§5.2 基本积分表

一、基本积分表

因为求导（微分）与求不定积分互为逆运算，也就是说，有一个导数（微分）公式，反过来就有一个积分公式，因此我们将导数（微分）基本公式反过来看，就能得到下面的积分基本公式，以此为基础可计算大量的不定积分.

特别地，∫0dx=C，因为d（C）=0.

注：（1）上表左边的13个基本积分公式是计算不定积分的基础，很多复杂不定积分的计算，计算过程中总是要设法利用基本积分公式求得最后结果，因此基本积分公式是进行积分运算的基础，必须熟记.

（2）切不可将公式中的积分变量固定记为x，而应该看成是对任意一个变量t，h，w等都是成立的，例如：

由∫sinxdx=-cosx+C，可有∫sinhdh=-cosh+C，∫sintdt=-cost+C，∫sinwdw=-cosw+C等都成立.

在下面解题注解中的积分公式简称公式.

二、直接积分法

若所给定的不定积分，能直接利用基本积分公式计算出不定积分，或者通过利用不定积分的性质或者只需将被积函数作恒等变形，使之符合基本积分公式结构的要求，计算出不定积分，这样的方法通常称为直接积分法.

例1 求不定积分t.

例2 利用积分基本公式求下列不定积分，并检验计算结果的正确性：

(1)∫3xexdx

(2)

检验：因为

等于被积函数，所以计算结果是正确的.

读者自行完成检验.

此例告诉我们，当遇到被积函数实际上是幂函数，但常用分式或根式表示时，应首先将它化为xα的形式，然后再应用幂函数的积分公式（2）来求出不定积分.

例3 求.

解：（←分子展开恒等变形，再分项积分）

例4 设p（x）=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an，求p（x）的不定积分.

例5 求x.

例6 求不定积分.

*例7 求不定积分.

例5、6、7的解法特点是考虑迎合分母，由分子结构适当恒等变形拆成两项，加（或减），再利用公式.

例8 求不定积分∫tan2xdx.

例9 求不定积分.

解：由sin2（←由三角公式cos2x=1-2sin2x）

例10 求不定积分.

从例8、9、10可以看出，当被积函数为三角函数但又不是积分表中的公式时，一般要利用三角函数公式转换成满足公式的结构.

例11 求不定积分.

注：从上面几个例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接用基本积分公式来进行计算，首先要对被积函数作适当的恒等变形，化成基本积分公式表中所列形式的积分后，才能计算出结果.一般说来，所采用的恒等变形手段主要有：因式展开，分式拆项，分子、分母有理化，假分式化为多项式和真分式之和，三角公式恒等变形等.

例12 已知f＇（x）=，且f（1）=3，求f（x）.

解：由不定积分性质，不定积分性质与导数的关系2，上式两端求不定积分得

所以

将f（1）=3代入上式，求得，从而得

5.2 练习题

1.求下列不定积分：

(1)∫(-3x2+2x+5)dx

(2)

(3)∫(2ex-3sinx+sec2x)dx

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)∫x(2x+1)3dx

(13)

(14)

(15)∫(sec2u-csc2u)du

(16)

(17)∫(3e)5xdx

(18)∫axexdx

(19)∫(2·3x+3·2x)dx

(20)∫(2x+3x)2dx

(21)

(22)∫ex(3+e-x)dx

(23)

(24)

(25)

2.求下列不定积分：

(1)

(2)∫10t·32tdt

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

3.已知f＇（x）=cosx，且，求f（x）.

参考答案

1.(1)-x3+x2+5x+C

(2)

(3)2ex+3cosx+tanx+C

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)arcsinu-3arctanu+C

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)tanu+cotu+C

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)x-sinx+C

(22)3ex+x+C

(23)-cotx-tanx+C

(24)-sinx+cosx+C

(25)

2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)arctanx+ln｜x｜+C

(6)

(7)

(8)-4cotx+C

(9)3x3+arctanx+C

(10)

(11)

(12)ex-ln｜x｜+C

(13)

3.f(x)=sinx+3