3.1.2　有符号数

二进制数的每一位有0、1两个数值，而数的符号有“正”“负”两种状态，那么可以用“0”表示“正”，“1”表示“负”。当指定一个数为有符号类型时，用二进制数的最高位表示数的“正”“负”。

无符号数中所有的位都用于表示数的大小，有符号数中用最高位表示正负，所以当为正值时，能表示的数的最大值就会变小。例如：

无符号数：11111111，十进制值为：255

有符号数：01111111，十进制值为：127

同样是一个字节，无符号数的最大值为255，而有符号数的最大值为127，原因是有符号数中的最高位被用来表示符号了，用来表示数值的位变为了7位，并且最高位的位权为27，所以仅仅少了一位，最大值减半。

不过有符号数可以表示负数。因此，虽然最大值变小了，但是在负值的方向得到了扩展。下面同样用一个字节的数作对比：

无符号数取值范围为：0～255

有符号数取值范围为：-128～127

无符号数的最小值是0，而有符号数的最小值是-128，二者能表示的数值个数都是256个，只不过前者表示的是0～255这256个数，后者表示的是-128～127这256个数。那么，

如何将这256个不同的符号串对应为具体的实际值呢？下面介绍几种常见的编码方式。

（1）原码

计算机中用二进制数的最高位表示有符号数的符号，那么，

当x=+0010000时，就可以写为0，0010000，对应的十进制数为16；

当x=-0001000时，就可以写为1，0001000，对应的十进制数为-8。（用逗号把符号位和数值分开）

有符号数的这种表示方式，称为原码。如果把原码的长度确定为n，那么数x的原码定义如下：

现在考虑n=8，x=0时，x的原码该如何表示。当x=0时，理论上，x的符号可以为“+”，也可以为“-”，那么

[-0]原=0，000 0000

[+0]原=1，000 0000

显然[+0]原不等于[-0]原，即0的原码表示存在两种情况。

下面再考虑另外一个问题——使用原码进行加减运算。假如有两个数16和-8相加，16的8位二进制原码表示是（0 ，0010000），-8的8位二进制原码表示是（1，0001000），那么这两个二进制数的加法写为

可以看到，如果按照正常的二进制加法规则计算，就会得到10011000，转换成十进制数就是-24，这显然是错误的。也就是说加法规则不适用于正数和负数相加（也不适用于负数和负数相加）。如果要用原码表示法，则在设计加法器时就考虑两种不同的规则，即没有负数的加法规则和有负数的加法规则。这样的话电路设计就会比较复杂。

（2）补码

既然用原码表示有符号数时，“0”有两种情况，而且有负数的加法也不能使用一般的加法规则，那么就需要考虑使用别的方式来表示二进制有符号数。

先考虑一个日常生活中的例子。时钟的时针转一圈有12小时，假如现在时钟指示4点，要让时针指示2点，可以按顺时针方向把时针转10格，也可以把时针按逆时针方向转2格。假设顺时针方向转动为正，逆时针方向转动为负，则

4-2=2

4+10=14

虽然两种方法的结果表面上看起来不一样，但2点和14点均指向同一个数2，实际上是同一个结果。这样看来-2和10对时钟来说其作用是一样的。在数学上12叫做模，对模12而言，-2和10互为补数，记作

-2≡10（mod12）

同理，有

-3≡9（mod12）

-4≡8（mod12）

由此可见，可以找到一个与负数等价的数（这里称其为该负数的补数）来代替该负数进行运算。回到前面两个二进制原码相加的例子，由于二进制数的总位数为8，可以表示256个不同的数，则8位二进制数的模为256，写为二进制为100000000。于是可以算出，对模256而言，-8的补数为248，二进制数为11111000。那么对于两个十进制数16和-8相加的计算，就可以把原码中表示的00010000+10001000写为00010000+11111000，得到的结果为100001000，由于规定二进制数的位数为8，则计算结果的最高位溢出，实际得到的结果为00001000，转换为十进制数是8，这样就得到了正确的结果。在计算机中，把补数的二进制形式称为补码。

实际上，在计算机中每个数都是用补码来表示的，包括正数。正数的补码就是正数本身，负数的补码等于模加上这个负数。对于一个n位的二进制数x，它的模为2n，那么数x的补码的定义如下：

通常我们并不用这种方法计算负数的补码，而是用另一种更简单的方法。例如，求-8的补码，如果按照上面的定义来求，则

[-8]补=1 0000 0000-0000 1000=1111 1000

进一步，我们可以把100000000写为11111111+1，则上式可写为

[-8]补=1111 1111-0000 1000+1 =1111 0111+1

可以发现11110111正好是00001000各位取反的结果，于是便有了一种求负数补码的简单方法，即把负数绝对值的二进制表示按位取反，然后加1，简称“取反加1”。这样就把减法运算变为取反和加法运算，也更容易用硬件实现。

（3）反码

反码通常用来作为由原码求补码或者补码求原码的过渡。正数的反码等于其本身，负数的反码等于把负数的绝对值的二进制表示按位取反。定义如下：