2.1 森林救火数学模型

由于受全球气候变暖的影响，我国北方持续干旱少雨，森林火灾时常见诸报道。那么森林失火以后，如何去救火才能最大限度地减少损失，这是森林防火部门关注的一个问题。当然在接到报警后消防部门派出队员越多，灭火速度越快，森林损失就越小，但同时救援开支也会越大。所以，需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来确定派出队员的数目。

问题分析

森林救火问题的总费用包括两个方面：森林损失费和救援费。森林损失费一般正比于森林烧毁的面积，而烧毁的面积又与失火、灭火、扑火的时间有关，灭火时间又取决于消防队员的数目，队员越多，灭火越快。救援费除与消防队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。记失火时刻为t=0，开始救火时刻为t=t1，火被扑灭的时刻为t=t2，设t时刻森林烧毁面积为B（t），则造成损失的森林烧毁面积为B（t2），单位时间烧毁的面积为dB（t）/dt，这也表示了火势蔓延的程度。在消防队员到达之前，0≤t≤t1，火势越来越大，即dB（t）/dt随t的增加而增加；开始救火之后，即t1≤t≤t2，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dB（t）/dt应减少，并且当t=t2时，dB（t）/dt=0。

救援费包括两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的工资，这一项费用与队员数目和所用时间有关；另一部分是运送队员和器材的费用，只与队员人数有关。

模型假设

森林损失费与森林烧毁面积成正比，比例系数C1，即单位烧毁面积的损失费。

从失火开始到救火这段时间内（0≤t≤t1），火势蔓延程度dB（t）/dt与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度；火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延半径r与时间t成正比；又因为烧毁面积B与r2成正比，故B与t2成正比，从而dB（t）/dt与t成正比；

派出消防队员x名，开始救火以后（t≥t1），火势蔓延速度降为β-λx，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然应有β＜λx；

每个消防队员单位时间的费用为C2，于是每个队员的救火费用为C2（t2-t1），每个队员的一次性开支为C3。

模型建立和求解

根据模型假设条件，火势蔓延程度dB（t）/dt在0≤t≤t1线性地增加，在t1≤t≤t2线性地减小。dB（t）/dt～t图像如图2-1所示。

记t=t1时，dB（t）/dt=b，则烧毁面积恰为图中三角形面积，显然有B（t2）=tb2/2；又t2满足：t2-t1=b/（λx-β），于是：

根据假设条件，森林损失费为C1B（t2），救援费为C2x（t2-t1）+C3x，于是得救火费用为：

C（x）=C1B（t2）+C2x（t2-t1）+C3x

于是问题归结为求x，使C（x）达到最小。令dC/dx=0可得派出队员数为：

模型结果评注

● 派出队员人数由两部分组成。其中一部分β/λ是为了把火扑灭所必需的最低限度。因为，β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，此结果是合理的；

● 派出队员的另一部分是在最低限度以上的人数，与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及损失费（比例系数C1）增加时，队员数增加，这些结果与常识是一致的。此外，当救援费用系数C2变大时队员数也增大，这一结果的合理性我们可以这样考虑：救援费用系数C2变大时，总费用中灭火时间引起的费用增加，以至于以较少人数花费较长时间灭火变得不合算，通过增加人数而缩短时间更为合算。因此，C2变大时，队员人数增加也是合理的。

● 在实际应用中，C1、C2、C3是已知常数，β、λ由森林类型、消防队员素质等因素决定，可以制成表格以备专用。较难掌握的是开始救火时的火势b，它可以由失火到救火的时间t1，按b=βt1算出，或据现场情况估计。

● 本模型假设条件只符合无风的情况。在有风的情况下，应考虑另外假设。