第一节　在多组检测数据中无对比组时的检验

设共有N组检测数据，每组中有n个数据，但其中没有一组检测数据可用作对比。此时有两种检验方法。

方法一：

（1）选定显著性水平a值，此a值代表了各平均值之间事实上是一致的，但得到的结论是它们之间不一致的概率。

（2）按式（3-1）计算各组检测数据相应的标准偏差S1，S2，…，SN。

（3）如各组检测次数相等，即n1=n2=…=nN=nP，则按下式计算总的标准偏差Se：

　　（5-1）

如各组检测次数不等，即n1≠n2≠…≠nN。则按下式计算总的标准偏差Se：

　　（5-2）

（4）查表5-1，其中N为总的检测数据的组数，即平均值的个数，自由度v为（n1+n2+…+nN）-N。a为选定值，可查得相应的q1-a值。

（5）根据下式计算w值：

　　（5-3）

（6）结论：如各组平均值中差异最大的两个平均值之间的绝对差大于以上计算得的w值，则可认为平均值之间，在显著性水平为100a%下有显著差异；反之，如这一绝对差小于计算得的w值，则在显著性水平为100a%下，没有理由认为平均值之间有显著差异。

设共有N个平均值，如每两个平均值作为一对互相比较差异的话，一共可以得到N（N-1）/2对。此时任何一对平均值（，）之间的差值，在可信水平为100（1-a）%下，它的范围为：。

例5-1　一样品在四种不同条件下测定其中某一物质的含量，所得结果见表5-2。

检验各结果的平均值之间是否存在显著差异？

解：

（1）选定显著性水平a=0.05。

（2）按式（3-1）计算各组检测数据的相应的标准偏差，将计算结果列入表5-2。

（3）由于各组的平行测定次数相等n1=n2=n3=n4=3，按式（5-1）计算总的标准偏差Se：

（4）查表5-1：N=4，v=（n1+n2+n3+n4）-N=8，a为0.05，查得q0.95=4.53。

（5）按式（5-3）计算w值：

（6）四组数据中，各组平均值中差异最大的平均值为=102和=92，它们之差的绝对值为10，此值大于w，故在5%的显著性水平下，这些平均值之间有显著差异。

方法二：

（1）按下式计算每一组检测数据相应的组内平方和SSw：

　　（5-4）

式中，n为每组检测数据的个数；为相应的该组检测数据的平均值，总共可得到N个组内平方和（SSw）。

（2）按下式计算各组检测数据的组间平方和SSb

　　（5-5）

式中，N为检测数据的组数；为该组检测数据的平均值；为全部检测数据的平均值。

（3）计算组内估计方差：

　　（5-6）

也可以用各组组内平方和的平均值求得，即：

　　（5-7）

（4）计算组间的估计方差：

　　（5-8）

（5）做F检验，按下式计算F0值：

　　（5-9）

（6）选定显著性水平a值，查表4-2中单侧检验表，此时自由度为N-1，为N（n-1），查得Fa值。

（7）结论：如计算得的F0值大于表中查得的Fa值，则说明各组平均值之间在显著性水平为100a%下有显著差异。

（8）为了进一步评定产生各组平均值之间有显著性差异的原因，可以将各组平均值按从小到大的顺序排列，然后求出相邻两个平均值的差值，再按下式计算显著性差最小值δmin：

　　（5-10）

式中，S即为以上组内估计方差的平方根；ta可由表3-1中双侧检验栏查得；a为选定的显著性水平，自由度为N（n-1）。将相邻两个平均值之差同计算得的显著性差最小值δmin比较，如两相邻的平均值之差大于δmin，即表明显著性水平为100a%时，该对平均值之间存在显著性差异。经过这样的连续比较，就可以找到其中一个或者几个平均值使得各组平均值之间产生显著差异。应指出的是，这个方法并不是非常严格，用这个方法可能认为有较多个数的平均值存在显著差异，但因为这个方法计算简单，仍可用作初步检验。

例5-2　对例5-1，用以上方法进行评定。

解：

（1）按式（5-4）计算每一组检测数据的相应的组内平方和：

（2）按式（5-5）计算各组检测数据之间的平方和：

总平均值=98，

（3）按式（5-7）计算组内估计方差：

（4）按式（5-8）计算组间的估计方差：

（5）做F检验，按式（5-9）计算F0值：

（6）选定显著性水平a=0.05，查表4-2中a=0.05的单侧检验表：自由度为（N-1，N（n-1））=（3，8），查得Fa=4.07。

（7）结论：由于F0>Fa，说明各组平均值之间在显著性水平为5%下，有显著差异。

（8）评定产生显著性差异的平均值：

①按式（5-10）计算δmin：

查表3-1双侧检验栏：a=0.05，自由度为N（n-1）=8，查得ta=2.306；

②将各平均值按从小到大顺序排列：

③将相邻的每对平均值之差与δmin比较：

与之差大于δmin，说明与之间有显著差异；

与之差大于δmin，说明与之间有显著差异；

与之差小于δmin，说明与之间无显著差异。

由于以上各平均值是按从小到大的顺序排列的，由于与之间有显著差异，故表明与之间以及xD与xB之间亦都有显著差异；同样，由于与之间有显著差异，也表明与之间有显著差异。

经过以上一些比较，可以得出结论：和使得各组检测结果的平均值之间产生显著差异。

此外，还有一种塞费（Scheffē）检验法也可用于计算相邻两平均值的最小差值δmin，此时δmin按式（5-11）计算：

　　（5-11）

式中，S为组内估计方差的平方根；n为每组检测数据的数据个数；N为检测数据的组数；由表4-2的单侧检验表查得，其中a为选定的显著性水平，v1为放于分子上的组间方差的自由度，v1=N-1，v2为放于分母的组内方差的自由度，v2=N（n-1）。

计算得到δmin以后，再按以上方法进行比较，以找出有显著差异的一组或几组数据。