1.当代数学哲学的核心问题与主要特征

一 有限的、物质性的宇宙与人类

现代自然科学为我们描绘了一个有限的宇宙。根据今天人们普遍接受的宇宙学理论，宇宙在宏观上很可能是有限的。在微观上，科学在今天能够比较确定地认识到的宇宙中的事物，都是在普朗克尺度（大约10-35米，10-44秒等）以上的事物。所以，我们今天只能认识到宇宙中有限范围内的事物。而且，有可能我们以后也只能认识到宇宙中有限范围内的事物。比如，即使有一天我们能深入到普朗克尺度10-35米以下，还有10-350米的尺度，10-3500米的尺度，等等。我们不知道整个宇宙是否就是有限的，但我们所认识的宇宙是有限的。

与此同时，现代自然科学给我们描绘了一个物质性的宇宙。人类是这个宇宙中的物质的自然进化的产物，是这个物质宇宙的一部分。人类的所有认知活动都是由物质性的大脑及身体实现的。人类的所有知识，部分地来源于由进化与基因所决定的人类大脑的内在结构，部分地产生于大脑通过身体与环境之间的物质性的相互作用，这包括环境中的事物发出的光波、声波等等作用于感觉器官，然后通过神经通道再作用于大脑，也包括大脑控制身体作用于环境中的事物，等等。

简单地说，现代自然科学为我们描绘了一个有限的、物质性的宇宙，其中包括了我们人类自身。

二 无穷的、非物质的数学世界

但另一方面，现代数学为我们描绘了一个完全不同的数学世界。这个数学世界里有无穷多的自然数，有不可数无穷多的实数，还有具有更大的无穷基数的无穷集合，乃至现代集合论中所谓的大基数等等。实无穷，乃至不同等级的实无穷，已经是现代数学中不可缺少的东西。这个数学世界里还有任意维度的拓扑（几何）空间、各种类型的代数结构、函数空间等抽象的数学对象或结构。这些数学世界中的东西是非物质的，不存在于宇宙时空之中，也不是这个宇宙时空之中的任何有限事物的简单的抽象。它们可能在这个物质宇宙之中没有任何“影子”或“例子”，甚至不与这个物质宇宙中的任何事物在结构上相似。它们也与这个物质世界中的事物没有因果联系，或任何其他物质性的联系。它们似乎是存在于一个完全独立于这个物质世界的另外一个世界之中。

三 当代数学哲学需要回答的问题

果真存在这么一个独立于物质世界的抽象数学世界吗？如果它果真存在，那么存在于这个物质宇宙中的、有限的、物质性的、人类的大脑，如何可能认识到那个数学世界中的、非物质的抽象事物，尤其是那个世界中的无穷的事物？比如，大脑对物质世界中的原子、电子等的认识，最终是靠原子、电子等间接地作用于大脑，但那个数学世界中的抽象事物，与（处于物质世界中的）大脑没有任何因果联系，与大脑之间隔着一道鸿沟，大脑如何可能认识它们？又比如，人类的活动范围是有限的，我们对物质世界中离我们非常遥远但还是有限的事物的知识，如对微观粒子、遥远的星体、宇宙的起源等等的知识，只能是不那么确定的推测，而在数学中，我们如何可能那么确定地认识到无穷，甚至不同等级的实无穷？

反之，如果这个抽象数学世界并非真的存在，比如，假设它只是我们的想象，或我们的“思想的创造物”，那么数学公理与定理还是客观真理吗？我们知道，人们普遍认为数学定理是最可靠的真理，是人类知识的典范。如果数学公理与定理不是客观真理，那么数学又是什么？它还提供客观知识吗？也许它仅仅是人类编造的一个神话；也许数学中的那些无穷的、不与宇宙中的任何事物相似的对象、结构等等，就像神话中的角色一样，是人类的幻想。但如果是这样，数学又为何能够在科学应用中帮助推导出科学真理？它为何能够成为现代科学的基础？

这些问题就是当代数学哲学要回答的问题。

四 二十世纪数学哲学主题的演变

二十世纪的数学哲学的主题曾经经历过演变。在十九世纪末至二十世纪初的现代数学产生的初期，由于集合论悖论的发现，数学基础问题曾经困扰过当时最出色的数学家，如彭加勒、希尔伯特、布劳维尔、赫尔曼·威尔、冯·诺伊曼等等。当时的数学哲学研究基本上就是数学基础研究，并产生了逻辑主义、直觉主义与形式主义这三个数学基础流派。进入二十世纪三四十年代以后，关于数学基础的争论在数学家中间基本上已经尘埃落定，现代数学的规范被牢固地确立起来。如今这已经被称作经典数学。今天，如果一个数学家或科学家只对发展数学理论、证明数学定理、或将数学应用于科学感兴趣，那么他（她）不必关心任何数学基础问题。大多数数学家认为数学基础问题已经不存在了。但这不等于说没有数学哲学问题了。上面所提到的那些问题，应该是任何一个了解一点现代数学又具有一点哲学好奇心的人都会感兴趣的问题。这些问题对哲学家们是一个挑战。如果不能很好地回答这些问题那就意味着，从哲学上说，我们对数学的本质，或者说对我们自己的数学知识的本质，还缺乏非常彻底的、清晰的认识。

所以，大约从二十世纪中期开始，大多数数学哲学研究不再试图为数学提供基础，而是对现代数学的实践进行哲学上的反思与分析。这种反思与分析，不一定会直接地影响数学家们的数学实践，但它是在试图描述、理解我们人类自身的数学认知活动，是将人类的数学实践当作研究对象的分析与研究。正是在这个意义上，上面提出的那些问题让人困惑：承认人类的确具有现代数学的知识，也承认现代数学在科学中有着广泛的应用，是科学的基础，然后问，作为物质世界的一部分的有限的人类，究竟如何可能认识那些独立于物质世界的、无穷的、非物质的数学对象？而假如人类的数学理论并不是在描述一个独立于物质世界的抽象数学世界，那么数学知识又是关于什么的知识？数学还能提供客观真理吗？它又如何能够应用于科学？解释这些疑问，正是当代数学哲学的任务。它要求我们对人类的数学实践的本质有更清晰、彻底的认识。这当然也有可能反过来影响数学家与科学家们的数学实践，或者影响数学教育的方法等。

五 数学哲学与一般哲学的关系

这些数学哲学的问题，其实也是最传统的哲学问题，即本体论与认识论问题，在数学这个知识领域的反映。也就是说，是否客观存在着一个由数学对象构成的数学世界？我们的数学知识是如何可能的？从柏拉图到康德、穆勒等等，过去的哲学家们已经对此尝试了种种回答。但是，从十九世纪末起发展起来的现代数学，在内容上已经远远超出了此前的数学，这使得这些传统的对数学哲学问题的回答，都还有不及之处。这也是当代数学哲学得以继续存在的原因之一。

另一方面，能否回答关于人类数学知识的哲学问题，也是一种哲学能否站得住脚的试金石。从柏拉图到康德、穆勒，历史上许多哲学家都以回答数学哲学问题为己任。特别是康德，他以回答数学知识如何可能为他的哲学的主要目的之一。二十世纪的逻辑实证主义以及当代分析哲学的兴起，在很大程度上也是由于弗雷格、逻辑实证主义者等哲学家认识到了康德的回答的不足，并尝试继续解决数学哲学问题。所以也可以说，数学哲学问题其实是哲学的核心问题。