1.2 关于数学语言的意义问题

我们用数学语言表达我们的数学知识，而有些数学定理至少在字面上是在断言数学对象存在，比如“存在无穷多个素数”。因此，关于数学对象的本体论问题，显然与究竟应该如何理解这些数学定理的意义这一问题密切相关。特别地，它与数学定理是否意在表达真理，以及在什么意义上表达真理这一问题密切相关。关于数学语言的意义问题是：

数学词项是否指称对象？一个数学陈述是否表达关于一些对象的客观事实？如果数学词项不指称对象，数学陈述不表达关于对象的客观事实，那么数学陈述的意义又在于什么？

1.2.1 数学实在论的意义理论及其难题

一 实在论对数学词项及陈述的意义的解说

我们用一个例子来说明数学实在论者对数学语言的意义的解说。考虑这样一个数学定理

（1）π是一个无理数。

数学实在论者认为实数是客观存在着的、独立于我们的思想的事物，就像天上的星星一样。（当然实数又是独立于物质世界的。）因此，他们很自然地将（1）与如下语句作同样类型的语义解释：

（2）太阳是一颗恒星。

在（2）中，“太阳”是一个专有名词，指称一个个体对象，即太阳；“恒星”是一个普通名词，指称一类对象，即所有的恒星；整个句子（2）则表示某个个体对象属于某个类。同样地，数学实在论者认为，（1）中的“π”是一个专有名词，在逻辑中又称为一个常项，指称一个个体对象，即那个“天上的”实数π；其中的“无理数”是一个普通名词，指称一类对象，即无理数的全体；整个句子（1）则表示某个个体对象，即那个“天上的”实数π，属于无理数的全体。语句（2）之为真，是由于它以某种方式对应于独立于我们的客观事实。同样，在数学实在论者看来，句子（1）之为真，也是由于它以某种方式对应于独立于我们的客观数学世界中的客观事实。这是对数学语言的意义的实在论解释。

二 这个实在论解释面临的难题

数学实在论者对数学语言的意义的这种解释非常简单、直截了当，但是它其实隐藏着一些问题。比如，数学词项与数学对象之间的指称关系究竟是如何实现的？或者说，“π”这个词究竟是如何被连接到那个独立地存在着的客观对象（那个“天上的”π）？对于指称宇宙中的物质对象的词，比如“太阳”，我们可以很自然地解释一个词如何被连接到它所指的对象。比如，我们可以设想，第一个发明“太阳”这个词的人用手指着太阳同时发出“太阳”这个声音。这实际存在着的动作，就将“太阳”这个声音与太阳那个物体相联系，而人们对这种动作的记忆，就将人们大脑中的“太阳”这个词连接到太阳那个物体。“π”与那个无理数之间的联系当然不能这样建立起来，因为π不存在于时空之中，我们不能指着π说，“那就是π”。这个问题的实质是，作为声音、文字的词项是存在于宇宙时空中的物质性的对象。它们与宇宙时空中的其他物质对象之间的指称关系，可以通过宇宙时空中的人的动作、人的其他社会性活动以及宇宙中的事物的自然规律性建立起来。比如，我们说“电子”，可以通过一系列的因果链条，与电子相连接。然而，所谓的抽象对象不是物质性的，也不存在于宇宙时空之中。因此，物质性的词项如何能够指称到它们，是一个难解的谜。那个所谓的“天上的”π与我们是隔离开的，是一个客观存在着的，独立于物质世界、又独立于我们思想的事物。因此，我们的词“π”究竟如何能够指称到它？

这就是数学实在论所面临的难题之一，我们称之为数学实在论的指称难题。

三 为什么我们平时没有意识到这个难题？

这里需要特别说明一下，之所以有这个难题，是因为数学实在论将数学对象真正地视为独立于物质世界、独立于我们的思想的事物。在平常做数学研究时我们可能不觉得这里有什么难题，但那是因为，我们在平常做数学的时候，一个指称问题常常可以被归约到其他指称问题，而对那些终极的指称问题，我们常常其实是不自觉地接受了某种反实在论的解释，或者至少是不自觉地摇摆于实在论与反实在论之间。

比如，有人可能会说，“‘π’不就是指称圆的周长与直径的比吗？”这是将“π”的指称问题归约为“圆”这个词的指称问题。我们的词“圆”究竟如何被连接到那些完美的圆其实是同样的问题。这里要注意，我们的物理空间可能是非欧氏几何的，甚至可能是微观上离散的，因此那个欧氏几何中的完美的圆，在我们的物理空间中可能没有任何例子。所以，我们的词“圆”如何被连接到那些所谓完美的圆有一样的问题。如果完美的圆仅仅是我们的想象，那么确实不存在什么指称问题。比如，我们可以想象“孙悟空”，可以编造关于孙悟空的故事。这里不存在什么指称问题，因为“孙悟空”这个词没有真正的指称，我们的故事中关于孙悟空的陈述也不表达客观真理。同样地，如果完美的圆仅仅是我们的想象，那么我们的词“圆”也没有真正的指称，而关于完美的圆的欧氏几何也像故事一样，不表达客观真理。但这显然已经背离了数学实在论的信念。指称难题之所以产生，是因为数学实在论试图将完美的圆设想为独立于物质世界、又独立于我们的思想的客观实在。然后，我们的词“圆”究竟如何被连接到那些与我们隔着一道鸿沟的完美的圆，才成为问题。当一个人声称“π”就是指称圆的周长与直径的比因而没有指称问题时，他可能只是在想象那些圆，而没有同时意识到，如果这就是一切，那么这其实已经否定了数学实在论。

类似地，π可以表达为一个有理数的无穷级数的和，因此，有人可能会说，“‘π’不就是指称那个无穷级数的和吗？”这又是将“π”的指称问题归约为其他指称自然数或有理数的表达式（如“1”、“2”、“3”、“3.14159”等这些词）的指称问题。有人可能认为，“1”、“2”、“3”、“3.14159”等词能够指称自然数1,2,3或有理数3.14159，应该是绝对没有问题的。但是，这可能是将作为抽象对象的自然数和有理数，与作为宇宙中的具体事物的、打印在纸上的数字符号混淆起来了。指称打印在纸上的“1”、“2”、“3”、“3.14159”等数字符号肯定没有问题，因为它们是存在于宇宙中的具体事物。你可以用手指着一个数字符号说，“那是‘3'”。如果自然数就是那些数字符号，那么指称自然数也没有问题。但将自然数等同于数字符号带来的问题是，假如宇宙是有限的，那么宇宙中最多只能有有限多的数字符号，因此只能有有限多的自然数，这是荒谬的。所以，自然数不能等同于宇宙中的数字符号。（如果说自然数是不存在于宇宙时空之中的抽象的数字符号，那么指称它们当然又有同样的问题。）同样，如果我们只是在想象我们可以写下任意多的数字符号，甚至在想象我们可以写完一个无穷的数字符号序列，比如想象我们可以写完一个无限不循环的小数，那么也没有什么指称问题，因为那只是我们的想象。那意味着“π”没有真正的指称，因此语句（1）也不表达客观真理，而只是一个描述我们自己想象的陈述，就像一个故事中的陈述。这可能是我们觉得（1）没有指称问题时我们心中实际上所接受的。但这些显然都已经背离了数学实在论的信念。

数学实在论相信，自然数、有理数、实数都是独立于物质世界、又独立于我们的思想的客观实在。这才导致了指称问题，因为在那些数学对象与宇宙中的具体的语言符号以及语言使用者之间有一道鸿沟。所以，实在论的真正问题是，那些宇宙时空中的数字符号如何指称到那些既独立于物质世界又独立于思想的，作为抽象对象的自然数、有理数、实数等等。

1.2.2 数学反实在论的意义理论及其难题

一 对数学陈述的各种可能的反实在论语义解释

这个难题也使得一些学者认为，数学实在论是荒谬的、不可理解的，我们不得不放弃数学实在论，不得不放弃对数学陈述的这种实在论式的语义解释。这意味着，（1）应该有一个与（2）不同的语义解释：（1）中的“π”的意义不在于指称任何外在的对象，至少不在于指称任何独立于我们思想的事物，而且语句（1）的意义也不在于表示关于某个外在对象的客观事实。这就需要反实在论者对数学陈述的意义做一种全新的解释。这种新的解释有可能继续认为（1）是真理，但那可能是对“真理”的涵义作了不同的理解。比如，有些反实在论者提出，数学陈述的意义在于它们的使用，即在于我们可以从其他陈述（如公理）推导出它们，又可以从它们推导出其他陈述，等等。它们自身不表示外部世界中的客观事实。在这个意义上还可以说（1）是“真的”，但那只是指（1）被我们普遍地接受。又比如，布劳威尔认为数学对象是我们思想的创造物，因此，数学词项指称的是我们的思维中的构造的结果，而一个数学定理之为真，指的是它准确地描述了我们的思想的构造活动。对数学陈述的意义的新的解释也有可能认为（1）没有真假。比如，有些反实在论者提出，一个数学理论仅仅是编撰了一个关于一些虚构的东西的故事。因此，（1）应该是像一个故事中的陈述，π应该是像一个故事中的虚构的角色。数学家们是像小说家们一样，在描述一个虚构的世界。一个故事中的陈述无所谓真假。我们只能问，它是否属于一个故事，或者是否能够从一个故事中推导出来。最后，还有一些支持数学反实在论的学者提出，我们可以保留对数学语言的实在论的解释，但由于抽象数学对象不存在，因此一些数学定理就是假的。比如，“存在无穷多个素数”的意义还是按实在论者的方式理解，但它就是假的，因为根本不存在自然数这种抽象对象。

二 反实在论的对数学语言的解释必须能够与实在论的对科学语言的解释相协调

这些反实在论者自身也面临着艰巨的任务。首先，他们所要提出的关于数学陈述的意义理论，明显要比实在论的意义理论复杂得多。尤其是，对于自然科学中关于宇宙中的具体对象的陈述，我们还希望保持它们的实在论语义，即我们希望，（2）中的词项还是指称客观对象，（2）还是表示关于外部世界中的事物的客观事实，（2）之为真，还是因为它对应于一个客观事实。然而，困难在于，在科学陈述中，数学语言与谈论宇宙中具体事物的语言是混合在一起的。比如，我们说：

（3）函数r（t）表示了地球围绕太阳运行的轨迹。

对于实在论者来说，（3）简单地断言，函数r（t）这个抽象数学对象，与地球、太阳等具体事物有着如此这般的关系。反实在论者则需要提出一种语义解释，它使得（3）中的“地球”、“太阳”还是指称外部具体事物，即地球与太阳，但其中的“函数r（t）”却不指称任何对象。同时，这种语义解释还要说明，（3）确实是陈述了关于地球与太阳的一个客观事实。也就是说，这种意义理论，既要使得纯粹数学判断的意义不在于表达客观事实，又要使得混合了数学语言的自然科学中的关于宇宙中的具体事物的判断，确实是以某种方式表达了客观事实。这使得反实在论的语义解释，需要完全放弃（3）的表面上的句法结构与逻辑结构，彻底地改写（3），以揭示出（3）真正所陈述的客观事实。这需要一个相当复杂的理论。只有成功地提出这样一种意义理论，反实在论者才能算是回答了关于数学语言的意义问题。仅仅简单地否定像（1）那样的数学判断表达了客观事实是不够的。

三 反实在论的语义解释必须能够揭示数学定理与其他“假”数学命题之间的本质区别

其次，直观上我们认为，数学中有着客观的真理性。如果一个工程师犯了一个数学错误而使得一座桥梁坍塌，我们认为那是由于一个客观错误的结果，而不仅仅是由于他编了一个与众不同的故事的结果，或者仅仅由于他在以一种与众不同的方式使用数学语言的结果。故事是可以任意编造的，使用语言也不受什么限制，而数学似乎受制于一些客观的东西。也就是说，仅仅简单地否定像（1）那样的数学定理表达了客观真理是不够的。数学与一个任意的游戏或故事的区别在于，数学在科学中有着广泛的应用，是科学的基础。而且，我们在直观上认为，一个应用的成功与否，与所应用的数学结论的正确与否是有关的。一个错误的数学命题被应用，很可能导致应用的失败。这里的所说的“正确”或许不必等同于实在论者所理解的“真”，但是，反实在论者必须解释，假如数学对象不存在，数学定理不表达客观真理，那么一个所谓“错误的”数学命题，在什么意义上是错误的？它不能仅仅是由于这个命题其实不能从公理推导出来，因为如果公理是随意的，并不是客观真理，那么为什么就不能把这个命题当作公理？它也不能是仅仅因为这个命题没有被多数人接受。

真正的问题在于，究竟什么使得我们的数学公理与定理有别于其他我们认为是“假”的数学命题？而它们显然是有区别的，即使我们不论公理和定理是否表达了关于数学对象的客观真理，因为公理和定理可以被成功地应用，而应用一个“假”命题则可能使得桥梁坍塌。实在论者当然认为，我们的数学公理与定理的确表达了客观真理，而其他的“假”的数学命题则确实是假命题，这是它们之间的本质区别。反实在论者否定数学公理与定理表达了客观真理，因此他们必须提供另外的解释。仅仅说数学语言的意义在于它的使用，或者说数学理论是关于虚构的事物的故事，是不够的。每个命题都可以被“使用”，或被潜在地选为公理（假如不要求公理是真理），或被选为我们的故事中的一个陈述。最重要也最困难的是，反实在论者提出的关于数学语言的意义理论，应该能够从意义的角度得以说明，我们的数学公理与定理是如何真正地有别于其他的数学命题，从而使得数学公理与定理可以在科学中得到应用。

四 反实在论的意义理论本身必须是“实在论的”

最后，反实在论者的意义理论本身应该是真的而且有解释能力的理论。这与一个社会学家解释宗教信仰或神话的意义与社会功能是一样的。叙述神话的人，是在谈论不存在的事物，但是解释神话的意义与社会功能的理论，则应该谈论那些真实存在的东西，如社会环境、人的思想等等，应该提供语义上对神话本身的真的描述，而不能继续将神话中的虚构事物当作真实存在的事物来谈论。同时，这种理论应该有真正的解释能力，它不应该仅仅提出一种循环解释，比如，说“宗教信仰有社会功能，因为那就是宗教信仰存在的原因”就是一个循环的解释。同样地，如果数学对象不是真的存在，那么反实在论者提供的关于数学语言的意义理论中，就不应该继续像谈论真实事物那样谈论数学对象，而应该谈论一些真正存在着的事物，应该对数学语言本身及其意义提供一种真实的描述。比如，反实在论者不能简单地说，“数学对象是我们虚构出来用于科学中的”，因为这似乎在说我们在使用“虚构的事物”，因而果真有“虚构的事物”这种东西。类似地，“数学公理与定理有别于其他的数学命题，就因为它们可以被应用”是一个循环解释。我们需要的是一种理论，来解释为什么它们有用，而且这种解释，应该与对数学公理与定理的意义的解释密切相关。

这些是反实在论者在解释数学语言的意义这一问题上面临的艰巨任务，我们称之为数学反实在论的语义学任务。

1.2.3 二十世纪各数学哲学流派对意义问题的回答

一 实在论的回答

二十世纪的数学实在论，如弗雷格、哥德尔、蒯因的实在论哲学，都蕴涵着一些或许可以回答实在论的指称难题的理论假设与建构。比如，在弗雷格那里，数学对象是数学概念的外延，而数学词项与数学对象之间的联系，是通过我们的思想“把握”词项所表达的概念，而概念“逻辑地决定”其外延来建立的。又比如，蒯因则是靠他的所谓“整体主义意义理论”来说明数学语言的意义，包括数学词项的指称。这些实在论思想是否真正解决了这个指称难题，而又同时保留了实在论的基本信念，没有隐蔽地假设任何与实在论信念相冲突的东西，还是有争议的。我们将在后文中作更详细的分析。

二 反实在论的回答

反之，在二十世纪的各种反实在论数学哲学中，希尔伯特的形式主义方案，如果成功的话，应该说已经包含了可以完成上述数学反实在论的语义学任务的必要的理论资源。因为，希尔伯特的形式主义方案不仅仅是说数学就是从公理推导定理，它试图严格地证明，虽然数学公理本身不必被认为是真理，但我们的数学公理可以保证，从公理推导出的关于有限事物的算术属性的论断，都是真理。这需要对数学公理何以有用作很实际的解释，甚至是很严格的证明。而且，希尔伯特计划中的这种证明，是所谓有穷主义数学中的证明。也就是说，他计划中的对数学公理的有用性的解释与证明，本身不假设任何无穷的抽象数学对象存在，它是要在拒绝数学实在论的基础上，对数学公理为何有用作一个严格的真实的解释。如果能够成功，那么不难想象，在此基础上，我们可以有一个关于数学语言的反实在论的意义理论，它能够完成上面所说的数学反实在论的语义学任务。当然，读者也许已经听说过，一般认为，由于哥德尔的不完全性定理，希尔伯特的形式主义方案已经被严格地证明不可能成功了。我们认为，实际情况并非那么简单。本书后面将更详细地介绍希尔伯特的形式主义方案，并且分析它是否真的已经完全破产了。

三 其他回答

至于直觉主义、逻辑实证主义等等，它们对意义问题的回答都包含着一些问题。特别是逻辑实证主义，虽然以意义理论为它的哲学起点，但实际上它的意义理论并没有完成上面提出的反实在论的语义学任务。对这些，我们都将在本书后面的相关章节作更详细的分析。