第二篇 基本技能训练实验
实验1 用扭摆法测量刚体的转动惯量
【实验目的】
①掌握基本测量工具（游标卡尺、米尺、螺旋测微器、电子秤等）的用法；
②观察刚体的定轴摆动，学习用累积放大法测量摆动周期；
③学习用复合体测定扭摆弹簧的扭转常数；
④学习用扭摆法测量刚体的转动惯量，并与理论值进行比较；
⑤验证刚体定轴转动的平行轴定理。
【实验仪器】
扭摆装置，数字式定数计时器，电子秤（MP12001型），游标卡尺，钢卷尺，塑料圆柱体，塑料实心球体，金属圆筒，金属细长杆，两个可以套在杆上移动的金属滑块（即金属厚壁圆筒），金属载物盘。
【实验原理】
1.刚体及其转动惯量
（1）刚体
如果物体在运动过程中的形变较小，以致可以忽略，则该物体可视为不发生形变的刚体。
（2）定轴转动定律与转动惯量
刚体中所有质元绕同一固定轴转动的运动，称为定轴转动。刚体定轴转动的动力学方程为
M=Jβ （1.1）
式（1.1）即为刚体定轴转动定律。式中M为刚体所受的合外力矩，β是刚体绕定轴的转动角加速度，J称为刚体绕定轴转动的转动惯量。对比定轴转动定律和质点运动定律F=ma，可以看出：转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度，是表明刚体自身特性的一个物理量。
刚体定轴转动惯量与刚体的质量、质量的分布及转轴的位置有关，其定量关系式是
（1.2）
式中，r是质元dm到转轴的距离。对于一部分质量分布均匀、形状规则的刚体，可根据式（1.2）计算出该刚体定轴转动惯量理论值，见表1.1。
表1.1 几种常见刚体的转动惯量
图1.1 扭摆装置示意图
（3）平行轴定理
有两根平行转轴，相距为d，其中一轴经过某刚体的质心，称为质心轴。若刚体对质心轴的转动惯量为Jc，则刚体对另一转轴的转动惯量为
Jd=Jc+md2 （1.3）
式中，m为刚体的总质量。
2.扭摆法测转动惯量
对于质量均匀分布、形状规则的刚体，可以用式（1.2）进行积分运算求得其转动惯量，但对一些形状不规则或质量不均匀分布的刚体，通常采用实验方法来测定。扭摆法是利用弹性恢复力矩使刚体进行摆动的测量方法，实验装置如图1.1所示。
图1.1 扭摆装置示意图
（1）扭摆
图1.1中1为扭摆的转轴，测量时，待测物体被固定在该轴上。在转轴与支架之间装有一个薄片螺旋弹簧，用以产生恢复力矩。底座4上其中两个脚配有高度调节螺钉，用来调节支架水平（转轴垂直），由气泡水平仪5监测调节。
测量时，将固联在转轴上的待测物体在水平面内转过一个角度θ，此时，弹簧产生恢复力矩M。按照胡克定律，在弹性限度内，弹簧的恢复力矩M与刚体转过的角度（角位移）成正比，即
M=-Kθ （1.4）
式中，系数K为弹簧的扭转常数。由式（1.1）和式（1.4）可得
（1.5）
式（1.5）表明在弹性恢复力矩M的作用下，角加速度与角位移成正比。
而
（1.6）
由式（1.5）和式（1.6）得到
（1.7）
令 
（1.8）
则有 
（1.9）
可见，刚体绕转轴的往复摆动为简谐运动。ω为简谐运动的固有频率，摆动的周期T为
（1.10a）
由式（1.10a）可知，如果扭转常数K已知，则只要在实验中测得刚体的摆动周期T，即可求出转动惯量的测量值
（1.10b）
以上的讨论中，我们忽略了转动时受到的摩擦力矩和空气阻力矩，所以认为扭摆作简谐运动，K是常数，摆动周期与转角无关[见（1.10a）式]。由于摩擦力矩和空气阻力矩总不可能完全消除，所以实验中弹簧的扭转常数K与扭摆角度变化的范围有关。实验表明，仅当转角在40°～90°之间时，K的值才基本相同，可以视为常数。
本实验首先需要求出K的计算公式。
由式（1.10a），有
（1.10c）
当待测载物盘的转动周期为T0，转动惯量为J0，有
将载物盘与规则刚体（圆柱体）组成复合刚体，其转动周期为T1，转动惯量为J0+J1（J1是圆柱体的转动惯量），则有
（1.10d）
将以上二式相减，即得到扭转常数
（1.11）
式中，
，T1和T0以实验测得的值代入，即可求出K。
（2）周期的测量
本实验采用数字式定数计时器，用累积放大法测量摆动周期。定数计时器包括主机和光电探头两部分。如图1.2所示，光电探头是一个装有一个红外发射管和一个红外接收管的小框，两只红外管分别装在框的上下两个框边上，并且上、下对齐。小框通过一根支柱被固定在底座上，支柱高度可调。
图1.2 光电探头示意图
通电后，主机接收到直流稳定的光电信号，处于待机状态。当有遮挡物（如一根细杆），从两个红外管中间通过时，电路中将出现一个脉冲信号，主机便计数一次，很显然，当遮挡物处于周期摆动状态时，仪器的相邻两次计数之间的时间间隔为半个周期。因此，脉冲计数n和摆动周期数N之间的关系为
（1.12）
如果仪器一次工作记下摆动n次所用的时间为t，便可以求得摆动周期
（1.13）
实际工作时，仪器的计数统计工作是在内部自动进行的，仪器显示的是相应于一定摆动周期数的时间。所以在使用时，先在主机上设定所要求测量的周期数N（比如10个），然后按下“复位”按钮，使数字显示为“0000”，再使刚体摆动，固定在刚体上的挡光杆来回穿过小框，仪器自动计数，并按式（1.12）进行统计。一旦达到计数要求n（如21个），仪器自动停止工作，并在数字表上显示相应的时间t，从而可以求得摆动周期T=t/N。
【实验内容】
①测量各个刚体的质量和几何尺寸，记录数据于表1.2中。
表1.2 刚体定轴转动惯量的理论值
②调节扭摆装置，使其转动平面处于水平状态（即使转轴处于铅直状态）。方法：通过调节底座上的高低螺钉，使气泡水平仪的气泡位于小窗的中央。
③打开定数计时器的电源开关，用纸片挡光的方法检查计时器是否开始计时，以及达到预定计数次数时，计时器是否停止计时。
④用复合体测扭摆常数K，记录数据于表1.3中。
表1.3 刚体定轴转动惯量的实验值
a.将载物盘安装在扭摆转轴上并锁紧，调整光电探头的位置，使其处于挡光杆的平衡位置处，并使杆位于框的空隙中央，既能遮住发射、接收红外线的小孔，又不会与框边接触。
b.对计时器主机设定周期数为N=10，并按复位按钮，使显示数字为“0000”。
c.使载物盘扭转一个角度θ（40°<θ<90°），保证载物盘周期摆动，测出载物盘的摆动周期T0。重复测量3次。
d.将塑料圆柱体放在载物盘上，并使其几何柱轴与转轴重合，构成“复合体”，重复c的操作，测出复合体的摆动周期T1。重复测量3次。
e.用金属圆筒替换塑料圆柱，测定“金属圆筒+载物盘”复合体的摆动周期T2。记录数据于表1.3中。
f.取下载物盘，依次将球体和金属细杆（杆的中心必须与扭摆转轴重合）安装在扭摆转轴上并锁紧，测定球体和细杆的摆动周期T3和T4。重复测量3次，记录数据于表1.3中。
g.验证平行轴定理（Jd=Jc+md2）。
将两个滑块对称地固定在杆两边的凹槽内，凹槽中点（即滑块质心）离转轴的距离d分别为5.00cm、10.00cm、15.00cm和20.00cm，测定摆动周期，记录数据于表1.4中。
表1.4 平行轴定理验证
m滑=m滑1+m滑2=____________（g），JC=2J5+J4=____________（kg·m2）
【数据处理】
（1）参照表1.1的理论公式，计算几种刚体的转动惯量理论值，完成表1.2
（2）求扭转常数K
由式（1.11）求出扭转常数
式中，圆柱转动惯量理论值
的值见表1.2；
和
的值见表1.3。
（3）计算几种刚体的转动惯量的实验值，完成表1.3
记
，则有 
由式（1.10），可得复合体的转动惯量
式中，
为复合体的摆动周期，J＇是待测刚体的转动惯量实验值
（4）验证平行轴定理，完成表1.4
【注意事项】
①实验中，注意保证扭摆的转角介于40°～90°。
②刚体与转轴要固联，无松动。
③正确使用游标卡尺。实验所用卡尺的分度为0.02mm。
④做验证平行轴定理实验时，滑块应该安装到位，保证刚体系统共轴转动。
【思考题】
①实验要求扭摆的转角介于40°～90°，为什么？转角太小或太大会有什么影响？
②实验中扭摆弹簧的扭转常数如何测得？
③刚体的摆动周期是否会随摆幅的减小而变化？
④物体的质心轴和扭摆的载物转轴不重合对测量结果有什么影响？为什么？
⑤验证平行轴定理时，为什么不用一个滑块而要用两个滑块对称放置？