一　什么是量词

关于什么是量词，传统逻辑和现代逻辑具有不同的看法和定义。亚里士多德和弗雷格作为传统逻辑和现代逻辑的创始人，关于量词，他们都提出了自己的看法，并形成了自己的关于量词的观点和理论。

（一）从亚里士多德的角度看

在《论辩篇》、《解释篇》和《前分析篇》中，在讨论命题分类的时候，亚里士多德多次提及和论述自己对量词的看法。

《论辩篇》作为指导人们进行辩论的手册，亚里士多德一反以前智者学派只教给人们针对某个具体论题进行论辩的做法，决定教给人们进行论辩的普遍的方法。亚里士多德的做法就是首先对命题进行分类，以便针对每一类命题为论辩双方提供论辩的规则和方法。而就是在对命题进行分类的时候，全称命题和特称命题被亚里士多德所提出。不过在《论辩篇》[2]里，针对全称命题和特称命题，亚里士多德并没有对它们进行严格的定义，而只是用举例的方法来说明。针对全称命题，亚里士多德所举的例子是：“所有的快乐都是好的（Every pleasure is good）”，“没有快乐是好的（No pleasure is good）”；针对特称命题，亚里士多德所举的例子是：“有些快乐是好的（Some pleasure is good）”，“有些快乐是不好的（Some pleasure is not good）”[3]。这是亚里士多德关于量词概念思想的萌芽。从这些举例中，我们能够看到的是，全称命题可以进一步分为两类：肯定命题和否定命题，特称命题亦是如此。

在《解释篇》里，在谈及命题之间的关系的时候，亚里士多德首先区分了普遍（universal）和个别（individual）：“一些事物是普遍的（universal），一些事物是个别的（individual）。我使用词项‘universal’是用来表示一种能对很多对象进行谓述的性质，而‘individual’则不能如此谓述。因此‘man’是普遍词（a universal），‘Callias’是个体词（a individual）。”[4]在这句话里，亚里士多德对“universal”和“individual”进行了定义和举例说明：“universal”是用来表达一种性质，这种性质就是可以谓述很多的对象，而“individual”则与此相反，不能谓述很多的对象。“能够谓述”是一种语词的性质，联系到亚里士多德在紧随其后所举的例子，“人”和“卡利亚”都被以引号的方式引出，也印证了这种看法，即“universal”和“individual”都是针对词项的一种分类，前者是普遍词项，后者是个体词项。而这种推论恰恰是和第一句话矛盾的，在第一句话里，亚里士多德说“一些事物是普遍的，一些事物是个别的（Some things are universal，others individual）”，这句话表明“universal”和“individual”是针对事物而不是针对语词的一种分类。词项和事物是不同的，词项是语言层面的东西，而事物是语言之外的东西，这说明在亚里士多德的时代，他还没有清楚地区分出语言与语言所表达的东西两个层次[5]。如果说“没有清楚地区分出语言与语言所表达的东西两个层次”是一个过于强的论断，那么至少我们可以形成一个比较弱的断定：关于“universal”和“individual”，亚里士多德在《解释篇》里有两种不同的用法，一种是对语词的分类，根据语词谓述对象的数量，可以把语词分为两类，普遍词和个体词；另一种是对事物的表述，有些事物是普遍的，有些事物是个体的。相对于前一种用法，“universal”和“individual”是被当作名词使用；相对于后一种用法，“universal”和“individual”是形容词。

在这段话里，针对“universal”和“individual”，我们之所以需要以如此详细的方式来论述和区别，是因为在这里，“uni-versal”这个语词已经开始出现，并被亚里士多德进行了初步的定义和解释，而“universal”这个语词与量词密切相关。

在《解释篇》里，在对“universal”和“individual”进行区分之后，亚里士多德进一步对命题进行分类。亚里士多德首先引入具有反对关系的一对命题，这样的两个命题一个是否定命题，另一个是肯定命题，其主项是同一个普遍词，而其谓项表达的是一种“普遍的性质”[6]。关于谓项所表达的是怎样的普遍性质，亚里士多德进行了深入的论述。首先，他以举例的方式说明具有这样的“普遍性质”的一对反对命题是“每个人都是白的（Every man is white）”和“每个人都不是白的（No man is white）”。与具有普遍性质的命题相对应的是另一组命题：这样的两个命题也是一个是肯定命题、另一个是否定命题，其主项也是普遍词，但却不具有普遍的性质。对于后一组命题，亚里士多德举出的例子是“人是白的（man is white）”和“人不是白的（man is not white）”。可以看出，后一组命题与前一组命题相比，其所不具有的普遍性质主要体现在其命题中不含有“每一个（every）”这样的语词。而“每一个（every）”这样的语词在命题中发挥着什么作用呢？亚里士多德给出的回答是：“‘every’这样的语词并不使得主项成为一个普遍词，而是使得命题具有一种普遍的性质。”[7]亚里士多德在此处清楚地表达了他对在我们今天看来是量词的“每一个（every）”这个语词的看法：“每一个（every）”并没有使得主项成为一个普遍词，因此主项“man”本身就是普遍词，“每一个（every）”主要是和谓项相关的，它用来表达谓项所谓述的是一种普遍适用于每一个主项的性质，并因此使得整个命题具有普遍的意义。这是亚里士多德关于量词的一个天才式的论述，遗憾的是，关于量词，亚里士多德在此并没有进一步的论证或解释。

在论述过具有反对关系的命题之后，亚里士多德在《解释篇》进一步论述了具有矛盾关系的两个命题的特征，特称命题在此被引入。在亚里士多德看来，具有矛盾关系的两个命题的特征是：主项是相同的，但“肯定命题具有普遍的性质，而否定命题不是（the denial is not）”。在这里，亚里士多德关于肯定命题的表述是清楚的，联系上下文来看，主项是一个普遍词，而且谓项表达的是一种普遍的性质，因此，这个肯定命题是“所有人都是白的”这样的全称肯定命题。与此相对应的是，亚里士多德关于否定命题的表达是不清楚的，“否定命题不是（the denial is not）”这句话很含混，不是什么？不是在表达普遍的性质吗？如果主项是普遍词，而谓项不是在表达普遍的性质，那么这个否定命题就是“人不是白的”这样的没有量词的句子。但显然，亚里士多德在这里并不认为相应的否定命题是“人不是白的”这样的不带量词的句子，因为这个不带量词的句子显然并不和“所有人都是白的”这样的句子构成矛盾关系。根据亚里士多德后面所举的例子“有些人不是白色的（Not every man is white）”，这个否定命题显然是通过对整个全称肯定命题进行否定而得到的。另一组矛盾关系的命题也是如此。可以看出，在《解释篇》里，在对命题进行分类的时候，亚里士多德关注的主要是“每一个（every）”这个被后来的传统逻辑称为量词的语词，而“没有一个（no）”、“有些（some）”都可以通过对语词“每一个（every）”加上否定词得到。

作为亚里士多德最成熟的逻辑著作之一，亚里士多德在《前分析篇》中论述三段论体系时，再一次讲到了命题的分类。亚里士多德认为，构成前提的命题或者是肯定的，或者是否定的，而这些或者肯定或者否定的命题又可以分为三种情况：普遍的、特称的或者不定的。所谓普遍命题，在亚里士多德看来，是指某事物或者属于另一个事物的全部（belongs to all），或者不属于另一事物的任何部分（belongs to none）；所谓特称命题，是指一个事物或者属于另一个事物的部分（belongs to some），或者不属于另一个事物的部分或者全部（belongs not to some or not at all）；所谓不定命题，在亚里士多德看来，就是没有明显的特征来显示其是普遍命题或者特称命题的命题，如“快乐是不好的（Pleasure is not good）”。这样一来，亚里士多德把命题分为六类：普遍肯定命题、普遍否定命题、特称肯定命题、特称否定命题、不定肯定命题、不定否定命题。

从《论辩篇》到《解释篇》，再到《前分析篇》亚里士多德对命题的分类日臻成熟。只是关于量词，亚里士多德的表达并不十分明确，以至于后来的研究者针对亚里士多德逻辑中的量词问题，提出了很多不同的甚至相悖的观点。著名逻辑学家卢卡西维茨[8]就坚持认为，虽然运用现代逻辑中量词的观点，我们能较好地理解亚里士多德关于命题的分类，但在三段论系统中，亚里士多德没有关于量词的明确观念并且也没有在他的著作中使用量词。卢卡西维茨之所以认为亚里士多德在其逻辑体系中没有使用量词，是基于两个理由。首先，亚里士多德逻辑和传统逻辑、亚里士多德的三段论与传统逻辑的三段论是不同的概念。亚里士多德的逻辑与亚里士多德的三段论是亚里士多德本人关于逻辑以及三段论的看法和思想，而传统逻辑的主要思想虽然来自亚里士多德，但经过中世纪的漫长发展，其与亚里士多德逻辑是有很大区别的。中世纪的逻辑学家在亚里士多德的基础上，总结出了A、E、I、O四种基本的命题类型并明显地使用了量词，但这种情况在亚里士多德逻辑中并未出现。其次，在卢卡西维茨看来，在亚里士多德逻辑里，个体词被排除在外，个体词并不是亚里士多德逻辑的一个必要组成部分。而现代逻辑的量词总是与约束变元x、y、z相联系，而x、y、z与个体词密切相关，用来表示个体词代入量化式的位置，个体词是现代逻辑的核心概念。而个体词的这种重要性从来就没有在亚里士多德逻辑中体现过，用来约束个体变元的量词也因此并不是亚里士多德逻辑的组成部分。在此基础上，卢卡西维茨认为亚里士多德的三段论系统既不是关于类的逻辑，也不是现代逻辑意义上的谓词逻辑，而是一个独特的包含函项（其值是普遍词）和谓词的命题逻辑公理系统。

对于卢卡西维茨的这种观点，莫绍揆[9]予以反驳。莫绍揆认为，卢卡西维茨的这种对亚里士多德的解读过于拘泥于对亚里士多德的原文叙述，这样的解读会错失很多亚里士多德的本意。莫绍揆认为，亚里士多德的三段论系统包含了现代逻辑的一切要素，因此他认为亚里士多德根据量对命题的分类，其实质就是在讨论和使用量词。江天骥持与莫绍揆一致的观点。江天骥认为，在亚里士多德的三段论理论里，命题的主项都是普遍词，因而表达的是类概念，“每一个”这个语词在命题中的作用就是对类概念的外延进行限定，并说明命题对主项中的每一个分子都有所断定，因而亚里士多德在对命题进行分类的时候是引入量词概念的。

王路[10]认为，无论人们对卢卡西维茨的观点是赞同还是反对（实际上赞同者居多），但卢卡西维茨的工作很值得肯定的一点，就是他拒绝使用现代逻辑中的量词的方式来分析亚里士多德的三段论理论。这样的做法一方面符合亚里士多德的本意，即避免将个体词引入三段论系统中；另一方面亚里士多德逻辑预设主项所表达的对象是非空的，只有主项非空的前提下，差等关系才能成立。而现代谓词逻辑是不预设主项非空这个原则的。这是亚里士多德三段论与现代谓词逻辑的重要区别，而卢卡西维茨不用量词的方式来分析亚里士多德的三段论，就很好地消除了这个矛盾。

可以看出，逻辑学家关于亚里士多德逻辑是否引入量词的讨论总是与其关于亚里士多德三段论性质的看法密切联系。认为亚里士多德的三段论是命题逻辑系统的逻辑学家，总是倾向于认为亚里士多德逻辑中的命题表达的是词项之间的关系，与个体无关，因而亚里士多德所使用的“每一个”、“有的”以及诸如此类的语词在他们看来是不表达量词的含义的。而认为亚里士多德的三段论是表达类与类之间的关系的逻辑学家，总会倾向于认为三段论归根结底是要对类中的个体有所断定，而命题中的语词如“每一个”、“有些”就是用来表达主项的数量的，因而这些语词具有量词的意义。卢卡西维茨属于前者，而莫绍揆和江天骥属于后者。由此可见，对亚里士多德逻辑中量词的理解与对其三段论的性质的断定密切相关，而亚里士多德三段论的性质又与个体词在三段论中的地位密切相关。正是在这种意义上，笔者认为，亚里士多德在其逻辑体系中是明确意识到量的问题的，但他并没有明确的关于量词的观念，至少是没有现代逻辑中的量词的观念。在亚里士多德看来，“每一个”这样的语词使得谓词谓述的对象扩大到主项的全部，而不具有“每一个”的命题（不定命题）中，谓词谓述的对象是不确定的，可能是全部，也可能不是。“每一个”是一个重要的有关量的概念。亚里士多德的三段论系统是不包含个体词的，而现代逻辑（指经典逻辑）的量词恰恰是用来约束个体变元的，个体词是现代逻辑理论的核心概念。而个体词的这种重要性从来就没有在亚里士多德逻辑中体现过，因此，亚里士多德逻辑并没有明确的关于量词的观念。

传统逻辑是在中世纪形成的，其主体思想来自亚里士多德，但对亚里士多德逻辑进行了补充和发展，如增加了三段论的第四格，深入探讨了空类的问题等[11]。尽管关于传统逻辑与亚里士多德逻辑的关系，是发展还是背离，逻辑学家还存在争议，但一个毋庸置疑的事实是，量词的概念在中世纪开始变得明晰。中世纪的哲学家根据命题中质（肯定或否定）和量（全称或特称）的不同，将命题分为A、E、I、O四种基本的类型。更为重要的是，包含个体词的单称命题也被纳入三段论推理中来。在亚里士多德逻辑中，诸如“所有人是有死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底是有死的”这样包含个体词的推理，是被排除在三段论之外的，但中世纪逻辑学家将其纳入三段论推理之中。个体词的引入也使得传统逻辑的三段论成为关于类的逻辑，而量词作用于主项，用来表达主项表示的类中个体的数量，这使得量词的作用更加清晰。

（二）从弗雷格的角度看

弗雷格是现代逻辑的创始人，也是公认的语言哲学的创始人，他的思想对20世纪的逻辑、哲学以及与之相关的学科产生了重要的影响。达米特[12]指出，在哲学史上，有三项殊荣归属于弗雷格。首先，弗雷格发明了一种形式语言，并建立了逻辑史上第一个谓词逻辑系统，从而开创了用形式语言研究逻辑的新时代。其次，弗雷格所开创的逻辑方法被证明是研究哲学的重要方法，并且弗雷格坚持在逻辑乃至哲学研究中拒斥心理主义，他的哲学逻辑的方法促进了其后的哲学重心的转移——实现了从笛卡儿所开创的认知研究向语言分析的转向。最后，弗雷格用数学的方法研究逻辑反过来也促使了数学哲学的巨大发展，弗雷格极大地促使了人们对数学基础的思考，数学哲学其后的许多成就都受到了弗雷格莫大的启迪。而在这三大成就里，起关键和基础作用的就是弗雷格的量词—变元理论。

作为一个数学家，弗雷格在自己事业的开始阶段，兴趣并不在于改革传统逻辑，而是要为算术提供一个坚实的基础。而在弗雷格看来，算术的最坚实的基础就是逻辑，因此，从逻辑推出全部的算术成为弗雷格的行动纲领和目标。面对这样的目标，弗雷格首先需要解决的就是如何用逻辑的方法表示算术的常用表达式，如“每一个数都有一个后承”、“每一个偶数都是两个素数之和”等。而这样的句子都包含了多个量词，这是传统逻辑所无法表达的。就是在探索算术基础的过程中，弗雷格看到传统逻辑的局限性。

首先，传统逻辑处理不了表达关系的语句。从古希腊逻辑发轫之初，人们主要关注的是形如“所有人是有死的”，即“S是P”这样句子的推理，亚里士多德所建立的三段论推理系统也专注于此，并代表了传统逻辑的最高成就。在“S是P”这样的句式的基础上，加上否定，再加上两个基本的量词——全称量词和特称量词，就形成了传统逻辑的四个基本命题的句式，“所有S是P”、“所有S不是P”、“有S是P”、“有S不是P”。三段论推理关注的就是从拥有一个共同项的两个命题出发，可以得出怎样的结论。虽然关于三段论，亚里士多德补充说，其不仅能够处理“to be”的句型，而且还可以处理“to do”类的句子，这样的做法虽然扩展了三段论的表达能力，但三段论依然无法处理表达关系的语句。用现代逻辑的话来说就是，在“S是P”这样的基本句式中，主项S和谓项P都只能是一元谓词，而不能是两元或者多元谓词。

其次，传统逻辑处理不了包含多个量词的语句。传统逻辑的基本句式是“S是P”，A、E、I、O四类命题都建立在这个基本句式之上。其建立的方式就是加入否定词和两个量词。这样一来，命题就有四种组合方式：全称肯定命题、全称否定命题、特称肯定命题和特称否定命题。在命题的构成过程中，量词只可以加在主项的前面，因此如果句子中出现两个量词，传统逻辑是无法表达的。

最后，传统逻辑无法处理包含个体词的语句的推理。虽然亚里士多德在划分命题类型的时候提及了单称命题，然而其在三段论推理中却排除掉单称命题。关于亚里士多德为什么要排除掉个体词，后来的逻辑学家给出了各种解释，当代的亚里士多德研究专家罗斯[13]认为亚里士多德排除掉个体词是由其逻辑研究的目的决定，作为一种追求普遍性的学科，个体不是其关注的对象。而卢卡西维茨[14]则认为，同一个词项不带任何限制地既可以做主词也可以换位做谓词，对亚里士多德的三段论体系具有根本的意义。而单称词则因为只能在句子中做主词而不能做谓词，而被亚里士多德所排除。尽管对亚里士多德在三段论推理中排除掉个体词的原因，逻辑学家意见不一，但能够确定的是，个体词的引入会给三段论推理带来混乱，因此，我们也可以说，亚里士多德逻辑是处理不了个体词的，这种情况经过中世纪的漫长发展也没有得到改变。虽然中世纪的逻辑学家们将包含个体词的单称命题纳入三段论推理之内，其方式就是把主项看作只包含一个个体的类，从而将单称命题当作全称命题处理，但这样的处理方式存在两个理论困难，一是这种方式只适用于一部分包含个体词的三段论推理，而不适用于全部。诸如三段论“鲁迅的作品是一天读不完的，《呐喊》是鲁迅的作品，因此《呐喊》是一天读不完的”，就是一个无效的推理。关于这个推理为何无效，传统逻辑认为是因为这个推理犯了“四概念”的逻辑错误，而归根到底，这个推理的无效是因为引入个体词所引发的。二是即便是传统逻辑可以处理的包含个体词的三段论推理，也会丧失一个重要的性质。传统逻辑在面对“苏格拉底是有死的（Socrates is mortal）”和“所有人都是有死的（Everyone is mortal）”两个句子时，会把它们都处理为SAP命题（全称肯定命题），而实际上，这两个命题是有重要的区别的。虽然在语言层面上看，两个句子中的系词都是“is”，但它们表达的关系是不同的，第一个句子表达的是分子和类之间的关系，而第二个句子表达的是类和类之间的关系，这样的区分在数学中非常重要，而传统逻辑将单称命题处理为全称命题，会丧失掉这个重要的区分。

面对传统逻辑语言表达能力的不足，弗雷格认为究其原因，是由传统逻辑的推理过于局限于日常语言的表达方式所决定的。古希腊逻辑发轫之初，人们主要关注的是形如“所有人是有死的”即“S是P”这样的主谓式句子的推理，在这样的推理中，推理形式和日常语言的形式是紧密相关的甚至是一致的。“所有人是有死的（Everyone is mortal）”在传统逻辑看来就是这样一个主谓式句子：“人”是这个句子的主语，“有死的”是这个句子的谓语，“每一个”这样的量词加诸在句子的主语的前面，表达了主项的数量。虽然三段论推理代表了传统逻辑的最高成就，但是推理形式过分依赖于日常语言形式还是使得传统逻辑处理句子的能力受到很大的局限，三段论只能处理主谓式句子的推理而不能处理表达关系的主谓宾结构的句子即关系命题。而实际上，关系命题和性质命题一样是我们日常语言的重要组成部分，不能处理关系命题使得传统逻辑的表达能力受到很大的局限。而且传统逻辑也不能处理包含单称词的命题的推理问题。面对这种情况，弗雷格意识到了传统逻辑只关注主谓式命题的局限：“在我第一次设计一种形式语言的时候，我受到语言例子的诱惑，用主词和谓词构造判断。但是不久我就确信，这对我独有的目的是一种障碍，并且只会导致毫无用处的论述。”[15]弗雷格决定将数学中的函数引入对句子结构的表达，以突破自然语言所带来的限制，而就是在此过程中，量词—变元概念被发现。

首先，弗雷格将函数—变元的概念引入对句子结构的分析当中去。在弗雷格看来[16]，函数在数学上虽然已经具有了很多引申的含义，而实际上，函数最大的特点就是其不饱和性。在任何一个函数解析式中，自变元在函数中都不是一个必要的组成部分，而是表示插入内容位置的符号，而对自变元的每一次指派，函数都会产生一个函数值，因此函数的最大特点就是其不饱和性。弗雷格认为，概念在本质上与函数相同，也是不饱和的，对于每一个代入的专名，都将会产生或真或假的真值。因此，弗雷格对函数进行了扩展，并用函数的方式来表达概念。在此基础上，弗雷格认为，专名和概念词是不同的，专名表达对象，对象是完整的（在不需要补充的意义上），因而专名在句子里处于逻辑主语的位置，而概念词在句子中处于谓词的位置，其本质是用来谓述专名的，是有待补充的、不完整的。这样一来，“苏格拉底是有死的”这个语句就被处理为“Fa”的函数形式，其中“a”代表专名“苏格拉底”，“F”表示概念“有死的”，“Fa”表达的是一个对象处于一个概念之下的关系。“苏格拉底是有死的”也被弗雷格称为原子句。

其次，在引入函数的基础之上，弗雷格引入了量词—变元的概念。在将“苏格拉底是有死的”这个包含个体词的语句处理为“Fa”的基础上，弗雷格进而思考如何处理“所有人都是有死的”这样的包含量词的语句。对于形如“所有人都是有死的”这样的语句，传统逻辑认为“人”是这个语句所表达的对象，而“有死的”表达的是人的一种性质，这个句子总体而言表达的是两个概念之间的关系。而传统逻辑的这种看法是基于一种语法上的顺序，在一个句子中，位于一个句子前面的主语表达的是对象，而位于后面的谓词表达的是属性。而弗雷格对这样的观点提出质疑和反驳。在弗雷格看来，一个句子中主语与谓语的顺序体现的只是说话者的愿望——位于主语的事物是说话者希望别人关注的对象，这一点可以从主动语态句和被动语态句中体现出来：位于句子前面的那个主语是说话者强调的重点。弗雷格认为，这样的主词谓词的区分只具有语法学的意义，而不具有逻辑学的意义，一个句子中主语和谓语的位置调换只要不影响一个句子的真值，都是可以容忍的，因此弗雷格在其理论中取消了传统意义的主语和谓语的区分。在此基础上弗雷格进一步认为，个体词是一个句子真正的主语，“逻辑的基本关系考察就是一个对象处于一个概念之下的关系，概念之间的所有关系都可以化归为这种关系”[17]。形如“凡人皆有死”这样的语句，实际上表达的含义是：“对于任一事物x而言，如果x是人，那么x是有死的”，个体词是这个语句的真正的主语，而“人”这个语词虽然处于主语的位置，但它仍同“有死的”一样，是一个谓词，用来谓述个体词所指称的对象。这样一来，这个句子中出现了两个概念词——“人”和“有死的”，这两个概念词谓述同一个对象，并建立起了一种条件性——“如果一个对象是人，那么他是有死的”，而“所有的”代表了对象的数量和范围，在此，弗雷格引进了量词—变元这个概念：“在一个判断的表达中，如果在自变元的位置上代入一个德文字母，并且在内容线上画出一个凹处，使得这个德文字母处于内容线的凹处，它就意味着这样一个判断：无论将什么看作其自变元，那个函数都是一个事实。”[18]弗雷格的符号系统因为印刷的不方便，已经被其后的逻辑学家所改进，上面所谓的量词—变元表达符号在现代逻辑中已经被x所代替。引进量词之后，“所有人都是有死的（Everyone is mortal）”这句话就可以表示为“对任一事物x而言，如果x是人，那么x是有死的”，用量化式可以表示为“x（Rx→Mx）”。这样一来，普遍词“everyone”就显示出了与专名不一样的逻辑性质。两种不同的关系——分子与类的关系以及类与类的关系，在弗雷格的形式语言中，也都得到了很好的刻画。

可以看出，在弗雷格的概念文字中，量词具有不同于传统逻辑的重要特点。首先，弗雷格所创立的量词是作用于整个函项而不仅仅只是作用于主项，这一点与传统逻辑是截然不同的。在传统逻辑中，“每一个”、“有些”这样的量词作用于主项，用来表达主项所表达对象的数量。而在弗雷格的概念文字中，量词是作用于函项的，弗雷格有时把量词称为第二层函数，即以函数为自变元的函数。量词的这种特点，使得它不是关于函项所表达对象的断定，而是关于函项自身的断定。在“所有人都是有死的（Everyone is mortal）”这句话中，量词“每一个”不是关于人的论述，而是关于函项“如果a是一个人，那么a是有死的”的一个函数：“对于任何事物x而言，如果x是一个人，那么x是有死的”，量词是弗雷格用来表达普遍性的装置。其次，弗雷格的量词总是与变元联系在一起使用的，量词后面的变元指明了量词的作用范围，变元也因此被称为约束变元。这是弗雷格量词和传统逻辑量词的最大不同。塔尔斯基也认为：“正是量词能够约束变项（也就是说，量词能够将它后面的语句函项的自由变元变为约束变元），这构成了现代逻辑中量词的一个最基本的性质。”[19]量词的这些特点，使得弗雷格能够进一步处理包含多个量词的语句和表达关系的语句，从而使得逻辑的表达能力大为增强。

（三）传统逻辑和现代逻辑

亚里士多德和弗雷格分别是传统逻辑和现代逻辑的创始人，在他们各自创建的逻辑理论中，量词都发挥着重要的作用。在三段论理论中，虽然亚里士多德没有明确的量词观念，但是量词在其命题分类中占据着重要地位，这一点也构成了传统逻辑的重要特点。而在弗雷格的逻辑体系中，量词理论也占据着重要的地位，涅尔夫妇认为：“在弗雷格所提出的新东西中，最重要的是使用量词。”[20]这个观点也得到了达米特的赞同，作为弗雷格思想研究的专家，达米特认为，弗雷格在逻辑和哲学上所取得的一切成就的基石就是其量词—变元理论[21]。因此，从量词的角度反思传统逻辑和现代逻辑，是本节的主要内容。

传统逻辑从亚里士多德开始，关注的主要是形如“所有人是有死的”即“S是P”这样句式的命题的推理，三段论推理系统也专注于此，并代表了传统逻辑的最高成就。在“S是P”这样的句式的基础上，加上否定，再加上两个基本的量词——全称量词和特称量词，就形成了传统逻辑的四个基本命题的句式，“所有S是P”、“所有S不是P”、“有S是P”、“有S不是P”。三段论推理关注的就是从拥有一个共同项的两个命题出发，可以得出怎样的结论。在这样的推理中，推理形式和日常语言形式是紧密相关的甚至是一致的。虽然在进行逻辑分析的时候，亚里士多德引进了S、P这样的字母依次表示主项和谓项，但三段论推理并没有真正做到形式化，一方面，句子中的肯定项、否定项以及量词都没有得到形式的刻画；另一方面，最重要的是，这样的研究也并没有突破自然语言的句型。三段论依旧关注的是主谓式句子的性质和推理。虽然三段论推理代表了传统逻辑的最高成就，但是推理形式过分依赖于日常语言形式还是使得传统逻辑处理句子的能力受到很大的局限，如三段论推理只能处理“S是P”这样的主系表结构的句子而不能处理表示关系的主谓宾结构的句子，即关系命题。而且传统逻辑也不能处理包含单称词的命题的推理问题。还有，亚里士多德的逻辑只能处理包含单个量词的情况，而对包含两个甚至多个量词的复杂句子无能为力。

而作为一个计划从逻辑推出全部数学的数学家，弗雷格意识到了自然语言的不完善性以及传统逻辑因为过于依赖于自然语言的句式而导致的这种局限性。弗雷格克服这种局限性的方式就是创造出一种“既可以避免别人曲解又可以避免自己思想中错误的工具”[22]，这种工具就是创立一套用逻辑关系补充数学符号的形式语言，弗雷格将其称作“概念文字”，量词—变元理论就是在此过程中被弗雷格所发现的。需要强调的是，谈及弗雷格与量词—变元理论的关系，我们用的语词是“发现”，而不是“发明”，这实际上是沿用并尊重弗雷格自己的关于人类认识以及知识的看法。在弗雷格看来，思想既不是外部世界的事物，也不属于我们每个人的表象或内心世界，我们必须承认介于外部世界和内心世界的第三种范围——“属于这种范围的东西在它们不能被感官感觉的这一点上与表象是一致的，而在它们不需要内容的承载者这一点上是与事物一致的。譬如，我们以毕达哥拉斯定理表达的思想就永远是真的，无论是否有人认为它是真的，它都是真的。它绝非自它被发现以来才是真的，而是就像行星一样，在人们发现它以前，它已经处于与其他行星的相互作用中。”[23]弗雷格的概念文字包含一系列的符号，如断定符号、函数符号、等词、量词等，其中量词理论是弗雷格最重要的发现和贡献。在弗雷格事业的开端，正是对量词—变元概念的发现，导致了他的整个接下来对逻辑的看法，量词理论是弗雷格逻辑哲学体系的基础和核心。

亚里士多德逻辑只能解决包含一个量词的语句，而处理不了包含多个量词的语句，如“所有人嫉妒有些人（Everybody envies somebody）”。与此相联系的是，亚里士多德逻辑也处理不了关系语句，如“约翰嫉妒汤姆（John envies Tom）”，因而其处理语句的能力受到了巨大的局限。中世纪的逻辑学家一直想解决包含多个普遍词的句子的推理问题，并为此提出了各种复杂的解决方案，但都没有成功。而中世纪的哲学家之所以处理不了包含多个量词的语句，是因为他们在处理包含多个普遍词的语句的时候，总是过多地关注语句的语法结构。对于“所有人嫉妒有些人（Everybody envies somebody）”这样的包含两个普遍词的语句，中世纪的哲学家要应对的问题是：如何表达一个范围（somebody）包含于另一个范围（everybody）之中？这样的提出问题的方式有两点需要注意：首先，在这个句子中之所以认为“somebody”包含于另一个范围“everybody”之中，并没有确定的规则，只是遵循一种语言习惯，即在语句中出现得靠后的普遍词包含于出现得靠前的普遍词中。而对另一个语句“有些人被所有人嫉妒（Somebody is envied by everybody）”，虽然它表达了和“所有人嫉妒有些人（Everybody envies somebody）”一样的思想，但因为普遍词在句子中出现的次序不同，则其包含关系与后者相反。其次，这个语句中只包含了两个普遍词，而一旦语句中出现三个或更多的普遍词，则包含关系，以及相互之间的范围关系会更加复杂，刻画的难度也会成倍增加。达米特认为[24]，正是对自然语言的结构过于关注才误导了逻辑学的方向，阻止了中世纪逻辑学的深入发展，并由此导致逻辑自亚里士多德以后一直裹足不前。

弗雷格在把函数的概念引入对语句的刻画和表达的同时，把复杂的句子看作由一系列步骤构成的过程，从这样的视角出发，一个包含两个普遍词的语句，如“所有人嫉妒有些人（Everybody envies somebody）”，就可以看作由两步构成的，其中，第一步是将everybody从句子中去掉，而代之以希腊字母“ξ”，原来的句子就变为“ξenvies somebody”，这样一来，“envies somebody”就成了一个一元谓词，而ξ代表一个空位，一个表明专名插入句子中的位置的空位，如“John envies somebody”、“Mary envies somebody”等，而“Everybody”就可以理解为所有专名代入后所形成的语句都是真的。第二步，我们再将“John envies somebody”中的“somebody”去掉，而代之以希腊字母“λ”，原来的语句就变为“John envies λ”，λ和ξ一样，代表一个空位，一个表明专名插入位置的空位，因而可以形成语句“John envies Tom”、“John envies David”等，就“somebody”而言，“John envies somebody”是真的，当且仅当至少有一个专名代入后形成的语句是真的。这样一来，弗雷格不仅将语句看作由诸阶段构成的，而且他还把每个普遍词的真之条件适用于每个引进它的那个阶段，这样的做法，既解决了句法问题，又解决了语义问题。

逻辑学以追求真为目标。逻辑学求真的方式就是量化概括，通过使用量词来追求真的普遍性。从“汤姆是会死的”、“苏格拉底是会死的”、“迪克是会死的”，我们对这类语句进行概括，得到一个语句“所有人是会死的”。对于这句话，我们可以用量化式表示为“对任一事物x，如果x是人，那么x是会死的”。这样一来，我们从谈论某一个具体的对象的句子出发，进而来谈论某一类对象的句子的真假，逻辑学用这样的量化概括的方式来追求真的普遍性。“逻辑学家们谈论语句，只是把它们作为一种手段，借以沿着通过对对象施加量化的方式来达到一般性”[25]，追求真的普遍性，这是逻辑学家的目标。而在这个概括句“所有人（everyone）都是会死的”中，“所有的”这个语词虽然占据专名的位置，但它不是专名，而是量词，如弗雷格所言：“它本身确实不是专名，不表达对象，而只是用来赋予这个句子内容的普遍性。”[26]量词是逻辑学用来追求真的普遍性的工具。

量词理论带给弗雷格与以前的所有逻辑学家都截然不同的视角，正是从发现量词理论的过程中，弗雷格发现了自然语言的不完善，而在此之前的中世纪的逻辑学家，正是对自然语言的结构过于关注才误导了逻辑学的方向，阻止了中世纪逻辑学的深入发展。弗雷格从一开始就放弃了自然语言，并发明了全新的表达普遍性的方法，新的逻辑体系呼之欲出。另外，对于弗雷格而言，句子是一步步构建的观点是语言分析的关键，自此，逻辑才和其他的哲学分支真正地区别开来：逻辑并非像其他哲学分支一样关注的是一定范围内语词的意义，而是关注语词所属的不同类型，以及由此所形成的不同的构建原子命题的途径。最后，正是通过量词—变元的理论，人们第一次发现亚里士多德的词项逻辑和斯多噶学派的命题逻辑原来存在如此紧密的联系。因此，涅尔夫妇认为：“把量词应用于约束变元是现代逻辑的符号体系和方法的主要特点，这一特点使得它不仅优于普通语言，而且优于布尔所使用的代数类型的符号体系……认为对约束变元使用量词是19世纪最伟大的理智发明之一，这是不过分的。”[27]当代逻辑学家达米特则认为：“摩尔将罗素的摹状词理论称为哲学的典范，这个荣誉更应该给予弗雷格所发现的量词理论，正是在这个基础上，逻辑才有了更深远的进步。”[28]

首先，量词—变元理论的发现，在哲学方面产生了重大而深远的影响。对象和概念之间的联系和区别，一直是哲学史上的重要而核心的问题之一，哲学家对这个问题的回答奠定了其关于本体论和认识论的基本看法。虽然在不同的历史阶段，这个问题会呈现出不同的历史形态，如演变为个体和普遍、殊相和共相等的争论，对这个问题的关注持续存在于哲学的整个发展历程。由量词—变元理论所提供的独特视角，弗雷格指出，专名是真正的逻辑主语，而概念是逻辑谓语，概念的最大特点就是其谓述性，量词是对概念词的限定，用来表明对象的范围，通过对量词域内对象的指派，句子有了自己的确定的真值。在此基础上，弗雷格进一步区分了专名、概念词、句子的含义和意谓。这样一来，专名、概念、意义、真等日后分析哲学的重要概念和议题在弗雷格著作中都已出现，弗雷格也因此被称为分析哲学之父。弗雷格自己也意识到这种新的逻辑符号将会产生对哲学的影响：“如果哲学的任务就是通过揭示有关语言的用法常常是无可避免地形成的概念关系的假象，通过使思想摆脱只是语言表达工具的性质才使它具有的那些东西，从而打破语词对人类精神的统治的话，那么我的概念文字经过为实现这个目的的进一步改进，将会成为哲学家们的一种有用工具。”[29]在这里，哲学的任务被看作对语言的分析，即“对有意义陈述的客观内涵的确定，是对用日常语言表达的批判，是对它们用一种新的语言的翻译”[30]，这是弗雷格的整个哲学的纲领，也成为日后语言哲学的响亮的口号和主要任务。正是在发现量词—变元理论的过程中，弗雷格在哲学史上区分了专名和概念、语言以及语言所表达的东西、含义和意谓等，这些都是日后兴起的语言哲学的关键术语，新的哲学形态蓄势待发。

其次，量词—变元理论的发现促使了哲学重心的转移——从认知向语言的转向。哲学发展的每一个阶段，都有其侧重点和重心，所谓哲学的“重心”，在达米特看来，是指“某些哲学分支是更基本的，其他哲学分支的很多问题的解决都依赖于这个重心领域内新的方法的创建”[31]。在哲学史上，笛卡儿实现了传统哲学从本体论到认识论的转移，笛卡儿之后的整个哲学的发展都以认识论为基础的这种情况一直持续到20世纪。而基于量词—变元所带来的视角，弗雷格以自己的行动表明新的逻辑形态与心理主义无关，并且从这样的新的逻辑形态出发，哲学呈现出新的面貌，新的逻辑而不是认识论成为哲学的出发点。弗雷格以自己的行动推动了哲学重心的转移。

最后，量词—变元理论也使得数学哲学成为哲学的重要的活跃的分支。作为一个数学家，弗雷格关注的重点是数学的基础，逻辑对于弗雷格而言，是进行数学基础分析的工具和手段。量词—变元理论使得弗雷格能够处理包含多个量词的句子，而这样的句子正是数学中的常见句型。对数的性质的考察，对数词功能的分析，对自然数性质的重新界定和对自然数的重新定义，即使最后罗素所发现的悖论使得弗雷格的将数学还原为逻辑的纲领宣告破产，弗雷格的工作仍然使得数学基础得到了20世纪哲学家的极大关注。即使是在今天的数学哲学领域，弗雷格仍然影响深远：“源于弗雷格思想的所谓新弗雷格主义，是最近十多年来数学哲学研究中相对活跃的课题，这也显示了弗雷格经久不衰的影响。”[32]