第三节 非协同博弈基础

协同博弈是博弈论中的经典理论，在很多时候我们都要对这个问题进行讨论。与协同博弈相对应的是非协同博弈。然而，这个理论也相对比较复杂，所以在这一节中我们仅仅对非协同博弈理论作一些基础的介绍，为同学们以后更深入的学习作好准备。

3.1 策略与收益函数

我们在这里的分析仅限于有限标准式博弈。准确地说，令I={1,2, …, n}表示博弈方集合，这里n是正整数。对于每个博弈方i∈I来说，令Si表示他的有限纯策略集合。为了表示的方便，我们将用正整数来表示每个博弈方的纯策略，从而，每个博弈方i∈I的纯策略集合表示为Si={1,2, …, mi}，整数mi≥2。纯策略向量s=（s1, s2, …, sn）称为纯策略组合，其中si是博弈方i∈I的纯策略。因此，博弈中的纯策略组合的集合是各博弈方纯策略集合的卡特尔积S=xiSi，有时候又被称为博弈的纯策略空间。

对任何策略组合s∈S和博弈方i∈I，令πi（s）∈R表示博弈方i相应的收益。在经济学中，收益通常是企业的利润或者是消费者的效用。对每个博弈方i∈I，实数πi（s）的有限并定义了第i个博弈方的收益函数π1:S→R。博弈的组合纯策略收益函数 π:S→Rn对每个纯策略组合 s 赋予了完全的收益向量π（s）=（π1（s）, π2（s）, …, πn（s））。

用纯策略的术语来说，标准式的博弈可以总结为一个三元组G=（I, S, π），其中，I是它的博弈方集合，S是它的纯策略空间，π是它的组合收益函数。在只有两个博弈方的特殊情形下，我们可以方便地将收益函数π1和π2分别写成一个m1×m2矩阵。我们通常将博弈方1的收益矩阵表示为A=（ahk），这里对每个h∈S1和 k∈S2, ahk=π1（h, k）；类似地，将博弈方2的收益矩阵表示为B=（bhk），这里bhk=π2（h, k）。矩阵中的每一行都对应着博弈方2的一个纯策略。任何两人博弈都可以重复地由一个对应的收益矩阵对（A, B）来表示，这里博弈方1可以被视为行博弈方，博弈方2可以被视为列博弈方。

下面，我们来看一个囚徒困境的例子。

在这个两人博弈中每个博弈方只有两个纯策略。下面的一对收益矩阵给出了典型的收益组合

显然，不论博弈方2用什么策略，博弈方1的第二个纯策略（背叛）带来的收益都高于他的第一个纯策略（合作）带来的收益；矩阵A第二行的每个元素都高于第一行对应的元素。类似地，博弈方2的第二个纯策略带来的收益高于他的第一个纯策略带来的收益；矩阵B第二列的每个元素都高于第一列对应的元素。因此，个人理性会导致每个博弈方选择他的第二个纯战略（背叛）。所谓的困境是指，如果这两个博弈方都选择他们的第一个纯策略（合作），他们都会得到更高的收益。

3.2 混合策略空间的几何分析

博弈方i的混合策略是指他的纯策略集合Si上的概率分布。由于对每个博弈方i∈I, Si都是有限的，所以我们可以把博弈方i的任何混合策略xi表示为mi维欧基里德空间Rmi中的向量xi，其第h个坐标xih∈R是xi赋予该博弈方第h个纯策略的概率。

被某个混合策略xi赋予正概率的纯策略集合称为xi的支集，表示为：

由于概率xih（h=1,2, …, mi）都是非负的并且和为1，所以向量x∈Rmi包含于mi空间的单纯形Δi，可定义为：

图4-1（a）和（b）分别表示了mi=2和mi=3的情形。

博弈方i的混合策略单纯形Δi是mi-1维的。因此，不失去任何信息，我们可以研究从单纯形Δi⊂Rmi到mi-1维欧基里德空间的某个投影。图4-2（a）和（b）分别表示了mi=2（投向xi1轴）和mi=3（投向（xi1, xi2）平面）的情形。

单纯形Δi的顶点是mi维空间的单位向量，表示为=（1,0,0, …,0）,=（0,1,0, …,0）, …,=（0,0,0, …,1）。每个这样的顶点表示博弈方i赋予他的第h个纯策略的概率为1。从这一点来看，纯策略只不过是特殊的、极端的混合策略。

混合策略单纯形Δi是它所有顶点的凸包；每个混合策略xi∈Δi是单位向量或者纯策略的凸组合：

如果一个子集Xi⊂Δi是某些纯策略非空子集的凸包，那么Xi称为Δi的一个面。特别地，Xi=Δi是一个面；而且对h∈Si，每个纯策略单点集也是面。

集合

被称为Δi的内部。相应地，这个子集中的非空混合策略被称为内部的或者完全混同的；这些策略对所有博弈方的纯策略赋予了正的概率，因此对所有的i∈I，它们有完全的支集C（xi）=Si。Δi中非内部策略的集合被称为Δi的边界，表示为：

注意Δi的边界是其支集C（xi）为策略集Si的真子集的策略xi的集合。我们还可以将bd（Δi）视为Δi边界面的并，这里的边界面是Si的某个真子集张成的面。

混合策略组合是向量x=（x1, x2, …, xn），其中每个元素x∈Δi是博弈方i∈I的一个混合策略。因此，混合策略组合x是该博弈的混合策略空间

中的一个点。其中，Ψ是 n 个单位单纯形 Δi的笛卡儿积，是 Rmi中的一个（m-n）维多面体，m=m1+m2+…+mn是博弈中纯策略的总数。

3.3 混合策略收益函数

按照前面讨论中所运用的非协同博弈标准方法，所有博弈方的随机化在统计上是独立的。因此，当混合策略组合 x∈Ψ被采用时，某个纯策略 s=（s1, s2, …, sn）∈S被采用的概率就是相应的每个博弈方的混合策略xi∈Δi赋予他的纯策略si∈Si的概率之积：

i=1

混合策略组合x∈Ψ带给博弈方i的期望收益是：

实数ui（x）可以简称为第i个博弈方得自策略组合x的收益。注意该收益是每个博弈方混合策略的线性函数。为了看清这一点，必须首先注意到，由于采取纯策略sj=k∈Sj在概率上等价于采取混合策略，因此我们可以将博任何x∈Ψ和i, j∈I弈方j运用他的第k个纯策略时博弈方i得到的收益记做。从而，对

也就是说，可以将收益ui（x）当做博弈方j的每种纯策略下博弈方i得到的收益的加权和来计算，加权概率为博弈方j赋予他的每个纯策略的概率。