2.1 古希腊数学的发端

2.1.1　泰勒斯

现在所知最早的古希腊数学家是泰勒斯（约公元前624—公元前546）。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城。

泰勒斯认为世界上处处有生命与运动，水是万物之源。

他曾利用日影来测量金字塔的高度，也曾准确地预测过日食。他是古希腊第一个将一年修正为365天的人。

泰勒斯在数学方面的突出贡献是开始了命题的证明，具有划时代的意义。

泰勒斯定理：若A、B、C是圆周上的三点，且AC是该圆的直径，那么∠ABC必然为直角。或者说，直径所对的圆周角是直角。

该定理的逆定理也同样成立，即直角三角形中，直角的顶点在以斜边为直径的圆上。

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人物小史与趣事

泰勒斯（约公元前624—约公元前546），公元前7世纪至公元前6世纪古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊七贤之一。他创立了古希腊最早的哲学学派—米利都学派，也称爱奥尼亚学派。他被尊为“科学和哲学之祖”，是古希腊及西方思想史上第一个有名字记载的哲学家。他的学生有阿那克西曼德、阿那克西米尼等。

预言日食而阻止战争的故事

大约公元前7世纪到公元前6世纪，伊朗草原上强盛的米底亚王国向西进兵小亚细亚，遇到了吕底亚王国的顽强抵抗，双方在哈吕斯河（今克孜勒河）一带展开了激烈战斗。战争在你争我夺中持续了五年，百姓深陷苦难。

泰勒斯预先推测出某天有日食，便宣扬上天反对人世的战争，某月某日必以日食作警告。果然，日食如期而至。那日，正当双方将士短兵相接酣战正激时，太阳突然失去光辉，白昼顿成黑夜。两国将士大为惊恐，马上停战和好，后来两国还互通婚姻。这件事在希罗多德的《希波战争史》第一卷中有记载。

当然，这次战争的结束还有其他政治经济上的原因，日食不过起到促进作用。但据此可知，当时的泰勒斯已能预测日食。

骡子的故事

除了在科学与哲学上有很高的造诣，泰勒斯同样是一个聪明的商人。多年的商旅生活使他了解到各地的人情风俗，眼界也更开阔。

他曾用过骡子运盐。有一次，一头骡子不慎滑到在溪中，盐被溶解掉了一部分，背上的负担减轻了不少。于是，这头骡子每过溪水就打一个滚。泰勒斯为了改变这头骡子偷懒的恶习，让它改驮海绵。海绵在吸水之后，重量倍增。从此，这头骡子再也没有偷懒过了。

橄榄的故事

虽然身为商人，泰勒斯却没有好好经商，而是热衷于去探索些“没用”的事情，因此他并不富裕。他一有点钱，就去旅行花掉了。因而有人说，哲学家是些没用的人，赚不到钱的人，很穷的人。

有一年，泰勒斯运用他掌握的知识赚了一笔钱。相传他知道那一年雅典的橄榄会丰收，便租下了全村所有的榨橄榄油的机器，乘机垄断，并抬高价格赚了一笔钱，以此来证明哲学家其实是有智慧的人，只是他有更重要的事情要做，而不是把精力放在赚钱上，如果他想赚钱的话，完全可以比别人赚得更多。

只顾天空不看脚下的天文学家

一天晚上，泰勒斯独自走在旷野之间，他抬头看着天空，星星满天，他预言第二天会下雨。正在此时，专心想事的他没有注意到脚下刚好有一个坑，结果掉进了那个坑里摔得很重，他大声呼救，幸好有人路过才将他救了出来。

泰勒斯很感激地道了谢。他对路人说：“谢谢您把我救起。你知道吗？明天会下雨。”

于是就有了一个关于哲学家的笑话，哲学家是只知道看天上的事情却不知道脚下发生什么事情的人。

两千年以后，德国哲学家黑格尔说，一个民族只有有那些关注天空的人，这个民族才有希望。如果一个民族只是关心眼下、脚下的事情，这个民族是没有未来的。而泰勒斯就是标志着古希腊智慧的第一个人。

测量金字塔高度

据说，埃及的大金字塔修成一千多年后，还没有人能够准确地测出它的高度。曾经也有不少人做过很多努力，可惜都没能成功。

有一年春天，泰勒斯去了埃及。人们想试探一下他的能力，就问他是否能解决这个难题。泰勒斯很有把握地说可以，但有一个条件—法老必须在场。

第二天，法老如约而至，金字塔的周围也聚集了不少围观的老百姓。

泰勒斯来到金字塔前，阳光把他的影子投在地面上。每过一会儿，他就让别人测量一下他影子的长度，当测量值与他的身高完全吻合时，他立刻在金字塔在地面上的投影处做一记号，然后再丈量金字塔底到投影尖顶的距离。这样，他就报出了金字塔确切的高度。

在法老的请求下，他向大家讲解了如何从“影长等于身长”推到“塔影等于塔高”的原理。也就是今天所说的相似三角形定理。

2.1.2　毕达哥拉斯

古希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯（公元前572—公元前497）。毕达哥拉斯与中国的孔子为同一时期的人，是科学史上最重要的人物之一，不仅影响了柏拉图，还影响了文艺复兴时期的哲学家和科学家。约公元前530年，他建立了一个宗教、政治、学术合一的团体——毕达哥拉斯学派。

毕达哥拉斯创造了哲学（爱智慧）和数学（可学到的知识）两个词，提出了四元素说（物质是由水、火、土、气四元素构成，每一元素又由四种基本物性：冷、热、温、燥两两组合而成），认为大地是个球体，宇宙是围绕一个中心火构成的，提出了“四艺”（几何、天文、音乐、算术）的说法等。

毕达哥拉斯证明了勾股定理。

毕达哥拉斯发现了五种正多面体。

毕达哥拉斯第一次研究了直线形面积的变换。

毕达哥拉斯给出了一元二次方程的几何解法。

毕达哥拉斯深入研究了正整数，奠定了现代数论基础。提出了奇数和偶数的概念，区分了自然数。提出了因子概念，由此提出了完全数、过剩数、不足数和亲和数的概念。

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人物小史与趣事

毕达哥拉斯（公元前572—公元前497），古希腊著名哲学家和科学家。生于小亚细亚的萨摩斯岛，年轻时曾游学于古埃及和古巴比伦，可能还到过古印度，之后回到大希腊的克洛托内（现在意大利的东南部），建立了一个学术团体——毕达哥拉斯学派，全心致力于哲学和数学研究。

劈柴的故事

有一天，小毕达哥拉斯背着一捆劈柴在街上走。一位绅士看见了他，觉得那捆劈柴的组合方式很高明。绅士心存疑问：这种组合是少年有意精心安排的，还是无意中摆成的？于是他叫住小毕达哥拉斯：“过来，过来！能为我办点儿事吗？不是很麻烦，只是请你把这捆劈柴放下，把柴棍捣乱，然后重新堆摆起来，行吗？”

毕达哥拉斯很纳闷，“这人真怪，竟提出这样的请求！”但他还是照绅士的话去做了。他放下柴捆，把劈柴捣乱，然后重新把它们组合起来。

绅士看到，这位少年堆摆劈柴的方法的确高明，令人钦佩，于是对小毕达哥拉斯说：“你不想钻研学问吗？为什么不试试呢？”

据说，在这位绅士的鼓励下，毕达哥拉斯离开了萨摩斯岛，拜泰勒斯为师。也有人说，毕达哥拉斯并不是泰勒斯的弟子，他的老师是阿那克西曼德。

但不管怎样，有一点是可以肯定的：毕达哥拉斯从老师那儿学到了大部分当时已被人们掌握的数学知识。而后遵照老师的劝告，去古埃及留学。据说在留学期间，毕达哥拉斯还访问过古巴比伦王国。

“百牛祭”的故事

据传，毕达哥拉斯发明了勾股定理后，破例杀了100头牛，举行“百牛祭”，邀请全城的人庆祝。在这次祭会上，毕达哥拉斯发表了演讲，向人们描绘了一幅画面：由数产生点，由点产生线，由线产生出平面图形，由平面图形产生出立体图形，由立体图形感觉到的一切物体产生出水、火、土、气四种元素。这四种元素以各种不同的方式相互转化，并创造出有生命的、有精神的、球形的世界。认识世界，就是要认识支配世界的数。

铸币的故事

毕达哥拉斯在克罗通时，曾经设计过一种铸币。铸币的正面有阳文的本城的纹章，圆周形的边纹有城名的几个主要字母；另一面是同样的图案，但为阴文。

这些铸币体现了毕达哥拉斯关于“宇宙上下两方和中央所处的地位关系是相同的，只是彼此相反”的观点。

数学家眼中的大理石地砖

有一次，毕达哥拉斯应邀参加一位政要的餐会。

主人家里非常富有，豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖。

由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言，而善于观察和理解的数学家毕达哥拉斯却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形地砖。

他不是欣赏地砖的美丽，而是在思考它们和“数”之间的关系。于是，他拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块地砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块地砖的面积和。

对此，他很好奇。于是，他再以两块地砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，并发现这个正方形之面积等于5块地砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。

至此，毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。

那场餐会，这位古希腊数学大师的视线一直都没有离开过地面。

毕达哥拉斯与黄金分割

毕达哥拉斯的黄金分割——a:b=(a＋b):a。

一天，毕达哥拉斯路过一个铁匠作坊，听到里面叮叮当当的声音，觉得十分悦耳。

于是，他便用工具测量了铁锤与铁砧的尺寸，并发现它们之间有一定的比例。

回到家里，他把一条直线段分为两节，经过反复比较，最后终于确认1∶1.618的比例最优雅，其比值为0.618的近似值，称之为黄金比例。

毕达哥拉斯学派认为太阳、月亮、星辰的轨道和地球的距离之比，分别等于三种主要的和音，即八音度、五音度、四音度。

毕达哥拉斯学派认为从数量上看，夏天是热占优势，冬天是冷占优势，春天是干占优势，秋天是湿占优势，最美好的季节则是冷、热、干、湿等元素在数量上和谐的均衡分布。

毕达哥拉斯学派从数学的角度，即数量上的矛盾关系列举出有限与无限、一与多、奇数与偶数、正方与长方、善与恶、明与暗、直与曲、左与右、阳与阴、动与静十对对立的范畴，其中有限与无限、一与多的对立是最基本的对立，并称世界上一切事物均能还原为这十对对立。

创办“学校”

毕达哥拉斯长期留学古埃及之后，返回故乡萨摩斯岛。他原打算在萨摩斯岛上建立学校，但没有成功。于是他迁居克洛顿，在那儿创办了一所学校（即毕达哥拉斯学派）。但这所学校实际上是一个宗教集团或公会，宗旨是加强团结。

在这个“学校”内，严禁把内部教学的内容和内部得到的发现泄露给外人。而且“学校”的发现都归于毕达哥拉斯名下。因此，如今人们认为是毕达哥拉斯发现的东西，其中究竟哪些是他本人的发现，哪些是毕达哥拉斯学派的发现，根本无法区别。

毕达哥拉斯创设的这所学校曾光荣一时，但后来由于过问政治，引起反对派的憎恨，最后学校遭到烧掠袭击而毁。毕达哥拉斯也在一次夜间骚乱中被杀害。

2.1.3　雅典时期的古希腊数学

毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量高涨时期受到冲击并逐渐解体。古希腊波斯战争（公元前492—公元前449）以后，雅典成为古希腊民主政治与经济文化的中心，古希腊数学也随之走向繁荣，学派林立。

伊利亚学派，以居住在意大利南部伊利亚地方的芝诺（约公元前490—公元前430）为代表。较晚的德谟克里特（约公元前460—公元前370）原子论学派，则与伊利亚学派在思想上有一定的继承关系。

诡辩学派，也称智人学派，活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城。

雅典学派（柏拉图学派），柏拉图（公元前427—公元前347）曾师从毕达哥拉斯学派，约公元前387年在雅典创办学院，形成了自己的学派。

亚里士多德学派，亚里士多德（公元前384—公元前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。

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（1）学派

（2）三大几何问题

（3）无限性概念的早期探索

（4）逻辑演绎结构的倡导

人物小史与趣事

希波克拉底（约公元前460—公元前377），古希腊伯里克利时代医师，被西方尊为“医学之父”。其所处的上古时代，医学并不发达，然而他却能将医学发展成为专业学科，使之与巫术及哲学分离，并创立以之为名的医学学派，对古希腊的医学发展贡献良多。希波克拉底提出“体液学说”，他的医学观点对以后西方医学的发展有巨大影响。另外，希波克拉底也是位数学家，他用勾股定理得到了弓形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比，促进了三大几何问题之一的“化圆为方”的研究。

扑灭瘟疫的故事

公元前430年，雅典发生瘟疫，许多人突然发烧、呕吐、腹泻、抽筋、身上长满脓疮、皮肤严重溃烂。患病的人接二连三地死去。没过几日，雅典城中便随处可见来不及掩埋的尸首。对这种索命的疾病，人们唯恐避之不及。

但此时希腊北边马其顿王国的一位御医，却冒着生命危险前往雅典救治。他一面调查疫情，一面探寻病因及解救方法。不久，他发现全城只有一种人没有染上瘟疫，那就是每天和火打交道的铁匠。他由此设想，或许火可以防疫，于是在全城各处燃起火堆来扑灭瘟疫。

这位御医就是被西方尊为“医学之父”的古希腊著名医生希波克拉底。

“希波克拉底臼床”的故事

有一天，希波克拉底碰到一个巫医在给骨折病人治病。病人左腿被车轮辗断，已昏死过去，受伤的部位鲜血淋淋。但巫医还硬叫家属扶着病人用右腿跪在神像前，他自己则念念有词，不知在说些什么。

希波克拉底实在看不下去了。他气愤地走上前说道：“靠念咒语怎能治好他的伤呢？这简直是在折磨病人，太荒唐了！”

巫医不屑一顾地说：“看来你会治伤啊，那好，你说他的伤怎样治？”

“清洗创口，进行牵引，使断骨复位！”

希波克拉底对骨折病人提出的治疗方法，是合乎科学道理的。为纪念他，后人将用于牵引和其他矫形操作的臼床称为“希波克拉底臼床”。

癫痫症的故事

一天，希波克拉底在市场上见到一个人突然神志丧失，全身抽动，面色青紫，嘴里还吐出白沫。周围的人都惊慌失措地喊道：“这人中了邪啦！快去请巫师来！”

正好有个僧侣经过这里，有人马上拖他来治病。僧侣看了看病人，板起面孔说：“啊！这人得了神病，要请神来宽恕他。快把他抬到神庙里去！”

“慢着！”希波克拉底抢上一步喊道，“这人患的根本不是什么神病，而是癫痫症！把他抬到神庙去是治不好病的！”

那僧侣向希波克拉底瞪了一眼，高傲地说：“什么癫痫不癫痫的，这人的病是山神引起的，只有祈祷山神才有用。你懂什么？小心别惹怒了山神，让你也患上神病！”

希波克拉底毫不示弱地说：“这癫痫症一点也不比其他疾病神秘，而是同其他疾病一样，具有相同的性质和相似的起因。只有魔法、江湖术士和骗子之流，才把它说成是什么神病！”

“你竟敢当着这么多人的面咒骂山神！好，你说这病不是山神引起的，那是什么引起的？”

“是脑引起的！”希波克拉底斩钉截铁地回答说，“我相信这是脑子出了问题，才变成这个模样的。”

现代医学认为，癫痫是一种突然发作的暂时性大脑功能紊乱的病症。希波克拉底指出的病因是正确的，他提出的这个病名，也一直沿用到今天。但是，他的科学解释在当时不可能被人们理解和接受。在僧侣的催促下，那病人还是被抬到神庙里去了，没有得到有效的治疗。

希帕索斯

希帕索斯，生卒年月不详，生活于大约公元前500年。他是发现无理数的第一人，是毕达哥拉斯的得意门生。希帕索斯发现等腰直角三角形的直角边与斜边的比不是有理数，举出了当时毕达哥拉斯学派“一切量都可用有理数表示”的一个反例。

“第一次数学危机”

公元前5世纪，毕达哥拉斯学派认为数最崇高、最神秘，他们所讲的数是指整数。“数即万物”，即宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达。但是，希帕索斯发现，边长为1的正方形，它的对角线（）却不能用整数之比来表达。这就触犯了毕达哥拉斯学派的信条，于是该学派规定了一条纪律：谁都不准泄露存在（即无理数）的秘密。天真的希帕索斯无意间向别人谈到了他的发现，结果被杀害。但很快就引起了数学思想的大革命。科学史上把该事件称为“第一次数学危机”。