§5.4 分部积分法与不定积分的简单实际应用

一、分部积分法

前面§5.3介绍的换元积分法是在复合函数求导公式的基础上得到的，它虽然是一种应用较广泛的积分方法，但对形如∫lnxdx，∫xsinxdx，∫xexdx，∫xlnxdx等等，用换元积分法就不一定有效.这些不定积分的特点是，被积函数是两个不同类型函数的乘积.本节，我们将利用两个函数乘积的微分（导数）公式，推导计算这种类型不定积分的另一有效的方法——分部积分法.

定理5.3 设u=u（x），v=v（x）具有连续导数，则

∫u(x)d［v(x)］=u(x)v(x)-∫v(x)du(x)

证：由两个函数乘积的微分法公式

d(uv)=vdu+udv

移项，udv=d（uv）-vdu或uv′dx=d（uv）-u′vdx.

对上式两边积分，可得

∫udv=∫［d(uv)-vdu］=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu

即

（5.4.1）式或（5.4.1）′式称为分部积分公式.这一公式说明，如果等式左端不定积分∫udv（或∫uv′dx）不容易求积分，而等式右端的积分∫vdu（或∫u′vdx）容易求出时，则可将左端的积分转化为右端的积分，从而求出不定积分.按照此定理，右端分拆成两部分，其中一部分已不需要积分，只要对另一部分积分即可，这也是分部积分法“分部”的含义.

即

我们要强调的是，利用分部积分法求不定积分时，关键问题在于对被积函数表达式f（x）dx中，如何正确选择哪部分为u（x），哪部分为v′dx（或dv）是很重要的，如果选择不恰当，就有可能使得变换后的积分比原积分更不容易求得结果，下面举例说明.

例1 求∫xexdx.

解题分析：这是把被积函数看成是幂函数x和指数函数ex两种不同类型函数的乘积，选幂函数x为u，剩下指数函数ex与dx的组合exdx的微分式选成dv，这样通过求导，就可以使幂函数的幂次减低一次，而且v也容易求得.

解：令u=x，dv=exdx（或v′=ex），

由u=x两端微分得du=dx（或u′=1）；由dv=exdx，两端积分得∫dv=∫exdx，得v=ex，则dv=dex，将以上结果代入公式

于是

注：在求v时，是通过把表达式dv=exdx两端求积分得到，按求不定积分的定义，v=ex 应加上任意常数C，由于这里只需要找出某个原函数v，最终积分结果的任意常数可合并为一个，因此，这里没有必要先加.

如果上例中我们另外设u=ex，dv=xdx，会出现什么情形呢？事实上，对u=ex两端微分，得du=exdx；由dv=xdx，两端积分∫dv=∫xdx，即，得，于是代入公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu，得原积分为

显然积分中的x的次数比原积分∫xexdx中的x次数更高了，更不容易求得结果，所以这种选择是不恰当的.

此例告诉我们被积函数为幂函数xα与指数函数ex相乘时，选择幂函数为u，选择指数函数ex与dx的组合exdx为dv.

一般说来，使用分部积分公式时，在被积函数结构中，如何适当选择u的常用优先选择顺序，以下可供参考.

①对数函数→②反三角函数→③幂函数→④三角函数→⑤指数函数

例如，∫lnxsinxdx中被积函数含有对数函数lnx与三角函数sinx相乘时，选择对数函数为u，即令u=lnx，则剩下部分sinxdx作为dv；又如，∫3xarctanxdx，被积函数含有指数函数与反三角函数相乘时，选择反三角函数为u，即令u=arctanx，剩下部分3xdx作为dv等等.

由上例启发可得出，如果所给积分∫f（x）dx中f（x）由两个不同类型的函数φ（x），ψ（x）组成，则用分部积分法求不定积分的参考步骤是：

第一步，在所给积分∫f（x）dx中按优先选择顺序恰当选择f（x）中的某部分函数作为u，如恰当令u=φ（x），剩下的函数与dx组合的微分式作为dv，即令dv=ψ（x）dx，然后由u=φ（x）两端微分求得du，由dv=ψ（x）dx两端积分求得v；

第二步，将第一步相应部分代入分部积分公式：∫udv=uv-∫vdu求出结果.

例2 求∫xcos2xdx.

解题分析：被积函数是xcos2x，按优先原则，当被积函数是幂函数和三角函数的乘积时，在公式中幂函数选成u，三角函数与dx组合的微分式选成dv.

解：第一步，设u=x，dv=cos2xdx（或v′=cos2x）.

由u=x两端微分得du=dx；由dv=cos2xdx，两端积分得∫dv=∫cos2xdx，即v=，则.

第二步，代入分部积分公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu（或∫uv′dx=uv-∫u′vdx）得

如果上例中设u=cos2x，dv=xdx，会出现什么情形呢？这样选择是否适合？自行试做看看.

例3 求∫x2lnxdx.

解题分析：按优先原则，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，选择对数函数lnx为u（因为lnx不容易积分），选幂函数x2与dx组合的微分式为dv即用幂函数凑微分.

解：取u=lnx，dv=x2dx，

由u=lnx两端微分得；由dv=x2dx两端积分得，则.于是，由公式（5.4.1）∫udv=uv-∫vdu得

如果上例中设u=x2，dv=lnxdx，试做看看是否适合.

由例2归纳得到，被积函数为幂函数xn与对数函数lnx相乘的积分时，使用分部积分公式时的一般规律如下：

例4 求∫（x2+1）lnxdx.

解题分析：按优先原则，当被积函数是幂函数和对数函数的乘积时，选择对数函数为u，选幂函数与dx组合的微分式为dv，即用幂函数凑微分.

解：设u=lnx，dv=（x2+1）dx，由u=lnx两端微分得；由dv=（x2+1）dx两端积分得.

于是根据公式（5.4.1）得

例5 求∫lnxdx.

解题分析：按优先原则，被积函数单独是一个对数时用分部积分法，对数函数选成u，选幂函数1（←∵1=x0）与dx组合的微分式选成dv.

解：设u=lnx，dv=1·dx（或v＇=1），由u=lnx两端微分得（或）；由dv=1·dx两端积分∫dv=∫dx得v=x，则dv=dx.

于是

从此例可以看出，利用分部积分法可求出基本积分表中没得到的基本初等函数，如对数函数、反三角函数的积分（见例7）的不定积分。

例6 ∫xarctanxdx.

解：设u=arctanx，dv=xdx（或v′=x），

由u=arctanx两端微分得；由dv=xdx两端积分∫dv=∫xdx得，则dv=.

于是

如果上例中设u=x，dv=arctanxdx，能做出来吗？

例7 求∫arcsinxdx.

解题分析：本题和例4类似，也可看作是被积函数为幂函数x0与反三角函数arcsinx相乘，积分的方法是使用分部积分公式.

解：按优先原则设u=arcsinx，dv=dx（或v′=x），

由u=arcsinx两端微分得；由dv=dx两端积分∫dv=∫dx得v=x，则dv=dx

于是

由例6和例7归纳得到被积函数为幂函数xn与反三角函数相乘的积分，使用分部积分公式时的一般规律如下：

在熟练掌握分部积分法后，可不必明确地设出u和dv，以及如何求出du和v的过程，而只要在心里将被积表达式分解成φ（x）·dψ（x）的形式，直接应用分部积分公式即可.当然从上例能再次体会到熟悉常用微分的变化形式（例如§5.3表5-3-1），是很重要的.

例8 求∫x2exdx.

对∫xexdx还不能直接积分，还须再做一次分部积分，所选u的函数类型还是幂函数u=x.

代入上式得 ∫x2exdx=x2ex-2（xex-ex）+C=（x2-2x+2）ex+C

此例告诉我们，在有些积分中，可能需要多次应用分部积分法，最后才能得出结果.如上例中就运用了两次分部积分法.若需要用两次以上分部积分法，则每次所选u的函数类型不变（这里两次选u都为幂函数，分别为x2和x）.

例9 求∫exsinxdx.

即

∫exsinxdx=exsinx-excosx-∫exsinxdx

上式等式右端第三项积分∫exsinxdx恰是所求的不定积分，把该项移到等式左端合并后，再两端除以2，解出∫exsinxdx得

上例还告诉我们，有的不定积分在重复进行分部积分后，未能求出该积分，但在求的过程中又重新出现了与所求积分相同的形式，此时可将等式中所求积分看成变量，像解代数方程那样解出积分来，从而得到结果.

一般地，形如∫eaxsinbxdx和∫eaxcosbxdx的不定积分，任意选择u和dv都可计算出结果.但应注意，要使用两次分部积分公式才能求出结果.

*二、综合杂例

到本节为止，我们已经学习了求不定积分的三种最基本的方法.记住方法本身固然重要，但更重要的是能够灵活地运用它们来求解不同类型的题目，同时，还应注意到某些不定积分的求解，往往需要换元法与分部积分法兼用才能求得最终结果，如下例：

例10 求.

解：先用换元法，设，则x=t2，dx=2tdt.所以

例11 求.

解：先用换元法，设，则ex=1+t2，x=ln（1+t2），.

于是有些函数的积分，当被积函数中含有某个简单函数的n（自然数）次方幂时，可通过分部积分法将该函数的n次方幂降为低次方幂，从而得到该积分计算的递推公式.如下例：

例12 求In=∫（cosx）ndx的递推公式，其中n为正整数，且n≥3.

即In=（cosx）n-1·sinx+（n-1）In-2-（n-1）In

将上式中含有In的项移到等号左边合并，得

nIn=(cosx)n-1·sinx+(n-1)In-2

所以得到递推公式（n≥3）

例如，当n=1，2时，已知

当n≥3时，反复运用上述递推公式，可将被积函数的方次降低，最后归结到I1或I2的函数关系式，从而得到积分结果.

利用上述递推公式，可推得

*例13 求不定积分∫f（x）dx，其中

解：分别求在（-∞，0），（0，+∞）内的原函数.

当x≤0时，

当x＞0时，

由于f（x）在x=0处连续，因此∫f（x）dx在x=0处也连续，故有

而

即

设C1=C，则C2=C-1

综上，得

上例告诉我们，被积函数为连续的分段函数求不定积分时，首先，分别求出分段区间上的不定积分；其次，根据连续函数的原函数一定是连续函数，由函数在点连续的充要条件，将各个区间上的积分常数统一为一个.

三、不定积分的简单应用

不定积分的应用是由一个函数的导数还原出这个函数（原函数）.在§5.1里我们由不定积分的几何意义知道，由曲线在给定点的切线的斜率，可求出表示这条曲线的方程.下面再举例说明，用不定积分解决几个简单的实际问题.

例14 已知边际成本为C′（x）=33+38x-12x2，固定成本为C（0）=68.求：（1）总成本函数；（2）平均成本函数.

解：（1）设总成本函数为C=C（x），由题意C′（x）=33+38x-12x2，两端积分得

又由C（0）=68，代入上式，解得C=68，

所以，总成本函数为C（x）=33x+19x2-4x3+68

（2）平均成本函数为

例15 已知某工厂生产某种产品，生产x个产品的边际成本为MC=C′（x）=100+2x，其固定成本为C（0）=1000元，产品单价规定为500元.假设生产出的产品能完全销售，问生产量为多少时利润最大？并求出最大利润.

解：设总成本函数为C=C（x），由题意C′（x）=100+2x，两端积分得总成本函数为

C(x)=∫(100+2x)dx=100x+x2+C1

由C（0）=0+0+C1=1000，得C1=1000

从而得总成本函数为

C(x)=x2+100x+1000

又总收益函数为

R(x)=500x

于是总利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=500x-x2-100x-1000=-x2+400x-1000由L′（x）=-2x+400，令L′（x）=-2x+400=0，得x=200，且L″（200）=-2<0，所以，生产量为200单位时，利润最大，最大利润为

L（200）=-2002+400×200-1000=39000（元）

例16 设做直线运动的某一物体的速度为.试求该物体的位移s与时间t的函数关系式.

解：设函数关系式为s=s（t），

由题意

则

又由实际意义，当时间t=0时s=0，代入上式得C=0.

于是s与时间t的函数关系式为+2t.

5.4 练习题

1.用分部积分法求下列不定积分

(1)∫xe-xdx

(2)∫xsin2xdx

(3)∫(2x-1)exdx

(4)

(5)∫xe2xdx

*(6)

(7)∫θcosθdθ

(8)∫xarcsinxdx

(9)∫x2lnxdx

(10)∫x2e-2xdx

(11)

(12)∫cosxln(sinx)dx

(13)∫(2u2-u)e-udu

(14)∫ln(5x-1)dx

(15)

(16)

(17)∫(lnx)2dx

(18)∫esinxsin2xdx

2.选用适当的方法求下列不定积分：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)∫sin2xcos4xdx

3.求不定积分∫f（x）dx，其中

4.已知函数是f（x）的一个原函数，证明：

（提示：用分部积分）.

5.已知函数f（x）=xx，证明：

∫xf″（x）dx=xx［xln（x+1）-1］+C（提示：用分部积分）.

6.求In=∫（lnx）ndx的递推公式，其中n为正整数，且n≥2（提示：用分部积分）.

7.求In=∫xnexdx的递推公式，其中n为正整数，且n≥1（提示：用分部积分）.

8.某工厂生产某种洗涤产品，每天生产的产品的总成本C（x）的变化率（即边际成本）是日产量x的函数C′（x）=3+4x，已知固定成本为1000元，求总成本C（x）与日产量x的函数关系.

9.设某产品每天生产x单位时边际成本函数为C′（x）=0.4x+2，固定成本为20元，求总成本函数；如果这种产品的销售单价为18元，且产品可以全部售出，求总利润函数L（x）；每天生产多少单位时才能获得最大利润，最大利润值是多少？

10.已知某产品的边际成本C′（Q）=4Q-3（万元/百台），Q为产量（百台），固定成本为11（万元），求：（1）该产品的平均成本函数；（2）最低平均成本.

11.已知某曲线上的任意一点（x，y）处的切线斜率为y′=3x（x-2），且它与x轴相交于（2，0）.求：（1）该曲线的方程；（2）该曲线与y轴的交点处的切线方程.

12.求过点（0，2）的曲线方程y=f（x），使它在点x处的切线斜率为ex.

参考答案

1.(1)-xe-x-e-x+C

(2)

(3)(2x-3)ex+C

(4)

(5)

(6)

(7)θsinθ+cosθ+C

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)[ln(sinx)-1]sinx+C

(13)-(2u2+3u+3)e-1+C

(14)

(15)

(16)

(17)x(lnx)2-2xlnx+2x+C

(18)2(sinx-1)esinx+C2.(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

3.

4.略

5.略

6.In=x(lnx)n-nIn-1

7.In=xnex-nIn-1

8.C(x)=2x2+3x+1000

9.C（x）=0.2x2+2x+20；L（x）=-0.2x2+16x-20；40；300（元）

10.（1）-3；（2）6.598（万元）

11.(1)y=x3-3x2+4;(2)y=4

12.y=ex+1