4.6　超微滤膜系统模型

超微滤组件及系统的数学模型，是进行其运行模拟分析的基础。对于组件的内部分析，应采用微分方程模型。微分方程模型的分析可根据膜过程中存在的质量、动量及热量传递过程，即存在流量、压力及功率的平衡关系，以及膜两侧压差产生的透水特性。对于超微滤系统设计，可采用超微滤组件的离散数学模型并计及管路损耗因素。

4.6.1　膜组件微分方程模型

建立中空膜元件的数学模型较为困难，这里用平板膜元件的数学模型加以替代。

（1）平板膜元件的结构模型

平板膜元件由平膜及膜壳两部分组成，可表征为图4.18所示立式膜元件的进浓水区与产水区构成的矩形理想结构。理想元件的高L［m］、宽B［m］、进水流道长H［m］、产水流道长H″［m］等均设为常量，且忽略膜厚度。在图4.4所示进水（也称给水）与产水（也称净水）同流向的运行模式中，进水的进口压力P1［Pa］高于浓水的出口压力P2［Pa］与产水的出口压力P3［Pa］，且进水流量Q1、浓水流量Q2及产水流量Q3之间存在式（4.3）的简单关系：

Q1=Q2+Q3［m3/s］　　（4.3）

理想元件结构中，流程高度l［m］处至l+Δl处的进产水区的矩形空间称为“元件微元”，其中Δl为微元高度。进水区流程高度l处的压力与流量分别为p（l）［Pa］与q（l）［m3/s］，产水区流程高度l处的压力与流量分别为p″（l）［Pa］与q″（l）［m3/s］，“元件微元”的膜面上存在一个垂直于膜面的透膜产水线通量θ（l）［m2/s］。这里，θ（l）表征流程高度l处“元件微元”中产出产水流量与微元高度Δl的比值。

理想结构中超微滤膜元件的径流形态属于与膜表面呈切向的黏性流及与膜表面呈垂向的渗透流两者的合成流。

（2）理想结构中的量值关系

根据导数的定义，存在关系式：，根据积分的定义，存在关系式：。膜元件径流中质量、动量及热量的守恒定律分别表现为流量、压力及功率的等式关系。

①元件微元中径流的质量守恒　元件微元进浓水区中进水径流的质量守恒即流量平衡表现为该区的进水侧切向流量q（l）等于浓水侧切向流量q（l+Δl）与膜表面垂向流量θ（l）·Δl之和：q（l）=q（l+Δl）+θ（l）·Δl。该函数关系的微分形式为

　　 （4.4） 　　

类似的，可得元件微元产水区径流中质量守恒即流量平衡的微分方程关系式

　　 （4.5） 　　

②元件微元中径流的动量守恒　元件微元进浓水区中径流的动量守恒即压力平衡表现为该区的进水侧压力p（l）等于浓水侧压力p（l+Δl）、该区微元内水体重力ρgΔl与元件微元中压力损失Kq2（l）Δl之和：

p（l）=p（l+Δl）+ρgΔl+K·q2（l）·Δl

式中，ρ为水体密度，kg/m3；g为重力加速度，m/s2；K为进水流道的压力损失系数，Pa·s2/m7。

该函数关系的微分形式为

　　 （4.6） 　　

类似的，可得元件微元产水区径流中动量守恒即压力平衡的微分方程关系，这里的K″为产水流道的压力损失系数［Pa·s2/m7］。

　　 （4.7） 　　

③膜元件中径流的热量守恒

因为Δp=p（l）-p（l+Δl）=ρgΔl+K·q2（l）·Δl，所以元件进水径流中切向流的功率损耗可表示为

同理，膜元件产水径流中切向流的功率损耗可表示为

膜元件透水径流的功率损耗可表示为

因此，膜元件中各项径流的热量守恒关系应表示为输入功率等于输出功率加损耗功率

　　 即

　　　 （4.8）

④膜微元中的压力驱动特性　超微滤膜特性中除共有的传递特性之外，还有压力驱动过程的专有特性即透水线通量与膜两侧水体压差呈正比，且比值为超微滤膜元件固有的透水系数A［m2/s·Pa］。

θ（l）=A［p（l）-p″（l）］　　［m2/s］　　（4.9）

超微滤膜元件中除上述的传递特性及驱动特性外，还存在以下两个关系。

⑤元件透水线通量与元件总产水流量的关系　膜元件中，膜微元产水线通量与元件总产水流量间存在一个积分关系

　　 （4.10） 　　

⑥进水与产水流道两压力损失系数的关系　进水流道与产水流道中的压力损失系数K=k/（HB）2及K″=k″/（H″B）2，其中k、k″［Pa·s2/m3］分别为可测得进水流道与产水流道沿程阻力系数，两阻力系数之比为β=k/k″，且有

　　 （4.11） 　　

因此，进水流道的压力损失系数K与产水流道的压力损失系数K″的比值决定于两流道截面积的差异及两流道沿程阻力系数的比值。

（3）微分方程解的充要性与唯一性

上述超微滤膜元件中量值关系的分析，共列出相互独立的式（4.4）～式（4.11）8个方程，且有K、K″及A等3个待求系数及p、p″、q、q″、θ等5个待求变量，共计8个待求变量。变量数量与方程数量相等，满足方程有解的充要条件。

由于方程中存在dp/dl、dp″/dl、dq/dl、dq″/dl等4个导数关系，故上述方程解仅为通解，欲得特解尚需4个独立的边界条件。

在膜元件P1、Q1、P2、Q2、P3、Q3的6个可测端口参数中，Q3由式（4.10）限定，Q2由式（4.3）限定，故有且仅有以下4个可测的边界条件相互独立

p（0）=P1；p（L）=P2；p″（L）=P3；Q1=q（0）　　（4.12）

综上所述，立式超微滤膜元件模型分析中，变量的数量与独立方程的数量一致，导数的数量与独立边界的数量一致，因此式（4.4）～式（4.11）式构成的运行模型方程组具有唯一解。该唯一解不仅可以得出沿流程高度l的压力分布p（l）、p″（l）与流量分布q（l）、q″（l）以及渗流线通量分布θ（l），特别是可以得出表征膜元件固有性能的K、K″及A三个重要参数。

（4）超微滤膜元件分析的扩展与应用

根据图4.18所示立式超微滤膜元件理想结构，可以得到的表征膜元件固有性能的K、K″及A三参数，可以分别模拟并综合比较进水径流Q1向上或向下且产水径流Q3向上或向下四种运行模式条件下的膜元件运行指标，从而得到产水线通量θ（l）最均衡或元件产水效率最高的立式膜元件最佳运行模式。

运用K、K″及A三参数，并删去重力作用ρgΔl的相关函数项，则可得到卧式超微滤膜元件进水径流Q1与产水径流Q3同向或反向两种运行模式条件下的膜元件运行指标，从而得到产水线通量θ（l）最均衡或元件产水效率最高的卧式膜元件最佳运行模式。

适度改变给浓水区长度H及阻力系数k与产水区长度H″及阻力系数k″，还可以模拟并分析超微滤膜元件中膜丝长度与填充密度对于运行指标的影响。

4.6.2　膜组件离散数学模型

超微滤膜组件j的运行规律可简化为跨膜压差TMPj决定产水流量Qj：

Qpj=k×TMPj=k×［（Pfj+Pcj）/2-Ppj］　　（4.13）

式中，Pfj为组件j的进水压力；Pcj为组件j的浓水压力；Ppj为组件j的产水压力；k为各组件相同的已知透水系数。

当组件为全流运行方式时，给浓水压降ΔPfcj为产水流量Qj的函数：ΔPfcj=f（Qpj），因此，式（4.13）可表征为：

Qpj=k×TMPj=k×［（2Pfj-ΔPfcj）/2-Ppj］=k×［（2Pfj-f（Qpj）/2-Ppj］　　（j=1，2，…，N）　　（4.14）

这里的式（4.14）为Qj的隐式方程，可用迭代计算方法加以求解。

由于各超微滤组件并联运行，在忽略各管压降时，可视该式（4.14）为各膜组件共同的运行数学模型。届时，图4.19所示N个组件并联形成系统的总产水流量QP0为各组件产水量之和，系统的总给水流量Qf0为各组件给水量之和：

　　 （4.15） 　　

4.6.3　膜系统运行数学模型

（1）管路中的相关水头损失

由于超微滤组件的工作压力较低，管路中的水头损失不可忽略，因此需要计及给水、浓水及产水的母管与支管管路的局部与沿程水头损失h（m）。

①三通局部水头损失　分流三通中的弯路局部水头损失h31与直路局部水头损失h32分别为：

　　 （4.16） 　　

合流三通中的弯路局部水头损失h13与直路局部水头损失h23分别为：

　　 （4.17） 　　

其中，ζ31与ζ32为分流局部水头损失系数；ζ13与ζ23为合流局部水头损失系数；v3为分路或合路流速；Q3为分路或合路流量；D为管路直径。如图4.20所示，局部损失系数的取值随流量比Q1/Q3而变化。

②扩缩径局部水头损失　母管直径D至支管直径d的缩径局部水头损失

　　 （4.18） 　　

支管直径d至母管直径D的扩径局部水头损失

　　 （4.19） 　　

③管路沿程水头损失　管道中的母管与支管沿程水头损失分别为

　　 （4.20） 　　

其中，λ为沿程阻力系数，L为两组件间距度，l为组件支管长度。

　　 （4.21） 　　

　　 （4.22） 　　

（2）系统中的相关水头损失

系统中给水的母管与支管直径分别为D与d时，根据流体力学中的伯努利方程，各组件给水压力具有多项水头损失，这里N为组件总数。

①系统给水母管入口流速与第j支组件给水入口流速的差异产生的流速水头损失hfj，对应的流量分别为与Qf0与Qfj。

②从系统给水母管入口沿流程至第j支组件给水口存在j个母管沿程水头损失（第1支组件至第j支组件），每个沿程水头损失对应的母管流量为（第j支组件至第N支组件的给水流量之和）。

③从系统给水母管入口沿流程至第j支组件给水口存在j-1个三通直路局部水头损失（第1支组件至第j-1支组件），对应的母管流量项为（第k支组件至第N支组件的给水流量之和）。

④第j支组件给水口存在1个三通弯路的局部水头损失h31j，对应流量为。

⑤系统给水母管与第j支组件给水支管处存在的缩径局部损失hDd，对应流量为Qfj。

⑥第j支组件给水管路中存在沿程水头损失hd，对应流量为Qfj。

因此，从给水母管入口压力Pf0至组件j给水入口压力Pfj之间，存在水头损失hfj

　　 （4.23） 　　

相仿，从组件j产水出口压力Ppj至产水母管出口压力Pp0之间，存在水头损失hpj

　　 （4.24） 　　

这里，设给水径流与产水径流为相同方向，给水母管入口临近第1支组件，产水母管出口临近第N支组件，D为给水与产水母管管径，d为给水与产水支管管径。

如给定系统给水母管入口压力PF与产水母管出口压力PP，则式（4.14）、式（4.23）与式（4.24）联立即可构成N支组件并联超微滤系统的运行数学模型。该方程组有Qj、Pfj及Ppj共有3N个变量，有3N个非线性方程。变量数与方程数相等，方程组可解。

值得指出的是，关于立式膜组件的式（4.23）与式（4.24）中并未出现伯努利方程中的位置水头内容，其原因是内压或外压膜丝的给水侧与产水侧的位置水头相互抵消，故位置水头并不影响膜组件的实际运行。而且，超滤工艺中不存在脱盐过程，系统流程各处的水体密度ρ≈1000kg/m3相等。