第三节 探索学生学习规律的需要

有这样一个故事：

小明有两个舅舅在西安工作。直到九岁，小明还没有见过舅舅。两位舅舅是孪生兄弟，形象酷似，唯一的区别是小舅舅右眼皮下有一粒不显眼的黑痣。一次，两位舅舅结伴同行到小明家来。到时已是傍晚时分，妈妈忙拉着小明认舅舅，她指着大舅舅介绍说：“这是你大舅！”小明看着身材魁伟的大舅叫大舅；妈妈又指着小舅说：“这是小舅！”小明看着几乎与大舅没有两样的小舅叫小舅。一宿无话。翌日清晨，小明看着两个“一样”的舅舅，怎么也分不清哪是大舅、哪是小舅了……

从心理学角度分析，造成这种情形的责任在于妈妈，因为妈妈不懂9岁孩子要区别两个极其相似的舅舅是多么的困难，仅仅依靠妈妈轻描淡写地介绍，那是根本没有办法区别的。由于妈妈过于粗疏的介绍使小明造成两个舅舅模糊的表象，使小明根本无法区别两个舅舅，如果妈妈在介绍小舅舅时告诉小明：“小舅与大舅长相一样，但小舅的右眼皮下有颗黑痣，看见了？”这样，小明对两位舅舅就会区别开来了。

这则故事给我们一个启示：小孩子因为年龄的原因，其认知还没有发展成熟，如果我们大人不顾及孩子的认知水平特点，不遵循孩子认识事物的规律，那么效果就会大打折扣。反观我们学生学习数学，由于数学知识的抽象性和严谨性与孩子思维的直观性和形象性存在矛盾，如果我们对学生学习某块知识的学习过程的规律把握不住，没有根据学生的认知水平去精心组织材料，合理安排学习的“序”，其学习效果可想而知。

显然，开展“读懂学生”研究为我们探索学生学习规律找到了最为直接的土壤，因为我们每天面对着的就是处于学习中的学生。只要我们养成一双慧眼，掌握读懂学生学习过程的科学方法，我们就可能比心理学家、教育专家对研究学生更有“现实土壤”。所以让每个数学教师“读懂学生的研究”成为自觉行动，应该可以做到也应该努力去做到。这样不仅可以让我们更好地理解学生的学习规律，也可以改善教师的生活质量，因为我们可以在不断地“研读学生”的过程中获得职业发展的幸福感。细细分析，实施“读懂学生”研究，对教师探索学生学习数学的心理规律而言，具有这样几方面的价值。

一、实施读懂学生研究，可以让我们更准地把握学生学习数学的认知规律

有关数学学习的类型，在心理学界一直有不同的划分。一般分为数学概念学习、数学规则学习、数学技能学习、数学问题解决学习、数学学习策略学习等五个类型。我们翻阅任何一本有关小学数学教学论的书籍，一般都会对这五种类型学习的意义、特点以及过程展开论述，但更多的是停留于理论层面的阐述或介绍，极少有紧密结合小学数学的课例，学生在学习这个课例时是遵循一个怎样的学习路径，以及在行走这个学习路径过程中学生的认知发展遇到了怎样的转折点，诸如此类的东西，书籍是没有办法告诉我们的。但结合课例通过“读懂学生”的研究，再借助书籍上的一些理论，可以让我们拨开雾霭，洞悉学生的认知发展，让我们更为准确地把握住学生学习该课例或某个数学领域的认知规律。以下短文就是笔者选择“倍”这个概念对学生做深入调查，以及在调查分析的基础上再研究课例后写成的一则“教学札记”。

【案例1-3】 从加法结构到乘法结构：“倍”是转折点

“倍”是小学数学中重要概念，也是孩子学习时感觉困难很大的一个概念。为何学生理解起来困难很大呢？这是因为“倍”的含义涉及两个量之间的比率关系，即一个数中包含了几个另一个数。这对学生理解起来十分抽象，一方面，学生缺乏生活经验的支撑，学生生活经验中接触的几乎都是比较两个数量的相差关系，而比较倍数关系，几乎没有遇到过。笔者曾经就如下题目调查城市二年级没有学习过“倍”的学生，出示一幅图（图略，2个三角形和4个正方形），你能提出什么数学问题？78%的学生提出的问题都是相差或者合并多少的问题，能提出倍数问题的仅占4%，还有18%的学生没有提出任何问题。当笔者问及：你知道正方形的个数是三角形的几倍吗？85%的学生说自己听不懂老师的问题。这个学前调查佐证了学生“经验缺乏”的观点。另一方面，据心理学家吉尔德·维格诺德等研究表明，从“加法结构”到“乘法结构”，学生认知需要发生很大程度的“质变”，而“倍”的学习是发生“质变”的第一次机会。学生虽然已经学习过乘法的初步认识，但学生构建乘法概念是从特殊的加法角度切入的，还是合并与累积的过程，本质上还是属于“加法结构”的，因此学生学习“倍”都要经历加法结构到乘法结构的转变。显然，认知结构的转变是学习最大的困难，从这个角度讲，学生理解“倍”存在困难就不难理解了。

虽然学生学习倍有困难，但它是一个具有“种子属性”的再生性概念，一方面，倍的概念的学习是学生从加法结构到乘法结构飞跃的伊始；另一方面，倍是后续学习分率、百分数、比这些概念的逻辑起点和现实起点，具有很强的统摄性。从问题解决角度看，与倍密切相关的问题主要有三类：（1）求一个数的几倍是多少。（2）求一个数是另一个数的几倍。（3）已知一个数的几倍是多少，求这个数。这是建构形成乘法结构最基本的模型，如果对“倍”的理解不全面不深刻，必然会导致学生片面地理解，即见倍就乘。当然，让学生全面建立倍的概念，不是一节课就能达到的，是一个长期的过程。辨析了“倍”的概念对学生认知发展的重要性，以及学生学习它的困难性，我们不得不发出这样的设问：我们该在起始课中创设怎样的情境，精选怎样的学习材料，引领学生达到对“倍”的数学本质的理解？我们该如何丰富学生从多元角度理解“倍”的内涵和外延，这正是笔者在这节课中“上下思索，左右努力”的。

二、实施读懂学生研究，可以让我们更深地解读学生不同的数学思维方式和水平

课堂上，我们应该怎么把学生不同的数学思维方式和水平“物化”出来，让每个学生都能看到，让老师能从“物化”的数学思维结果中，读懂学生的数学思维方式与水平，从而提高教学的针对性？下面的案例，也许能给我们带来一些启示。

【案例1-4】 左右平衡，一年级学生会怎么记录

刚刚开学不久，一位一年级家长带了一道题来找孩子的数学老师，说发生了一件奇怪的事，让她疑惑不解。她的小孩早就会20以内加减法了，但是前两天她很偶然地将算式写成□=2+3，宝贝儿子居然不会做！2+3=□会做，反过来就不会做了，这是怎么一回事？2+3=□和□=2+3，这两个式子一样吗？对于前者，如果把两个数的合并运算得到一个结果这样的问题解决方式看作是顺向思维，那么后者的解决问题过程中就需要逆向思维和平衡观念的参与。据皮亚杰等的研究，6～7岁的儿童还没有形成逆向思维和平衡观念，所以这位孩子不会做也并不奇怪。还有大人在儿童早期就灌输了“等号”是用来表示结果，而非用来表示左右相等关系，所以当孩子面对□=2+3时，也就措手不及了。为此，我们学校在一年级增设数学实验课，借助玩转数字天平活动，帮助学生建立起平衡观念，丰富“等号”的内涵，这或许可以为他们今后学习代数提前铺路。在“数字天平”实验课中，我设计了一个让学生记录“天平左右平衡”的数学活动，其目的就是从学生表征的作品中解读出其数学思维方式，以及对“等号”的理解程度，为丰富“等号”内涵做铺垫。

学生1：画图表示（见图1-1）。

学生2：简图表示（见图1-2）。

学生3：用示意图表示（见图1-3）。

学生4：用数字表示（见图1-4）。

学生5：用等号表示（见图1-5）。

从学生作品看，全班40个学生，仅有一个学生用等号连接左右平衡，而39个学生大脑中提取不出用“=”连接左右平衡，这些学生认为“=”是用来表示算式的结果。虽然学生早就知道等号，但他们对等号的理解往往是狭隘的。因此，扩大对等号意义的理解，即在低年级有意识地渗透等号蕴含的对称性思想，不仅可以萌发学生的代数思维，也利于发展学生的代数思想。该环节通过让学生多元表征“平衡”，经历符号化、数学化的逐步抽象的思维过程，正是帮助学生理解“等号”的对称性思想。

三、实施“读懂学生”研究，可以让我们更好地帮助学生解决学习过程中的困难

清华大学附属小学的张红老师在教学小数除以小数之前，对学生进行了学前调研，发现在计算“8.54÷0.7”时，27%的学生不能自觉想到将其转化为小数除以整数，67.6%的学生在转化时出现了困难。特别有意思的是，在随后教师对学生的访谈中，发现了学生在处理商的小数点位置时出现了较大的困难。一部分学生认为商的小数点应该与被除数的小数点对齐，得到1.22；另一部分学生把被除数和除数同时扩大10倍，将算式转化为85.4÷7并得到答案12.2后，又画蛇添足地将答案的小数点往左移动了一位。如果教师不了解学生的真正困难，设计有效的活动帮助学生克服困难，学生可能只会机械记住法则。于是，为了帮助学生克服困难，教师在课堂上让学生探索“5.1÷0.3”，当出现困难时，教师为学生准备了3道提示问题：

温馨提示1：铅笔每支0.3元，小红有5.1元钱，她能买几支铅笔？

温馨提示2：一条彩带长5.1米，如果每0.3米剪成一段，可以剪几段？

温馨提示3：如下图，5.1里面有多少个0.3，你能圈圈看吗？

在教师的引导下，学生借助生活原型（提示1和提示2）和直观模型（提示3）发现最终的答案应该是17而不是1.7。利用直观模型的解释：5.1里面有51个0.1,0.3里面有3个0.1，看5.1里面有多少个0.3，实际上就是看51里面有多少个3，结果为17。

这则案例给我们这样一个启示：教师心中有学生还不够，就数学教师而言，读懂学生学习某个知识时会遇上怎么的困难，并对为什么会遇上这样的困难作出理性的探索，并在教学中遵循学生的认知规律选择有效的材料，帮助学生克服困难，不仅可以让学习走向成功，更是让教师的实践性知识得到了丰富。