第四节　恒定流基本方程

　【学习目标】

1.了解建立恒定流三个基本方程的条件和适用范围。

2.熟悉恒定流三个基本方程。

3.掌握恒定流三个基本方程的实际应用。

在水流运动基本概念的基础上，由质量守恒定律，建立起恒定流的连续性方程；由能量转化与守恒定律，建立起恒定流能量方程；由动量守恒定律，建立起恒定流的动量方程。这三个基本方程是各种恒定流所共同遵循的普遍规律，是分析水流运动的重要依据。

一、恒定流的连续性方程

水是不可压缩和伸张的连续介质，密度为常量。根据质量守恒定律，在单位时间内流入过水断面ω1的流体质量（或体积）等于流出过水断面ω2的流体质量（或体积），见图1-4-1。

恒定流连续性方程为：

Q1=Q2　　（1-4-1）

或：

　　（1-4-2）

式中　Q1，Q2——过水断面的流量，m3/s；

　ω1，ω2——过水断面的面积，m2；

　v1，v2——过水断面的平均流速，m/s；

　D1，D2——过水断面的直径，m。

恒定流连续性方程表示，水在恒定流条件下，流量沿流程不变。或者说，水流通过任意两过水断面时，过水断面面积与断面平均流速成反比，即断面面积大的流速小，断面面积小的流速大。

在有分流汇入及流出的情况下，根据质量守恒定律，连续性方程仍然适用。如图1-4-2所示，若有流量Q3汇入，则：Q2=Q1+Q3；若有流量Q3流出，则：Q2=Q1-Q3。

恒定流的连续性方程，体现了质量守恒定律，是水力学中的基本方程之一，在水力学计算中应用广泛。在消防工作中，直流水枪喷嘴处过水断面比入口处过水断面小得多，因而水在喷嘴处流速大，能增加射程，喷射到较远的距离。

例1-4-1　有一辆消防车接出1路干线，利用分水器出1支水枪，供水干线为D80mm PU水带，工作水带为D65mm PU水带，水枪充实水柱为15m，流量为6.5L/s。试计算干线水带和工作水带内的流速。

解：由题意可知，Q=6.5×10-3m3/s，D1=0.08m，D2=0.065m。

则：干线水带截面积：

工作水带截面积：

根据Q=ωv得：

干线水带流速：

工作水带流速：

答：干线水带的流速约为1.3m/s，工作水带的流速约为2.0m/s。

例1-4-2　有一辆消防车接出1路D65mm的胶里水带干线，接出1支QZ19直流水枪。试计算水枪喷嘴处的流速是水带内流速的多少倍。

解：由题意可知，Q1=Q2，D1=19mm，D2=65mm。

则：

答：水枪喷嘴处的流速是水带内流速的11.7倍。

二、恒定流的能量方程

能量的转化与守恒是自然界物质运动的普遍规律，水流运动的过程就是在一定条件下的能量转化过程，因此流速与其他因素之间的关系可以通过分析水流的各种能量转换关系得出。

（一）水流的单位总能量

在水力学中，水流的总能量是用单位重量液体所具有的能量来表示，故又称为水流的单位总能量。对于静止的水，具有位置水头Z和压强水头，两者之和是常数，即，这说明静水的势能包括位能和压能两部分，且两者可以相互转换，但总能量保持不变。而运动的水流，不仅具有势能，还具有动能，因此，水流的单位总能量应为单位势能与单位动能之和，即：单位总能量=单位位能+单位压能+单位动能。

如图1-4-3所示，假设河渠水流为恒定流，通过河渠的流量为Q，现在过水断面1-1上任取一点A作为分析研究的对象。点A所具有的质量为m，重量为mg，水流速度为v，相对于基准面0-0位置高度为Z，该点所受动水压强为p，则点A具有的单位能量有以下三种。

1.单位位能

点A相对于基准面的位置高度为Z，具有的位能为mgZ。点A具有的单位位能可表示为：

　　

2.单位压能

如在点A处安上一根测压管，如图1-4-3所示，该点在动水压强的作用下，测压管水面上升，上升的高度为，则点A具有的压能为。点A具有的单位压能可表示为：

　　

3.单位动能

点A的水流速度为v，具有的动能为。点A具有的单位动能可表示为：

　　

水流中任意一点A所具有的单位总能量为：

　　（1-4-3）

式中　　　　　　Z——单位位能，又叫位置水头，m；

　　　　　 ——单位压能，又叫压强水头，m；

　　　　　 ——单位动能，又叫流速水头，m；

　　　　——单位势能，又叫测压管水头，m；

——单位总能量，又叫总水头，m。

（二）恒定流的能量方程

恒定流的能量方程在实际工作中有广泛的应用，如消防喷射泵、泡沫比例混合器、排吸器等都是根据能量方程制作的，还根据能量方程制作毕托管来测量渠道或管道中的水流速度，制作文丘里管测量管道的流量。

在图1-4-4所示的恒定水流中，以0-0为基准面，任意取两个渐变流断面1-1和2-2进行分析。

断面1-1的平均流速为v1，断面中心处的动水压强和位置高度分别为p1和Z1，则断面1-1上水流的单位总能量为：。

断面2-2的平均流速为v2，断面中心处的动水压强和位置高度分别为p2和Z2，则断面2-2上水流的单位总能量为：。

水流从断面1-1流到断面2-2的过程中，由于水流存在黏滞性，必然要消耗一部分能量，用于克服摩擦阻力而做功，这部分能量将转化为热能消失在水中。单位重量液体所损失的能量称为单位能量损失，也叫水头损失，用符号hw表示。

根据能量转化与守恒定律，水流经断面1-1时所具有的单位总能量，应等于流经断面2-2时所具有的单位总能量加上水流从断面1-1流向断面2-2的能量损失，E1=E2+hw，即：

　　（1-4-4）

恒定流的能量方程，又叫伯努利方程。它是能量守恒与转化定律应用于水流运动的特殊表达式，也是水力学中最重要的基本方程之一，它给出了流速v、动水压强p和位置高度Z三者之间的变化关系。它和连续性方程联合应用，可以解决许多水力学计算问题。

（三）能量方程的图示——总水头线和测压管水头线

因为能量方程中的各项能量都是长度单位，所以过水断面上水流的各项能量可用几何线段表示，如图1-4-5所示。

从能量方程图示即图1-4-5中，可以清楚地看出：

（1）任意两断面间总水头线的降落值，即为该两断面间的水头损失hw。

（2）由于水流在流动过程中，沿流程处处有损失，水流总是从能量大的地方流向能量小的地方，因此总水头线必定是一条沿流程下降的线。

（3）任意两断面间的测压管水头线可能沿流程下降，也可能沿流程上升。这是因为在一定的水流条件下，势能与动能可以互相转化。如图1-4-5所示，管道各断面上水流的位能Z不变，当管道断面面积沿流程由大变小时，于是动能由小变大，压能由大变小，测压管水头线便下降；反之，当管道断面面积沿流程由小变大时，则动能由大变小，压能由小变大，测压管水头线便上升。

例1-4-3　用直径为100mm的引水管，从3m深水箱中引水，水箱中水位保持不变，设水头损失为2m，如图1-4-6所示。试计算出口处的流量和流速。

解：由题意可知，通过出口中心为基准线0-0，对1-1及2-2断面列能量方程：

　　

取水面p1为大气压力，出口p2亦为大气压力，p1=p2，又Z2=0m，v1=0m/s，Z1=3m及hw=2m。

则：

v2≈4.43（m/s）

答：出口处的流速约为4.43m/s，流量为34.8L/s。

例1-4-4　有一直径渐变的锥形水管，如图1-4-7所示，已知断面1-1的直径D1=15cm，相对压强p1=7mH2O，断面2-2的直径D2=30cm，相对压强p2=6mH2O，平均流速v2=1.5m/s，两断面中心点的高差为1m。试判断锥形管中的水流方向，并计算两断面间的水头损失。

解：由题意可知，Z1=0m，Z2=1m。

则：（1）断面1-1的平均流速：

（2）断面1-1的总水头：

（3）断面2-2的总水头：

（4）判断水流方向：因E1>E2，则锥形管中的水流应由断面1-1流向断面2-2。

（5）两断面间的水头损失：hw=E1-E2=8.83-7.11=1.72（m）

答：锥形管中的水流方向为由断面1-1流向断面2-2，水头损失为1.72mH2O。

计算结果表明，水流总是从能量大的地方流向能量小的地方，而不能单纯根据位置高低、压强和流速的大小来确定水流方向。

三、恒定流的动量方程

前面讨论了水流的连续性方程和能量方程，现在来讨论水力学基本理论中第三个基本方程——动量方程，它是动量定律用于水流运动的具体表达形式。

（一）恒定流动量方程

由物理学中知道，物体运动的动量定律可表达为：在单位时间内，物体沿某一方向的动量变化等于此物体在同一方向上所受到的外力的合力，其数学表达式为：

　　（1-4-5）

式中　∑F——物体在同一方向上所受外力的合力，N；

　v2——物体动量改变后的速度，m/s；

　v1——物体动量改变前的速度，m/s；

　m——物体的质量，kg；

　Δt——动量变化的时间，s。

图1-4-8为一段恒定水流，通过的流量为Q，经过Δt时段后，断面1-1和2-2间这段水流，流动到断面1'-1'和2'-2'间的位置。从图中可以看出：1'-1'～2-2这段水体，在Δt时段内虽有质点的移动和替换，但因水流是恒定流，水体的质量和各点的流速、压强都不会变，因此动量也不会变。所以，研究水流在单位时间内的动量变化，只要研究1-1～1'-1'段和2-2～2'-2'段的动量变化就可以。断面1-1的平均流速为v1，断面2-2的平均流速为v2，在Δt时段内流经断面1-1和2-2的水体质量m等于水的密度ρ与水体积QΔt的乘积，即：m=ρQΔt。

因此，通过断面1-1的水流动量为：mv1=ρQΔtv1，通过断面2-2的水流动量为：mv2=ρQΔtv2，代入动量定律的数学表达式，得：

∑F=ρQ（v2-v1）　　（1-4-6）

当知道了水流动量的改变量，利用式（1-4-6）就可求出作用于水流的外力是多大。

（二）水枪的反作用力

水枪射流时将产生反作用力。水枪射流的反作用力通过枪轴线，与射流方向相反，力的大小与射流喷出的作用力相等，射流的能量越大，产生的反作用力也越大。

水枪直流喷射时的反作用力，可根据质量守恒、能量守恒和动量守恒进行计算。如图1-4-9所示，分别取水枪入口处断面为1-1，面积为ω1，压强为p1，流量为Q1；水枪出口处断面为2-2，面积为ω2，压强为p2，流量为Q2，因为水流射入大气中，所以p2=pa（大气压）。

根据质量守恒定律可以得到：Q1=Q2，或ω1v1=ω2v2，或。

利用能量守恒定律，如果不计管段内损失，且Z1=Z2得：。

如某水枪进口截面直径为65mm，喷嘴口径为19mm，则，因为v2比v1大得多，所以，另外，p1-p0即为水枪工作压力p。所以喷嘴处流速可表示成：。

根据动量定理，水流作用在水枪轴线方向上的力为：F=ρQ（v2-v1），记v1≈0，就得到：

　　（1-4-7）

这就是在消防中经常使用的直流水枪反作用力估算公式。

精确一些可用下式计算：

F=1.872ω2p　　（1-4-8）

式中　F——水枪反作用力，kgf；

　p——水枪工作压力，kgf/cm2；

　ω2——水枪喷嘴截面积，cm2。

水枪工作压力大于0.5MPa，反作用力将超过200N或20kgf，一名消防队员难以掌握进行灭火，如果工作压力大于0.7MPa，水枪反作用力将大于350N或35kgf，两名消防队员也难以掌握进行灭火。

例1-4-5　QZ19水枪，在水枪的工作压力为35mH2O时，试估算其反作用力。

解：由题意可知，p=35mH2O=3.5kgf/cm2。

则：

答：水枪反作用力为19.8kgf。

思考与练习

1.水流是否必须由高处流向低处？由压强高处流向压强低处？由流速大的地方流向流速小的地方？应该怎么正确判断水流方向？

2.一垂直放置的圆管，如图1-4-10所示，管径d2=20cm，逐渐收缩为d1=10cm，管中充满水流，若已知断面2-2上的平均流速v2=1m/s，试计算：（1）1-1、2-2两断面平均流速比；（2）断面1-1的平均流速v1；（3）流量。并思考：当水流方向改为由下而上时，所得结果有无变化？当管子位置改为水平放置或倾斜放置时，对上边的分析计算有无影响？

3. QJ32带架水枪，工作压力为36mH2O，试估算水枪的反作用力。