第一篇　实验基础理论

一、有效数字及其基本知识

1.有效数字的概念

物理实验中取得的结果中能够正确、有效地反映被测量物理量大小的所有数字称为有效数字，它由若干位准确数字和最后一位可疑数字组成。即有效数字从性质上分类为准确数字和可疑数字：前者从仪器上准确读取，是确定的；后者则是估读的，是不确定的、有疑问的，它只保留一位。

构成测量结果的所有有效数字的个数称为有效数位。有效数位取决于两个方面，即被测量物理量的大小和测量工具的精度。用同样的测量工具测量不同的物理量，其有效数字个数不同，例如，用同一米尺测量书本的长度为22.50cm，测量银行卡的长度为8.56cm，前者结果比后者多一个有效数字，这反映了被测量值大小的不同。而用不同的测量工具测量同一物理量，其有效数字个数也不同，例如，用米尺和游标卡尺测量同一长度，米尺测量结果为25.5mm，而游标卡尺测量结果为25.52mm，游标卡尺测量结果的有效数字个数要多一个，它反映了测量仪器的精度。有效数字要反映被测量值的大小和测量工具的精度，是不能随意取舍的。

注意：实验中我们记录和运算得到的结果必须满足有效数字的要求，不能随意取舍，需根据仪器精度或相应的规则得到。

2.有效数字的运算法则

在进行数据运算时，可能涉及多个分量，涉及的运算也多种多样，加减法、乘除法、乘方、开方等，计算中会导致出现很多位数，甚至出现无限多的情况。我们不可能全部记下来，这样的工作既繁琐也无实际意义，因此我们必须掌握恰当的数字的保留方法。我们保留得到的结果应满足有效数字构成的规则，即只有一位可疑数字，而无需保留太多。

有效数字运算的基本原则是：准确数字与可疑数字运算得可疑数字。显然两可疑数字相互运算仍是可疑数字，两准确数字运算仍为准确数字。

（1）加减运算

要求运算结果的可疑数字的位置与参加运算的数中可疑数字位置最靠前的位置保持一致。例如

上述两个例题结果的可疑数字位置都是与参加运算的最高位可疑数字对齐。运算时可对参加运算的数进行修约，可比最高的可疑位多保留一位，运算后再保留到需要的位置上。

（2）乘除运算

要求结果的有效数字的个数与参加运算的数中有效数字个数最少的保持一致。例如

22.33×12.3=275

105.5÷2.8=38

该法则可以通过竖式演算，利用有效数字的构成原则和基本运算原则得到。

（3）乘方、立方、开方运算

乘方、立方、开方运算法则与乘除运算规则相同，乘方和开方运算的有效数字的位数应与低的有效数字位数保持一致。

（4）运算中的系数和常量的处理

运算中我们经常会遇到系数或常量等问题，例如：三角形面积计算公式中的1/2、圆锥体体积公式中1/3、圆面积计算中的π、电子电量e等问题，它们的位数可能有无限多。实际处理中，这些量参与运算，但不涉及结果的有效数字个数的确定，运算时它们的有效数字位数可适当多取一位。当然，我们必须准确判断所处理的是否为系数或常量，若不是，则不能这样处理。

（5）其他运算

①对数运算　例如：lgx，当x=10.5时，lgx=1.021，结果小数点前的称为首数，不算有效数字，小数点后有效数字个数与x的有效数字个数相同。

②自然对数　例如：lnx，当x=10.5时，lnx=2.351，结果小数点前的称为首数，不算有效数字，小数点后有效数字个数与x的有效数字个数相同。

③指数函数　例如：e^x，当x=2.55时，e^x=12.81，结果小数点后的有效数字个数与x小数点后的有效数字个数一致。

④正、余弦函数　sinx、cosx，当角度的误差为1＇时，函数值取小数点后4位；角度误差为1°时，函数值取小数点后3位。

3.应用科学记数法和单位变换时，注意保证有效数字的位数不能改变，后面的零不能随意取舍，否则将改变有效数位

例如：

13.00cm=1.300×10^-2m=1.300×10²mm=1.300×10⁵μm

4.有效数字的舍、入规则

对于运算结果按照有效数字要求进行取舍保留时，如果按照近似运算中常用的4舍5入的法则，所有的5都进行了进位处理，这将导致运算过程中的系统误差。为此，应当采用较为科学的方法，即“四舍六入、五的前位配偶数”的法则，使5的舍入机会各占一半，以减小运算过程中的系统误差。此方法也称为“四舍六入五凑偶”。例如，5在末尾

22.35→22.4　　22.25→22.2

15.375→15.38　　15.385→15.38

但是对于需要舍、入的5的后面还有非零数字，那么5仍然需要进位处理；5后面若是零，则按上述“四舍六入五凑偶”法则处理。例如

22.254→22.3　　22.2501→22.3　　22.250→22.2　　22.350→22.4

使用该法则时注意判断5的前后情况，综合考虑，不能一概而论。