意到，每年都可以在同一个季节的夜空中看到同样的星星。他们还知道，从太阳在盛夏抵达空中最高点到来年返回同一个位置总共需要365天，而满月和满月之间总是间隔29天。苏美尔人最感到不可思议的是，有特别的星星在其他星星之间转来转去，而这种“游荡的星星”——现在称为“行星”——也是很规律地在空中运行。

光是辽阔的空中景象就够让人兴奋不已了，苏美尔人进一步发觉那里的星星、太阳、月亮和日期、数字有关时，心里一定相当的感动。人类就是从那时候开始频频观测星空，第一个天文学家也许就是苏美尔人。

几何学的诞生

苏美尔人的王国在距今4000年前为古巴比伦人所攻占。关于古巴比伦，上过宗教（基督教）课程的人应该都听过，这个王国的首都是巴比伦，也就是以色列人被带往的地方。古巴比伦人不仅征服了苏美尔人，也接收了他们的数学知识，奠定了数学这门学问的基础。古巴比伦人为了了解太阳、星星、月亮和行星如何在天空移动，而制作出正确的天体运行表。有了这份依据数学规则制作的运行表，人们才能开始预测星空的变化。

这些知识对当时的一般人来说，一定如同法术。计算技术实际上也运用在这一方面。古巴比伦人相信空中发生的事情会影响日后的地面，因此当时的天文学家也是占卜民众生活的巫师。古代巴比伦的“星星宗教”也称为占星术，一直流传到现在。大部分的周刊杂志不是都有“占星”专栏吗？那就是根据古巴比伦人对星星的数学知识建立出来的。

还有，古巴比伦人也使用细木棍在黏土盘上刻字。这种黏土盘有几十万块留存下来，大部分是商品的库存单、收据、估价单、天体运行表等等，几乎都没有关于宗教、诗、故事、法律等方面的。从这里可以知道，在古代巴比伦人的日常生活中，计算（以及金钱）是多么的重要。

发明几何学的人也是古巴比伦人。几何学是数学中的一门，研究三角形、圆、四角形、线等计算的学问。“几何学（geometry）”一词的原意是“测量土地”。这项知识要如何运用呢？我们请古巴比伦隔壁的古埃及人民来告诉我们。他们正面临着很特殊的问题。

毕达哥拉斯

埃及人的生活从过去到现在都要依赖尼罗河。以前的尼罗河每年到了春天都会泛滥，泛滥过的河水会冲走用来划定属地的栅栏或石垣，所以每次泛滥之后，农民都必须请人重新测量土地。几何学——亦即“测量土地”就是在这时派上用场的。

古希腊人开始关心自然时，数学在整个中东地区已经很普遍了。可是，希腊人什么都要认定是他们最早想出来的，在这方面也坚持第一个真正的数学家是泰勒斯。

目前已经知道，具备的数学知识能和古巴比伦人相比的古希腊哲学家寥寥无几，其中之一就是毕达哥拉斯。他在公元前570年生于萨摩斯岛，一般认为他的学问是由泰勒斯的弟子传授的。毕达哥拉斯是因两个发现而闻名，但是其中之一却和毕达哥拉斯本人没有关系！那就是几何学上有名的“勾股定理”。

这项定理是关于三角形的边长，只适用于三边中有两边呈直角的三角形。所谓的直角就是绑着秤锤的线垂到地上时，与地平面形成的角度。这本书的书页四边就是这样的直角。

三角形有这种直角，而且知道形成直角两边的长度时，就可以计算出最长边（斜边）的长。用公式来说明就一清二楚了。假设较短的两边是A和B，最长的边是C，那么：

C×C=A×A+B×B

实际上测量各个边长就能证明这个公式。你可以尝试在这一页从左上角到右下角画一条直线，把这一页分成两个三角形。这时可以看出来，这两个三角形都在页边呈直角。接着用尺测量斜线的长度，然后把这数字乘以它自己。同样的，也测量这一页的长和宽，两个数字各乘以自己以后相加，应该会和斜线的长度自乘的结果一样。

这个“毕氏定理”其实是建造金字塔时使用的“三角测量法”，为古埃及人所发现。从此以后，也用来测量山峰的高度或星星之间的距离。

另一个发现应该真的是来自毕达哥拉斯本人：竖琴每一条弦的长度如果呈一定的比例，这些琴弦发出的声音就会很清晰。琴弦的长度可以用数字表示，所以毕达哥拉斯认为美丽的音色背后存在着“数字”，而为音乐创造出数学性的规则。

毕达哥拉斯曾经在古巴比伦求学，因此知道巴比伦人如何计算天体的运行。音乐和天空的星星虽然是完全不同的两回事，毕达哥拉斯却能发现这两者都依循着数学性规则。他还进一步推想到，自然界所有一切的背后都存在着数字，就像泰勒斯心目中的水，数字对毕达哥拉斯来说就是所有一切的“根源”。

但是，毕达哥拉斯后来的发展可和泰勒斯不一样，他创立了一种“宗教”，神明就是数字。这种新兴宗教吸引了许多信徒，并逐渐有了“毕达哥拉斯学派”的称号。这个学派在毕达哥拉斯过世之后，依然维持了几百年。学派的活动非常神秘，据说把内容泄露出去的人会遭处决。

毕达哥拉斯的思想也许在现今让人觉得很怪异，可是毕达哥拉斯确实有过一项重要的发现。

数学教科书

接下来终于可以谈到你学习数学的第二个理由了。首先要说的是，自然界发生的许多事情实际上都是依循着数学法则，虽然数字未必是所有一切的“根源”，但是几乎所有现象都可以用数字来表示。因此，如果你完全没有数学知识，就很难了解自然界所发生的事情。

古希腊的哲学家也很清楚这一点，这也是他们为数学着迷了几百年的原因之一。毕达哥拉斯时代的数学放进了太多东西，容易产生纷杂的错误。为了钻研数学这个领域，就必须有把规则订得井然有序的新数学。这种新数学约在公元前300年时出现，像数学家欧几里得就写了《几何原理》，记载着种种图形问题的数学证明。

数学证明就是证明公式所表示的事实是绝对正确的。拿勾股定理来说，我们怎么知道这个定理对所有直角三角形来说都是正确的？三角形有大有小，同一个公式不见得都成立，不是吗？但是，只要是念过《几何原理》的数学家，就不会为这样的问题苦恼，因为他能够证明出勾股定理不管三角形的大小，凡是带有直角的三角形都适用。

欧几里得的研究非常的重要，《几何原理》在我们这个时代依然是数学教科书。近来经常有人说，学校使用的数学教科书太老旧了，可是，请想想看在短短的100年前，19世纪的学生可还在念2000年以前的教科书。