2.3 航空发动机线性状态空间模型建立

面向控制的航空发动机的数学模型主要有以下用途：分析设计发动机控制系统、预测发动机控制系统的物理量及发动机故障诊断和容错控制。

本书涉及的航空发动机滑模控制器设计、观测器设计、故障诊断与容错控制均以线性模型为基础展开研究工作。因此，本节将简要介绍在航空发动机稳态工作点附近，建立线性数学模型的方法。

2.3.1 基于非线性部件级模型线性化建立发动机线性模型

控制系统是航空发动机的重要组成部分之一，发动机综合性能的优劣在很大程度上取决于控制器技术的先进与否。而控制器的设计就是依据被控对象特性和控制性能要求，确定相对合适的控制规律，并以液压机械或数字电子控制等方式实现的过程。

在航空发动机的多变量控制方法中，目前相对来说较为成熟的仍然是线性控制方法，因而线性化模型无论在航空发动机的控制、性能优化还是故障诊断中都有着广泛的应用。由于航空发动机本身依然是个复杂的非线性系统，在飞行包线内各个状态下模型参数变化大，所以航空发动机模型的线性化只能在飞行包线内的某几个稳态点附近，通过线性化方法得到发动机的线性模型，也就是通常说的航空发动机小偏差模型。

要使得模型能够在更大的飞行包线内取得良好的效果，则需要建立航空发动机的变偏差模型。建立变偏差模型的方法大多为在飞行包线内取得多个点的小偏差模型，利用相关运算方法获取任意工作状态的航空发动机小偏差模型。建立小偏差模型是建立变偏差模型的基础。

2.3.1.1 发动机稳态点小偏差状态空间模型

设发动机的非线性模型为

其中，x为n维状态变量，y为m维输出变量，u为r 维控制变量。在某稳态工作点附近有

f（x0, u0）=0

y0=g（x0, u0）

在稳态工作点附近泰勒展开为

在（x0, u0）的邻域内忽略高阶项，得到稳态点的线性状态方程和输出方程分别为

其中，Δx=（x-x0）, Δu=（u-u0）, Δy=（y-y0）。

令

则

例如，假设Wf为控制量，状态变量为气涡轮转速nG和动力涡轮转速np，输出为气涡轮转速nG、动力涡轮转速np、压气机出口压力p3、高压涡轮出口温度T43，则式（2-7）表示为

有

发动机状态空间模型中各状态量的数量级常会相差很大，变化范围也大不相同，若采用绝对量求取动态系数矩阵，其元素值相差也很大，产生病态矩阵，使得计算误差增大。而采用相对量则可避免这一缺点，使计算误差大大减小。因此，在计算中必须对模型（2-7）进行归一化处理。

将式（2-7）表示的状态空间模型转化为相对增量形式，即

其中，δx=Δx/x0, δy=Δy/y0, δu=Δu/u0。

此外，在不产生混淆的情况下，为了表述的方便，将式（2-9）简写为

2.3.1.2 小偏差状态空间模型建立方法

发动机小偏差线性状态空间模型的建立方法有很多种，包括小扰动法和拟合法等。

小扰动法原理在于对控制变量中的某一变量做小扰动，保持别的变量不变，然后使用偏导数法建模，计算难度较大而且建模的误差也比较大，在实际建模过程中使用较少。

拟合法则使用得较为广泛，拟合法将建模的问题转化为使用响应矩阵来拟合非线性系统的最小二乘解的问题，使建模误差得到改善，因而越来越受到重视。

（1）小扰动法

小扰动法采用在航空发动机稳态平衡处施加小扰动，通过航空发动机模型进行多步稳态迭代计算，当迭代至收敛条件以后，计算增量形式的状态量和输出量，此后用其与扰动量的比值求出。

首先，矩阵A和C 用求解偏导数的方法获得，分别扰动状态量的分量xi，与此同时，保持其他状态分量xj（j≠i）及控制量分量u不变。扰动系统状态量，如扰动nG，是在稳态点的某一时刻人为地增大或者减小nG，同时令Δnp=0, ΔWf=0，然后根据模型自身计算nG 这一时刻以后的值。根据ΔnG、Δnp、Δp43、ΔT4初始变化量计算a11、a12、c31、c41：

在稳态点扰动nG：

然后，对控制量进行扰动得

采用小扰动法建立航空发动机小偏差状态变量模型，由于是偏导数近似求出，因此精度受到限制。

（2）拟合法

所谓拟合法建模，即拟合出发动机模型，也就是使得建立的发动机小偏差线性模型的动态响应与发动机非线性模型的动态响应相吻合。拟合法计算小偏差状态变量模型，无须计算偏导数，建模步骤大致如下：

首先，分别给发动机部件级模型的各控制量一定的小阶跃信号，并据此得到各输出量的非线性动态响应数据。

然后，根据系统的状态量、控制量和输出量之间的关系得到发动机的小偏差状态变量模型形式，并分别求出各个控制量得到小阶跃信号时的动态响应的解析式。

最后，根据拟合法的要求，利用非线性动态响应数据去拟合动态系数矩阵，这样就可以得到小偏差状态变量模型。

2.3.2 基于各部件线性化构成发动机简化线性模型

如图2-6所示，考虑某型涡轴发动机，其主要由压气机、燃烧室、燃气涡轮和动力涡轮等组成，在推导涡轴发动机简化线性模型过程中，不考虑进气道的影响，将压气机、燃烧室和燃气涡轮作为一个整体的建模单元，为燃气发生器、动力涡轮单独建模（见图2-7），其中，燃气发生器转速为输入，动力涡轮扭矩为输出[58],[59]。

（1）燃气发生器模型

采用部件法建立小偏差增量模型，压气机、燃烧室和燃气涡轮的建模单元构成燃气发生器，燃油量Wf为输入，燃气发生器转速Ng为输出，则：

其中，参数Kg随着飞行高度的升高而增大，Tg则随着高度的升高而减小。

（2）动力涡轮模型

动力涡轮输出扭矩与旋翼负载扭矩匹配，形成转速的变化，由燃气发生器发出功率，传动机构带动动力涡轮，最后由动力涡轮输出扭矩带动旋翼系统旋转，从而提供动力，旋翼的转速反馈到旋翼转速调节机构，构成闭环控制系统。以燃气发生器转速Ng为输入，发动机输出扭矩Mp为输出，建立如下的数学模型：

其中，τp、Tp为动力涡轮转速—扭矩模型中的参数。

（3）旋翼系统模型

旋翼需要的负载扭矩的数值由旋翼端的总距和转速共同决定，直升机的控制规律要求是保持旋翼转速不变的情况下可以忽略旋翼转速，从而仅考虑总距对旋翼负载扭矩的影响。以总距β为输入，旋翼负载扭矩Mr为输出，建立模型：

其中，Kr、Tr为旋翼系统总距—扭矩的相关参数。

（4）旋翼扭矩—转速模型

动力涡轮—旋翼系统运行所需的扭矩由动力涡轮与旋翼负载系统相互作用后决定，忽略模型简化过程中一些关联度较小因素的影响，仅考虑系统转动惯性的作用，从而推导出以动力涡轮—旋翼系统剩余扭矩为输入，动力涡轮转速为输出的简化数学模型：

其中，Kpr、Tpr为该一阶惯性模型相关参数。

（5）桨距—油门复什机构模型

总矩通过桨距—油门复什机构可以构成前馈环节，数学模型如下：

其中，Kd、Td为该一阶惯性模型相关参数。

该式属于闭环转速控制回路中的部分，在建模中可以忽略它的实际作用。通过从式（2-11）到（2-14）可以得到大致的传递函数模型，如图2-8所示。

图2-8中，Kng为敏感元件对转速的放大系数；分油活门与随动活塞组成的液压放大随动机构可以视为理想的积分环节，用描述，T0为积分环节时间常数；分油活门反向位移与随动活塞位移之间用近似表示，Ky为静态平衡时分油活门反向位移与阻尼活塞位移之间的比例系数，Tx为随动活塞位移与分油活门位移之间的带微分一阶惯性环节中的时间常数；为采用的比例积分转速调节器，Kp和KI分别为调节器比例参数和积分参数。

例如，为了降低控制器设计中的计算复杂程度，合理地选取模型中的参数，kg=0.8, Tg=1, τp=1, Tp=1.1, Kpr=1.25, Tpr=0.9，可得最终简化的直升机涡轴发动机燃油调节系统的数学模型：

其相应的状态空间模型各个系数矩阵近似为