2.4 钢筋混凝土受压构件正截面承载力计算

2.4.1 概述

钢筋混凝土柱是典型的受压构件，不论是厂房的排架柱（图2.4-1）还是框架柱（图2.4-2），在荷载作用下其截面上一般都作用有轴力、弯矩和剪力。

图2.4-1 厂房排架柱

图2.4-2 框架结构构件内力

受压构件可分为两种：纵向力通过构件截面重心的受压构件称为轴心受压构件；当纵向力作用线偏离构件轴线或同时作用有轴心压力及弯矩时，称为偏心受压构件，如图2.4-3所示。

对于偏心受压构件正截面承载力计算，《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）给出附加偏心距e_a应取20mm和偏心方向截面最大尺寸的1/30两者中的较大值。

2.4.2 轴心受压构件正截面承载力计算

1.普通箍筋柱

图2.4-3 偏心受压构件

（1）长柱、短柱和稳定系数 工程设计中对于长细比 或 的钢筋混凝土柱视为短柱，对于短柱可不考虑纵向弯曲的影响。长细比 或 的钢筋混凝土柱为长柱，对于长柱应考虑纵向弯曲的影响。

设以稳定系数φ代表长柱和短柱的承载力之比

稳定系数φ主要与柱子的长细比l₀/b或l₀/d有关，b为矩形截面的短边尺寸，d为圆形柱的直径。《混凝土结构设计规范》规定的稳定系数φ的取值比实验值略低一些，具体见表2.4-1。

表2.4-1 稳定系数φ值

注：b—矩形截面的短边宽度；d—圆形截面的直径；i—截面的最小回转半径， ；l₀—构件计算长度。

（2）正截面受压承载力计算 根据以上分析，如图2.4-4所示，在考虑长柱承载力的降低和可靠度的调整因素后，轴心受压构件承载力计算公式为

N≤N_u=0.9φ（f_cA+f_y′A′_s） （2.4-2）

式中 N——轴向压力设计值；

A——构件截面面积；

A_s′——全部纵向受压钢筋截面面积；

f_c——混凝土的轴心抗压强度设计值；

f_y′——纵向钢筋的抗压强度设计值；

φ——钢筋混凝土构件的稳定系数，按表2.4-1采用。

图2.4-4 轴心受压柱计算简图

当纵向钢筋配筋率大于3%时，式（2.4-2）中A改用A_n，A_n=A-A_s′。公式右端的0.9是可靠度调整系数。

受压构件计算长度l₀可按表2.4-2、表2.4-3的规定取值。其中表2.4-3适用于一般多层房屋中梁柱为刚接的框架结构。

表2.4-2 刚性屋盖单层房屋排架柱、露天吊车柱和栈桥柱的计算长度

（续）

注：1.表中H为从基础顶面算起的柱子全高；H_l为从基础顶面至装配式吊车梁底面或现浇式吊车梁顶面的柱子下部高度；H_u为从装配式吊车梁底面或从现浇式吊车梁顶面算起的柱子上部高度。

2.表中有吊车房屋排架柱的计算长度，当计算中不考虑吊车荷载时，可按无吊车房屋柱的计算长度采用，但上柱的计算长度仍可按有吊车房屋采用。

3.表中有吊车房屋排架柱的上柱在排架方向的计算长度，仅适用于H_u/H_l≥0.3的情况；当H_u/H_l＜0.3时，计算长度宜采用2.5H_u。

【例2.4-1】 已知某多层现浇框架结构标准层中柱，轴向压力设计值N=2200kN，楼层高H=5.1m，混凝土用C30（f_c=14.3MPa），钢筋用HRB400，f_y=360MPa。

求：柱截面尺寸及纵筋面积

解答：初步确定柱截面尺寸：b=h=400mm，取l₀=1.25H，则得

查表2.4-1得φ=0.87

表2.4-3 框架结构各层柱的计算长度

注：表中H对底层柱为从基础顶面到一层楼盖顶面的高度；对其余各层柱为上、下两层楼盖顶面之间的高度。

实配4 22（A′_s=1520mm²）

2.螺旋式或焊接环式箍筋柱

（1）螺旋式或焊接环式箍筋柱的优点 当柱承受的轴向荷载较大，同时其截面尺寸由于建筑上及使用上的要求而受到限制时，可考虑采用螺旋式或焊接环式箍筋柱，如图2.4-5所示。采用螺旋式或焊接环式箍筋柱不仅可以提高柱的承载力而且可以增加核心混凝土的极限变形能力，增加柱的延性。

（2）正截面轴心受压承载力计算 《混凝土结构设计规范》给出的轴心受压承载力计算公式为

式中 f_yv——间接钢筋的抗拉强度设计值；

d_cor——核心截面的直径，取间接钢筋内表面之间的距离；

图2.4-5 配置螺旋式间接钢筋的钢筋混凝土轴心受压构件

A_cor——构件的核心截面面积，取间接钢筋内表面范围内的混凝土截面面积；

s——沿构件轴线方向间接钢筋的间距；

A_ss1——螺旋式或焊接环式单根间接钢筋的截面面积；

A_ss0——螺旋式或焊接环式间接钢筋的换算截面面积；

α——间接钢筋对混凝土约束的折减系数；当混凝土强度等级不超过C50时，α=1.0；当混凝土强度等级为C80时，α=0.85，其间按线性内插法确定。

为了保证在使用荷载下保护层不致剥落，《混凝土结构设计规范》规定按式（2.4-3）算得的构件承载力不应大于按式（2.4-2）算得的受压承载力设计值的1.5倍。

凡属下列情况之一者，不应计入间接钢筋的影响而按式（2.4-2）计算构件的承载力：

1）当l₀/d＞12时，有可能因长细比较大，柱子丧失稳定，而使间接钢筋不能充分起作用。

2）当按式（2.4-3）算得的承载力小于按式（2.4-2）算得的承载力时。

3）当间接钢筋的换算截面面积A_ss0小于纵向普通钢筋全部截面面积的25%时。

在配有螺旋式或焊接环式箍筋的柱中，如在正截面受压承载力计算中考虑间接钢筋的作用时，箍筋间距不应大于80mm及d_cor/5，以便形成较为均匀的约束压力；同时不宜小于40mm，以便保证混凝土的浇筑质量。螺旋箍筋的直径按箍筋有关规定采用。

【例2.4-2】 已知某公共建筑门厅内底层现浇框架钢筋混凝土柱，承受轴向压力设计值N=3200kN，从基础顶面到二层楼面的高度为5.6m。混凝土用C25（f_c=11.9MPa），纵筋为HRB400（f_y=360MPa），箍筋用HPB300（f_yv=270MPa）。按建筑设计要求柱截面采用圆形，其直径不大于550mm。试进行该柱配筋计算。

解答：先按螺旋箍筋柱计算所需纵向钢筋面积

设圆柱截面直径为500mm，并取保护层厚度为20mm，箍筋直径为8mm，则核心截面直径为

d_cor=（500-2×20-2×8）mm=444mm

核心截面面积

设螺旋箍筋间距为60mm，符合40mm≤s≤80mm及s≤0.2d_cor=89mm的规定。

螺旋箍筋的换算截面面积为

由式（2.4-3）求得：

选配8 22，实配A_s′=3041mm²。

圆形柱混凝土截面面积为

验算配筋率

满足最小配筋率要求。

按螺旋箍筋柱计算实际承载力为

N_螺=0.9（f_cA_cor+f_y′A_s′+2αf_yvA_ss0）

=0.9×（11.9×154751.8+360×3041+2×1.0×270×1169）N

=3210809.8N=3211kN

按普通箍筋柱计算

柱子计算长度取1.0H，则

l₀=1.0H=1.0×5.6m=5.6m

计算稳定系数φ值，因l₀/d=5600/500=11.2

查表2.4-1得：φ=0.962

由式（2.4-2）求得：

N_普=0.9φ（f_cA+f_y′A_s′）=0.9×0.962×（11.9×196250+360×3041）N

=2969810.9N=2970kN

因此，N_普＜N_螺。另外，1.5N_普=1.5×2970kN=4455kN＞N_螺=3211kN，说明设计的螺旋箍筋柱符合要求。

2.4.3 偏心受压构件正截面承载力计算

1.偏心受压构件的纵向弯曲

当长细比较小时，偏心受压构件的纵向弯曲变形很小，附加弯矩的影响可忽略。因此《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）规定：弯矩作用平面内对称的偏心受压构件，当同一主轴方向的杆端弯矩比M₁/M₂不大于0.9且设计轴压比不大于0.9时，若构件的长细比满足式（2.4-5）的要求，可不考虑轴向压力在该方向挠曲杆件中产生的附加弯矩影响；否则应按截面的两个主轴方向分别考虑轴向压力在挠曲杆件中产生的附加弯矩影响。

l_c/i≤34-12（M₁/M₂） （2.4-5）

式中 M₁、M₂——已考虑侧移影响的偏心受压构件两端截面按弹性分析确定的对同一主轴的组合弯矩设计值，绝对值较大端为M₂，绝对值较小端为M₁，当构件按单曲率弯曲时，M₁/M₂取正值，否则取负值；

l_c——构件的计算长度，可近似取偏心受压构件相应主轴方向上下支撑点之间的距离；

i——偏心方向的截面回转半径。

除排架结构柱外，其他偏心受压构件考虑轴向压力在挠曲杆件中产生的二阶效应后控制截面的弯矩设计值应按下列公式计算：

式中 C_m——构件端截面偏心距调节系数，当小于0.7时取0.7；

η_ns——弯矩增大系数；

N——与弯矩设计值M₂相应的轴向压力设计值；

ζ_c——截面曲率修正系数，当计算值大于1.0时取1.0；

e_a——附加偏心距，其值应取20mm和偏心方向截面最大尺寸的1/30两者中的较大值；

h——截面高度：对环形截面，取外径；对圆形截面，取直径；

h₀——截面有效高度：对环形截面，取h₀=r₂+r_s；对圆形截面，取h₀=r+r_s；此处，r为圆形截面的半径；r₂为环形截面的外半径；r_s为纵向普通钢筋重心所在圆周的半径；

A——构件截面面积。

当C_mη_ns小于1.0时取1.0；对剪力墙及核心筒墙，可取C_mη_ns等于1.0。

2.矩形截面偏心受压构件正截面承载力计算基本公式

（1）基本假定。钢筋混凝土偏心受压构件正截面承载力计算的基本假定与受弯构件完全相同，参见2.3节。

图2.4-6 大偏心受压应力计算图形

a）实际应力分布图 b）计算图形

（2）大偏心受压构件基本计算公式（ξ≤ξ_b） 大偏心受压构件破坏时，其受拉及受压纵向钢筋均能达到屈服强度，受压区混凝土应力为抛物线形分布，如图2.4-6a所示。为简化计算，同样可以用矩形应力分布图形来代替实际的应力分布图（图2.4-6b），混凝土压应力取轴心抗压强度设计值f_c乘以系数α₁，受压区高度为x，则根据纵向力的平衡和对受拉钢筋合力点的力矩的平衡可得

式中 N——轴向力设计值；

e——轴向力作用点至纵向受拉钢筋A_s合力点之间的距离；

e_i=e₀+e_a （2.4-13）

e_i——初始偏心距；

e₀——轴向压力对截面重心的偏心距取为M/N；

e_a——附加偏心距，其值取20mm和偏心方向截面最大尺寸的1/30两者中的较大值。

基本公式的适用条件为：

1）为保证受拉钢筋A_s达到屈服，应满足x≤ξ_bh₀。

2）为保证构件破坏时受压钢筋A_s′达到屈服，应满足x≥2a_s′或z≤h₀-a_s′，z为受压区混凝土合力与受拉钢筋合力之间的内力臂。

（3）小偏心受压构件基本计算公式（ξ＞ξ_b） 小偏心受压构件破坏时的应力分布图形可能是全截面受压或截面部分受压、部分受拉。离纵向力较近一侧的受压钢筋A′_s，都能达到屈服强度；而远离纵向力一侧的钢筋A_s则可能受压或受拉，其应力为σ_s，往往都未达到屈服强度。小偏心受压构件截面实际应力分布图形如图2.4-7所示，计算应力图形如图2.4-8所示。根据纵向力的平衡和对受拉钢筋（或受压较小钢筋）合力点的力矩平衡可得

式中 x——受压区高度，当x＞h时，取x=h；

σ_s——远离纵向力一侧钢筋的应力。

图2.4-7 小偏心受压实际应力分布图

图2.4-8 小偏心受压计算图形

a）A_s受拉 b）A_s受压

钢筋应力σ_s可用下面两种方法确定：

1）用平截面假定条件，确定σ_s值由图2.4-9可得：

根据基本假定，取x=β₁x_c，当构件压坏时取ε_c=ε_cu，同时取 则得

当σ_s＞0时，A_s受拉；反之，当σ_s＜0时，A_s受压。σ_s、ξ关系如图2.4-10所示。

2）σ_s的简化计算式

如图2.4-10所示，式（2.4-16）中σ_s与ξ的关系为双曲线函数，而σ_s值对小偏心受压正截面承载力影响很小，因此采用如下简化公式，用直线方程代替双曲线方程。

当ξ=ξ_b时，即大、小偏压分界，取σ_s=f_y；当ξ=β₁，即 ，x=β₁x_c，则 ，此时中和轴高度x_c=h₀，故取σs=0；通过以上两点可得σ_s-ξ的线性方程为

图2.4-9 截面应变

3.矩形截面偏心受压构件非对称配筋计算与承载力校核

根据设计经验和理论分析，对于非对称配筋的偏心受压构件，在常用的配筋范围内可以采用如下条件来判别大小偏压：

当e_i≤0.3h₀时按小偏心受压计算；

当e_i＞0.3h₀时按大偏心受压计算。

在承载力校核时不应像截面配筋设计那样按偏心距e₀的大小来作为两种偏心受压情况的分界。因为在截面尺寸、偏心距以及配筋面积A_s、A_s′均已确定的条件下，受压区高度即已确定。所以应根据x的大小或ξ的大小来判别大、小偏压。

（1）大偏心受压构件截面设计

1）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M₁，M₂，N，求A_s，A_s′

图2.4-10 σ_s-ξ关系图

当e_i＞0.3h₀时可按大偏心受压设计，为充分利用受压区混凝土的抗压作用，令x=ξ_bh₀，代入式（2.4-11）可得

对于所求出的A′_s要进行判定，以确定A_s的计算方法。

ρ′_min为受压钢筋最小配筋率，可取0.002，则A′_s，min=ρ′_minbh。

2）已知b，h，f_c，f_y，f′_y，M₁，M₂，N，A′_s，求A_s

此种情况即为已知A′_s求A_s，为了利用图表可将式（2.4-11）写成

Ne=α₁α_sbh²₀f_c+A′_sf′_y（h₀-a′_s） （2.4-19）

式中 α_s=ξ（1-0.5ξ）

由式（2.4-19）可得

根据α_s，由下式计算ξ值：

应根据求解出的受压区高度x来确定A_s的计算方法。

设计中出现x＜2a_s′的情况，说明压区高度很小，受压钢筋的应变ε_s′亦很小，σ′_s=ε_s′E_s，达不到屈服强度，所以基本公式已经不适用。此时可对受压筋A′_s取矩（图2.4-11）并近似认为压区混凝土的合力通过A_s′重心。

在已知A_s′求A_s的情况下还可能会出现由式（2.4-20）求出的α_s＞α_s，max=ξ_b（1-0.5ξ_b），这说明A_s′过小，可增大A_s′后重新计算；也可按A_s、A_s′均为未知的情况求A_s′和A_s。

图2.4-11 x＜2a_s′

【例2.4-3】 已知：荷载作用下柱的轴向力设计值N=300kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=189kN·m，截面尺寸b=300mm，h=400mm，a_s=a_s′=40mm，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400，柱计算长度为l_c=5m。

求：钢筋截面面积A_s′及A_s。

解答：求柱弯矩设计值M

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（692+400/2-40）mm=852mm

令ξ=ξ_b

受拉钢筋A_s选用5 22（A_s=1900mm²）；受压钢筋A_s′选用3 14（A_s′=461mm²）。

【例2.4-4】 已知条件同【例2.4-3】，并已知受压钢筋为3 16（HRB400，A′_s=603mm²）。

求：受拉钢筋截面面积A_s。

解答：

实配5 20（A_s=1570mm²）

比较【例2.4-3】和【例2.4-4】可知，当取ξ=ξ_b（x=ξ_bh₀）时求出的总用钢量要少些。

【例2.4-5】 已知矩形截面偏心受压构件，截面尺寸b×h=400mm×600mm，轴向力设计值N=500kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=298kN·m，柱计算长度为l_c=6.5m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，a_s=a_s′=40mm。试求A_s、A_s′。

解答：

求柱弯矩设计值M

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

e=e_i+h/2-a_s=（663.7+600/2-40）mm=923.7mm

令ξ=ξ_b

故按最小配筋率配A_s′=ρ′_minbh=0.002×400×600mm²=480mm²

实配2 18A_s′=509mm＞ρ′_minbh

实配4 20（A_s=1256mm²）

【例2.4-6】 已知一偏心受压构件b×h=300mm×500mm，a_s=a_s′=45mm，轴向力设计值N=300kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=200kN·m，柱计算长度为l_c=4m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，受压钢筋为4 20，试求受拉钢筋面积A_s。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按大偏心受压情况计算。

实配3 22（A_s=1140mm²）

（2）小偏心受压构件截面设计 当e_i≤0.3h₀时可按小偏心受压设计。由于小偏压构件离纵向力较远一侧的钢筋A_s一般不屈服，钢筋的应力σ_s是ξ的函数，当把式（2.4-16）或式（2.4-17）表示的钢筋应力σ_s代入到小偏压承载力计算的基本公式（2.4-14）中去可以看出，小偏压两个基本计算公式中（式（2.4-14），式（2.4-15））含有三个未知量即A_s，A_s′，x（或ξ），因此必须补充一个条件才能求解A_s和A_s′。

补充条件的建立应考虑经济、可靠。因离纵向力较远一侧的钢筋A_s一般情况下不屈服，所以，可取A_s=ρ′_minbh，这种取法当偏心距相对较大（e_i比较接近0.3h₀）是可行的。但是，当轴向力N很大且偏心距很小时，取A_s=ρ′_minbh显然是不安全的，因为由于A_s配置过少，此时，破坏可能始自A_s一侧（压坏）。为了避免这种破坏的发生，《混凝土结构设计规范》规定，当N＞f_cA时，尚应根据图2.4-12所示计算应力图形，按下列公式进行验算：

则

所以对于小偏心受压构件在确定离纵向力较远一侧的钢筋面积A_s时应由两个条件控制即

A_s≥ρ′_minbh

图 2.4-12

a）实际应力图形 b）计算应力图形

且A_s≥由式（2.4-23）确定的面积

当A_s选定后，即可将A_s代入基本式（2.4-14）、式（2.4-15），并取 ，则可得出关于受压区高度x（或ξ）的一元二次方程，经整理可得：

Ax²+Bx+C=0

式中 A=0.5α₁f_cb （2.4-24a）

所以 受压区高度

当x＞h时，取x=h

x确定之后即可由式（2.4-15）求得A_s′

【例2.4-7】 已知：矩形截面偏心受压构件，截面b×h=400mm×600mm，a_s=a′_s=45mm，轴向力设计值N=3100kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=80kN·m，柱计算长度为l_c=7.2m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400。试求钢筋面积A_s、A_s′。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

按小偏心受压情况计算

按最小配筋率配A_s=ρ_minbh=0.002×400×600mm²=480mm²

实配2 18 A_s=509mm＞ρ_minbh

由式（2.4-24），得：

实配3 18（A_s′=763mm²）

（3）偏心受压构件的承载力校核。偏心受压构件，当已知构件截面尺寸、偏心距的大小、构件计算长度、混凝土和钢筋的强度等级、钢筋的截面面积A_s和A_s′，进行承载力校核时，一般情况要先求出受压区高度x，然后计算出N_u，如果γ₀N≤N_u则证明是安全的，否则是不安全的。

1）大偏心受压构件 大偏心受压构件受压区高度x（图2.4-6），可由对纵向压力作用点取矩求得：

所以

当纵向压力作用在A_s、A_s′之间取正号；纵向压力作用在A_s、A_s′之外取负号。

①当2a_s′≤x≤ξ_bh₀时，则可用大偏心受压的基本公式（2.4-10）确定截面的承载力N_u，然后与已知的N比较看其是否安全。

②当x＜2a_s′时，证明受压筋A_s′不屈服，此时，可由式（2.4-22）确定截面承载力，即 。

③当x＞ξ_bh₀时则应按小偏心受压构件进行正截面承载力校核。

2）小偏心受压构件 小偏心受压构件的受压区高度x（图2.4-8），同样也可由对纵向压力作用点取矩求得：

式中，钢筋应力σ_s可采用简化式，以降低方程的次数（如采用精确式则需解x或ξ的三次方程），即取

将σ_s代入式（2.4-26）可得x的一元二次方程，即

A′x²+B′x+C′=0

式中 A′=0.5α₁f_cb （2.4-27a）

将求得的x值（x＞ξ_bh₀）代入式（2.4-27）即可求出钢筋的应力σ_s。

此时截面的承载力为

N_u=α₁f_cbx+A_s′f_y′-A_sσ_s

如果γ₀N≤N_u则是安全的，否则是不安全的。

在偏心受压构件承载力校核时，经常会碰到无法判定究竟属于大偏压还是小偏压的情况。此时可先按大偏压进行承载力校核，当按式（2.4-25）计算的x≤ξ_bh₀时，则证明确实属于大偏压；如果x＞ξ_bh₀时则证明原来假定大偏压是错误的，实际为小偏压，应重新按式（2.4-27）求x，按小偏压进行承载力校核。

承载力校核时，虽然不能直接根据偏心距的大小来判定大、小偏压，但也可以参考。例如当e_i＞0.3h₀时，可先按大偏压进行校核；当e_i＜0.3h₀时可先按小偏压进行校核；但最后还是要根据x值或ξ值的大小来判定大小偏压，偏心距只不过起个参考作用。

3）偏心受压构件垂直于弯矩作用平面的承载力校核 偏心受压构件除进行弯矩作用平面的承载力校核外，还应进行垂直于弯矩作用平面（平面外）的承载力校核。因为偏心受压构件还可能由于柱子长细比较大，在与弯矩作用平面相垂直的平面内发生纵向弯曲而破坏。在这个平面内是没有弯矩的，因此应按轴心受压进行承载力校核，计算时必须考虑稳定系数φ，并且长细比为l₀/b，l₀为平面外的计算长度。

【例2.4-8】 已知：一矩形截面偏心受压构件，截面b×h=500mm×700mm，a_s=a′_s=45mm，混凝土强度等级为C30，钢筋采用HRB400，f_y=360MPa，ξ_b=0.518，A_s为6 25（A_s=2945mm²），A_s′为4 25（A_s′=1964mm²）柱计算长度为l_c=12.25m，轴向力的偏心距e₀=460mm（考虑附加弯矩影响后）。

求：截面所能承受的轴向力设计值N。

解答：

e_a=max（h/30，20）mm=max（700/30，20）mm=23mm

e_i=e₀+e_a=（460+23）mm=483mm＞0.3h₀=196.5mm

N=α₁f_cbx+f_y′A_s′-f_yA_s=14.3×500×331.9+360×1520-360×308=2809（kN）

【例2.4-9】 已知：矩形截面偏心受压构件，截面b×h=250mm×550mm，a_s=a′_s=45mm，构件计算长度l_c=4.5m，混凝土为C30，钢筋采用HRB400，ξ_b=0.518，受压钢筋为4 22（A_s′=1520mm²），受拉钢筋为2 14（A_s=308mm²），承受偏心距e₀=50mm（考虑附加弯矩影响后）的设计偏心压力N=1500kN，试校核承载力是否满足要求。

解答：

①求受压区高度x

e_a=max（h/30，20）mm=max（550/30，20）mm=20mm

e_i=e₀+e_a=（50+20）mm=70mm＜0.3h₀=151.5mm

故此时可先按小偏心受压进行承载力计算（如此时用大偏心受压承载力校核式（2.4-25）求x，则可得x＞ξ_b，同样可以得出属于小偏心受压的结论）。

舍去一根，取x=488mm＞ξ_bh₀=0.518×505mm=261.6mm

故按小偏心受压进行承载力校核。

②求σ_s

③计算N_u

N_u=α₁f_cbx+f_y′A_s′-σ_sA_s=14.3×250×488+360×1520+8×308=2294（kN）＞N

④垂直于弯矩平面的承载力校核

l₀/b=4.5/0.25=18，查表2.4.1得φ=0.81

N_u=0.9φ（Af_c+A_s′f_y′+A_sf_y′）=0.9×0.81×（250×550×14.3+1520×360+308×360）kN

=1913kN＜N

⑤结论 N=1500kN＜N_u=1913kN，满足承载力要求。

4.对称配筋矩形、Ⅰ形截面偏心受压构件承载力计算

对称配筋的偏心受压构件。其受力性能大体上与非对称配筋基本相同，但由于附加了一个补充条件即A_s=A_s′，使具体计算略有差别。

（1）矩形截面对称配筋

1）大、小偏压的分界（ξ=ξ_b） 对称配筋因A_s=A_s′，当发生界限破坏时，受拉钢筋A_s先屈服，可取f_y=f_y′，由式（2.4-10）可得：

N_b=α₁f_cbh₀ξ_b （2.4-28）

所以对称配筋的判别条件为：

N＞N_b 为小偏压破坏

N≤N_b 为大偏压破坏（含界限破坏）

或者根据相对受压区高度ξ来判别，即

2）大偏心受压构件（ξ≤ξ_b） 由基本公式（2.4-10）得：

当 时，

Ne≤α₁f_cbh²₀ξ（1-0.5ξ）+A_s′f_y′（h₀-a_s′）

故得

当 时，

Ne′≤A_sf_y（h₀-a_s′）

故得

3）小偏心受压构件（ξ＞ξ_b） 由基本公式（2.4-14）得：

所以

又由力矩的平衡方程式得：

即

上式为ξ的三次方程，直接求解很繁琐。

《混凝土结构设计规范》给出了简化方法，小偏心受压时ξ的常用范围为ξ=0.6～1.0，近似取ξ（1-0.5ξ）≈0.43

这样把ξ的三次方程降为ξ的一次方程，经整理后得：

当ξ值求出后仍可利用式（2.4-30）求A_s=A_s′，即

应该指出，《混凝土结构设计规范》给出的ξ值近似表达式（2.4-31）可以使小偏压设计得到简化，并在一定范围内精确解和近似解的误差不大，但在某些条件下，近似解与精确解相差较大，有时偏于不安全，有时造成浪费。其主要原因是配筋量的误差不仅与ξ（1-0.5ξ）值的误差有关，还与荷载的组合情况有关。

矩形截面偏心受压构件对称配筋的计算步骤，可以用程序框图2.4-13表示。

【例2.4-10】 一偏心受压柱，截面尺寸b×h=400mm×600mm，a_s=a′_s=45mm，计算长度l_c=5.4m，轴向力设计值N=1200kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=±420kN·m，混凝土采用C30，钢筋采用HRB400，试进行截面的配筋设计。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

图2.4-13 矩形截面偏心受压构件对称配筋计算框图

按大偏心受压情况计算

【例2.4-11】 已知条件同【例2.4-10】，承受设计内力组合为M₁=M₂=±420kN·m；N=2000kN，试进行配筋设计。

解答：

由于M₁/M₂=1，则需要考虑附加弯矩影响。

应按小偏心受压计算，需重新计算ξ。

每侧实配5 20（A_s=A_s′=1570mm²）

每侧实配4 25（A_s=A_s′=1964mm²）

（2）Ⅰ形截面对称配筋

1）大偏心受压 大偏心受压时A_s和A_s′都可屈服，因采用对称配筋，故A_sf_y=A_s′f_y′，基本计算公式可由力和力矩的平衡得出，分如下两种情况：

①当x＞h_f′时，则应考虑腹板的受压作用，见图2.4-14a。按下列公式计算。

②当x≤h_f′时，则按宽度b_f′的矩形截面计算，见图2.4-14b。

式中 b_f′——Ⅰ字形截面受压区翼缘宽度；

h_f′——Ⅰ字形截面受压区翼缘高度。

基本公式的适用条件如下：

为了保证上述计算公式中的受拉钢筋A_s及受压钢筋A_s′能达到屈服强度，要满足下列条件：

x≤x_b及x≥2a_s′

式中 x_b——界限破坏时，受压区计算高度。

在进行截面配筋设计时，可将Ⅰ形截面假想为宽度是b_f′的矩形截面，由式（2.4-34）得：

图2.4-14 Ⅰ形截面大偏压计算图形（A_s=A_s′）

按x值的不同可分为三种情况：

①当2a_s′≤x≤h_f′时，证明中和轴在翼缘内。此时，可以按b_f′×h的矩形计算，即由式（2.4-34）及式（2.4-35）求得钢筋面积。

②当x＜2a_s′时，证明A_s′不屈服，则如同双筋受弯构件一样，对A_s′取矩，并近似取x=2a_s′，用下式计算：

式中 e′=e_i-h/2+a_s′

③当x＞h_f′时，证明中和轴进入腹板，此时应按式（2.4-32）重新计算x， 代入式（2.4-33）求钢筋面积。

2）小偏心受压 由于偏心距的大小和配筋数量的不同，中和轴可能位于腹板内，或位于受压应力较小一侧的翼缘内。

①中和轴位于腹板（x≤h-h_f）（图2.4-15a），这时的基本公式为

N≤α₁f_cbx+α₁f_c（b_f′-b）h_f′+f_y′A_s′-σ_sA_s （2.4-36）

式中，σ_s由式（2.4-17）计算。

图2.4-15 Ⅰ形截面小偏心受压

②中和轴在翼缘中（x＞h-h_f）

这时受压应力较小一侧的翼缘中（图2.4-15b），有一厚度为h_f+x-h的区域亦为受压，这时基本公式为

上式中σ_s值仍按式（2.4-17）计算。当x＞h，计算承载力N值时，取x=h。

对于Ⅰ形截面对称配筋小偏心受压构件，当采用比较精确的配筋计算方法时，仍不可避免地要解ξ（或x）的三次方程，计算比较繁琐。故当x＜h-h_f时也可以采用与矩形截面小偏心受压构件类似的简化方法进行配筋计算。

这时可将受压翼缘所能承受的轴向压力和弯矩从设计内力中扣去，剩下的轴力N′和弯矩（Ne）′由对称配筋的矩形腹板来承受，即令

将N′和（Ne）′代入矩形截面的简化计算公式来计算钢筋用量，其计算公式为

【例2.4-12】 一钢筋混凝土柱，其截面形状为I字形，具体尺寸见图2.4-16，a_s=a_s′=45mm，η_ns=1.0，混凝土采用C30，钢筋为HRB400，ξ_b=0.518，采用对称配筋，承受轴向力设计值N=1200kN，柱两端弯矩设计值M₁=M₂=400kN·m。试求：所需钢筋截面面积A_s和A_s′。

解答：

判大小偏心受压先按矩形截面积少受压区高度x

说明中和轴进入腹板，按T形截面计算

，属于大偏心受压。

图 2.4-16

受拉和受压钢筋配筋率

【例2.4-13】 一工字形截面排架柱，其条件和上例相同，P-Δ效应增大系数η_s=1.3，轴向压力设计值N=1500kN，一阶弹性分析柱端弯矩设计值M₀=300kN·m，采用对称配筋。试求：A_s和A_s′。

解答：

判断大小偏心受压，先按矩形截面积求受压区高度x

说明中和轴进入腹板，按T形截面计算

属于小偏心受压

根据式（2.4-40）

带入式（2.4-41），得：

受拉和受压钢筋配筋率

符合要求。

5.偏心受压构件截面承载能力N与M的关系图

偏心受压构件在不同荷载作用下，同一截面将会遇到不同的内力M和N的组合，有的组合使截面发生大偏心破坏，有的组合又会使截面发生小偏心破坏。因此在理论上常需考虑下列组合作为最不利内力组合：

（1）±M_max及相应的N。

（2）N_max及相应的±M。

（3）N_min及相应的±M。

但这样的内力组合将使截面设计计算十分繁杂，若在计算前就能判断哪一种内力组合最危险，则计算工作量就可大为减少。下面就判断方法进行讨论。

同一截面，当配筋为已知时，纵向力的偏心距e_i不同，将会得到不同的破坏纵向力N，也就是说截面将在不同的N与Ne_i的组合下发生破坏，即在N和（M+M_a）的组合下破坏，其中M_a为由附加偏心距e_a所产生的弯矩，也可称为附加弯矩，M_a=Ne_a。

对于矩形截面对称配筋偏心受压构件可以分为下面两种情况：

（1）对大偏心受压构件 根据式（2.4-10）及式（2.4-11）得：

用无量纲形式表示，为

取

则得

式（2.4-42）的适用条件为

根据式（2.4-42）及式（2.4-43），取纵坐标为N，横坐标为M。则N与M为抛物线关系，对于不同的混凝土强度等级、钢筋级别和 ，就可绘制出相应的曲线图，如图2.4-17中BC所示。

当x≤2a_s′时，假定受压混凝土合力重心通过受压钢筋重心，对A_s′重心取矩可得：

所以

同样用无量纲形式表示，为

上式中的适用条件

按式（2.4-44）， 与 的关系为直线段，如图2.4-17中DC所示。

（2）对小偏心受压构件 根据式（2.4-15）可得

用无量纲形式表示，为

即

上式中ξ值可根据式（2.4-31）求得。这样，则可根据式（2.4-31）及式（2.4-46）绘制曲线，如图2.4-17中的AB所示。

设计中，我们只要根据不同的混凝土强度等级、不同的钢种及不同的 ，绘制出一系列的图表供设计人员使用，就能极为方便地简化设计。

利用 、 关系图进行小偏心受压构件对称配筋设计的步骤是：

①先求出e_a，η_ns，M，e₀，e_i值

②求

③由图2.4-17求出ρ′=ρ

④计算A_s′=A_s=ρ′bh₀

利用图2.4-17不但可以进行配筋设计，并且可以清楚地看出在不同的 、 的组合下构件的破坏形态。有如下规律：

1）当 、 的组合在ξ_b上方时，破坏形态为小偏心受压破坏，如图2.4-17中1、2、3点；当 、 的组合在ξ_b下方时，破坏形态为大偏心受压破坏，如4、5、6点；当 、 的组合落在N=ξ_b的水平虚线上，则为大小偏压的分界，即界限破坏。

2）小偏心受压构件在 相同时，如图

2.4-17中1、3点所示，N越大，配筋量越大，也可说 越大越危险。

3）大偏心受压构件 相同时， 越大，配筋量越小，如图2.4-17中4、6点所示，也可说 越大越安全。

4）无论大、小偏压，在N相同时，M越大，配筋量越大，如图2.4-17中1、2和4、5所示。

图 2.4-17

2.4.4 双向偏心受压构件正截面承载力计算

在实际工程中有时作用于柱上的纵向力同时沿截面的两个主轴方向上有偏心（e_ix，e_iy），或构件同时承受轴心压力及两个方向的弯矩（N，M_x，M_y）时，这种构件称为双向偏心受压构件。图2.4-18所示为双向偏心受压构件，纵向钢筋一般沿截面四周布置。

双向偏心受压构件的正截面在双向偏心压力N作用下，中和轴是倾斜的，与y轴有一个φ的夹角。由于纵向力以及偏心距的大小不同，其受压面积可能呈三角形、四边形或五边形（图2.4-19）。

图2.4-18 双向偏心受压示意图

图2.4-19 双向偏心受压构件的受压区形状

《混凝土结构设计规范》采用近似方法计算双向偏心受压构件，对截面具有两个互相垂直的对称轴的双向偏心受压构件，设计时，可根据荷载大小、偏心情况参考以往的设计经验，先拟定构件的截面尺寸和钢筋布置方案，然后按下式复核构件所能承受的纵向力：

式中 N_u0——构件的截面轴心受压承载力设计值，按全部纵筋计算，但不考虑稳定系数φ及系数0.9；

N_ux——轴向力作用于x轴，并考虑相应的计算偏心距e_ix后，按全部纵向钢筋计算的构件偏心受压承载力设计值，e_ix用式（2.4-13）计算；

N_uy——轴向力作用于y轴，并考虑相应的计算偏心距e_iy后，按全部纵向钢筋计算的构件偏心受压承载力设计值，e_iy用式（2.4-13）计算。

按式（2.4-47）进行承载力验算，关键是要求出N_ux和N_uy。对于沿周边布置钢筋的单向偏心受压构件的承载力计算仍需根据平截面假定计算钢筋的应力。对于不同位置的钢筋可近似用下式计算应力：

且应符合-f_y′≤σ_si≤f_y

沿周边配置钢筋的单向偏心受压构件正截面承载力的基本公式为由力的平衡条件得：

对截面几何中心取矩得：

式中h_0i为钢筋重心至混凝土受压边缘的距离，取法如图2.4-20所示。

图 2.4-20

在应用上式确定其承载力时应特别注意σ_si的正负号，拉应力为“+”，压应力为“-”。