3.5 矩阵数学运算
本小节主要介绍矩阵的一些基本运算，如矩阵的四则运算、空矩阵，下面将分别介绍这些运算。
矩阵的基本运算包括加、减、乘、数乘、点乘、乘方、左除、右除、求逆等。其中加、减、乘与大家所学的线性代数中的定义是一样的，相应的运算符为“+”“－”“*”。
注意：矩阵的除法运算是MATLAB所特有的，分为左除和右除，相应运算符为“\”和“/”。一般情况下，方程AX=B的解是X=A\B，而方程XA=B的解是X=B/A。
对于上述的四则运算，需要注意的是：矩阵的加、减、乘运算的维数要求与线性代数中的要求一致。
3.5.1 矩阵的加法运算
设A =（aij）, B =（bij）都是m×n矩阵，矩阵A与B的和记成A + B，规定为
（1）交换律 A + B = B + A。
（2）结合律（A + B）+ C = A +（B + C）。
>> A=[5,6,9,8;5,3,6,7;]
A =
5 6 9 8
5 3 6 7
>> B=[3,6,7,9;5,8,9,6;]
B =
3 6 7 9
5 8 9 6
>> C=[9,3,5,6;8,5,2,1]
C =
9 3 5 6
8 5 2 1
>> A+B
ans =
8 12 16 17
10 11 15 13
>> B+A
ans =
8 12 16 17
10 11 15 13
>> (A+B)+C
ans =
17 15 21 23
18 16 17 14
>> A+(B+C)
ans =
17 15 21 23
18 16 17 14
>> D=[1,5,6;2,5,6]
D =
1 5 6
2 5 6
>> A+D
错误使用 +
矩阵维度必须一致。 %只有相同维度的矩形才能进行计算
3.5.2 矩阵的减法运算
计算减法运算A-B = A+（-B）。
>> -B
ans =
-3 -6 -7 -9
-5 -8 -9 -6
>> A-B
ans =
2 0 2 -1
0 -5 -3 1
3.5.3 矩阵的乘法运算
（1）数乘运算
数λ与矩阵A=（aii）m×n的乘积记成λA或Aλ，规定为
同时，矩阵还满足下面的规律。
λ（µA）=（λµ）A
（λ+µ）A=λA+µA
λ（A+B）=λA+λB
其中，λ、µ为数，A、B为矩阵。
>> A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5];
>> A*5
ans =
5 10 15
0 15 15
35 45 25
（2）乘运算
若三个矩阵有相乘关系，设A=（aij）是一个m×s矩阵，B=（bij）是一个s×n矩阵，规定A与B的积为一个m×n矩阵C =（cij），其中
cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
即C = A×B，需要满足以下3种条件。
•矩阵A的行数与矩阵B的列数相同。
•矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。
•矩阵C的第m行n列元素值等于矩阵A的m行元素与矩阵B的n列元素对应值积的和。
>> A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5]; >> B=[8 3 9;2 8 1;3 9 1]; >> A*B ans = 21 46 14 15 51 6 89 138 77
注意：>AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律。
若矩阵A、B满足AB = 0，未必有A = 0或B = 0的结论。
（3）点乘运算
点乘运算指将两矩阵中相同位置的元素进行相乘运算，将积保存在原位置组成新矩阵。
>> A.*B
ans =
8 6 27
0 24 3
21 81 5
3.5.4 矩阵的除法运算
计算左除A\B时，A的行数要与B的行数一致，计算右除A/B时，A的列数要与B的列数一致。
（1）左除运算
由于矩阵的特殊性，AB通常不等于BA，除法也一样。因此除法要区分左右。
线性方程组DX=B，如果D非奇异，即它的逆矩阵inv（D）存在。其解用MATLAB表为
X=inv（D）*B=D\B
符号‘\’称为左除，即分母放在左边。
左除的条件：B的行数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。
>> A.\B
ans =
8.0000 1.5000 3.0000
Inf 2.6667 0.3333
0.4286 1.0000 0.2000
（2）右除运算
若方程组表示为XD1=B1，D1非奇异，即它的逆阵inv（D1）存在。其解为
X=B1*inv（D1）=B1/D1
符号‘/’称为右除。
右除的条件：B1的列数等于D的阶数（D的行数和列数相同，简称阶数）。
>> A./B
ans =
0.1250 0.6667 0.3333
0 0.3750 3.0000
2.3333 1.0000 5.0000
3.5.5 操作实例
例1：求解矩阵之和
。
例1
>> [1 2 3;-1 5 6]+[0 1 -3;2 1 -1]
ans =
1 3 0
1 6 5
例2：求解矩阵左除与右除。
例2
>> A=[1 2 3;5 8 6];
>> B=[8 6 9;4 3 7];
>> A.\B
ans =
0 0 0
-3.0000 -2.2500 -2.7500
4.6667 3.5000 4.8333
>> A·/B
ans =
0.1250 0.3333 0.3333
1.2500 2.6667 0.8571
例3：求解矩阵乘法运算。
例3
>> A=[0 0;1 1]
A =
0 0
1 1
>> B=[1 0;2 0]
B =
1 0
2 0
>> 6*A - 5*B
ans =
-5 0
-4 6
>> A*B-A
ans =
0 0
2 -1
>> B*A-A
ans =
0 0
-1 -1
>> A.*B-A
ans =
0 0
1 -1
>> A*B./A-A
ans =
NaN NaN
2 -1
3.5.6 课堂练习——矩阵四则运算
矩阵四则运算
若
, 求-B，A-B，3×A，A×3。
操作提示。
（1）输入矩阵。
（2）使用算数符号计算矩阵。
3.5.7 幂函数
A是一个n阶矩阵，k是一个正整数，规定
称为矩阵的幂。其中，k为正整数.
对角矩阵的幂运算是将矩阵中的每个元素进行乘方运算，即
在MATLAB中，幂运算就是在乘方符号“.^”后面输入幂的次数。
对于单个n阶矩阵A，
AkAl=Ak+1, （Ak）l=Akl。
>> A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5];
>> A.^2
ans =
1 4 9
0 9 9
49 81 25
对于两个n阶矩阵A与B，
（AB）k≠AkBk。
>> A=[1 2 3;0 3 3;7 9 5];
>> B=[5,6,8;6,0,5;4,5,6];
>> (A*B)^5
ans =
1.0e+11 *
0.3047 0.1891 0.3649
0.2785 0.1728 0.3335
1.0999 0.6825 1.3173
>> A^5*B^5
ans =
1.0e+10 *
2.5561 2.1096 3.3613
2.5561 2.1095 3.3613
6.8284 5.6354 8.9793
知识拓展
exmp：矩阵的指数运算。
>> A=[2 5 6;4 3 8;7 6 5]
A =
2 5 6
4 3 8
7 6 5
logm：矩阵的对数运算。
>> logm(A)
ans =
2.0689 1.0758 -0.4254
-4.4445 2.5181 3.5937
3.9247 -0.6204 0.2959
sqrtm：矩阵的开方运算函数，进行开方运算的矩阵必须为方阵。
>> sqrtm(A)
ans =
1.5090 1.3496 0.6800
-1.8243 1.9070 3.1843
3.2133 0.5732 0.9949
3.5.8 课堂练习——求解幂运算
求解幂运算
已知
。
操作提示。
（1）输入矩阵A。
（2）使用幂运算，直接计算A2-2A。
（3）分解幂运算，计算A2-2A=（A-2E）A。