一 鲍特凯维兹陷阱的由来
鲍特凯维兹（1949）的方法属于系数法。他把两大部类硬扩充成三大部类：第1部类为生产资料，第2部类为工人消费资料，第3部类为资本家消费资料即奢侈品。按照斯威齐译文中的符号，ci，vi，si（i=1，2，3）分别表示第i部类的不变资本、可变资本和剩余价值。鲍特凯维兹认为在简单再生产条件下，下列平衡关系应该成立[2]。
用x，y，z表示c，v，s的生产价格对其价值的偏离率，令ρ表示平均利润率，则有：
现在共有4个未知数x，y，z，ρ，而方程却只有3个。[3]为使方程组有解，有两个解决办法：或者增加一个方程，或者减少一个未知数。鲍特凯维兹曾经考虑过，令总生产价格等于总价值，即把
作为一个限制条件加进来，这样便有了4个未知数和4个方程。在这里，有：
但是，他又觉得这样做太麻烦，不如设法减少一个未知数。方程组（1-2）的计量单位是劳动时间，他认为如果用货币来表示更为理想。他说，生产1个单位货币所必要的劳动量（他实际上说的就是货币作为商品的社会必要劳动时间），是直接沟通两个计算体系（指劳动时间和货币）的桥梁。[4]并假定货币商品是黄金，把黄金的1单位（或者黄金1盎司的1/35）作为价值的单位，接着他又进一步假定所有奢侈品的单位价值都是1[5]。这实际上意味着假定z=1，这样方程组（1-2）的未知数就由4个减少为3个，化为：
接着，他开始考虑方程组（1-4）的解法，并做得很细。为了阐述的方便，令
，并把方程组（1-1）的关系代入[6]，则方程组（1-4）化为：
他是采用代入法来解方程组（1-5）的。他首先从方程组（1-5）的第1个方程里解出
然后将之代入到第2个方程得[7]：
这是一个一元二次方程，根据一元二次方程根和系数的关系可得：
或者
有了σ的解，进一步则由方程组（1-5）的第2个和第3个方程解出：
顺便说一句，采用现代数学手法，鲍特凯维兹方程是很容易解开的。方程组（1-2）用矩阵方式改写整理以后，可写成如下形式：
于是，
不过是矩阵
的特征值，而（x，y，z）′则是属于
的特征向量而已。
斯威齐采用一个数例来验证鲍特凯维兹的上述模型及计算公式。这组数据成功地通过了检验。按照上面的解法，斯威齐得到的解是：
（注意平均利润率的这一计算结果与按马克思定义所计算的是偶然一致的）。转形的结果如表1-1所示，确实做到了转形（包括成本的生产价格化）后，平均利润总额等于剩余价值总额、生产价格总额等于价值总额也同时成立，可惜这是一个偶然的“好结果”。
表1-1 斯威齐数例的转形部类
接着，斯威齐考虑了鲍特凯维兹的数例（见表1-2）。鲍特凯维兹的原解是：
，x=3225。x的精度略有不足，准确应该是
。这组数据就没能够通过检验：虽然平均利润总额等于剩余价值总额，但是生产价格总额却不等于价值总额。
表1-2 鲍特凯维数例的转形部类
为什么第1组数据能够通过检验，而第2组数据就不能通过检验呢？原因在于第3部类。当第3部类的资本有机构成等于社会平均有机构成时（如第1组数据），转形后“两个等于”都能成立；而当第3部类的资本有机构成不等于社会平均有机构成时（如第2组数据），则“两个等于”不能同时成立，生产价格总额将不等于价值总额。在鲍特凯维兹的假定中，第3部类是货币部门（开始时为奢侈品部门），而一般来说货币部门的资本有机构成应该不会等于社会平均有机构成，所以其结论是，只有在特殊情形下转形后“两个等于”才能同时成立。
由此也可以得出一个新的结论，方程组（1-4）表面上看如斯威齐（1942）所说是仅由前两个方程决定的，而实际上方程组（1-4）的3个方程是存在内在联系的。这是因为当第3部类的资本有机构成等于社会平均有机构成时，方程组（1-4）的3个方程是线性相关的，反之却不成立[8]。斯威齐还曾指出，如果将方程组（1-4）的前两个方程看作以x，y为未知数的二元一次方程组（暂把σ视为已知的），则其有解的前提是：
方程（1-7）其实就是方程组（1-5） 的行列式表现。不过，把方程（1-7）作为方程组（1-4）有解的前提来认识，说明斯威齐的看法比鲍特凯维兹又深了一步。
但是，他们都没有看到方程（1-7）或方程组（1-4）的解与马克思的平均利润率的关系。鲍特凯维兹模型的平均利润率为ρ=σ-1，由方程（1-7）或方程组（1-4）决定。而马克思的平均利润率由（s1+s2+s3）/（c1+c2+c3+v1+v2+v3）决定。二者未必一致。鲍特凯维兹模型的这一特殊性，是一个致命的缺陷。因为如果鲍特凯维兹模型所决定的平均利润率与马克思的平均利润率不一致的话，则马克思的平均利润率不能代入方程组（1-4），否则方程组（1-4）无解。这也正是鲍特凯维兹为什么坚持平均利润率要在模型内产生，而不用马克思的平均利润率的根本原因。这本是鲍特凯维兹为了摆脱数学上的困境的一种无可奈何的选择，现在却被某些人奉为了信条。
鲍特凯维兹模型的缺陷在于把可变资本的偏离率与第2部门商品的偏离率等同了。后人大多承袭了这种错误。
不过，鲍特凯维兹模型最大的问题在于其结构。在他的方程组
的系数矩阵当中，不变资本和可变资本发挥着同样的数学作用，没有任何区别。其根本原因则在于把可变资本等同于消费资料（第2部门商品），进而混同了不变资本和可变资本的数学作用。这成为一个致命的陷阱，并且这一点被塞顿做了进一步的发展：首先是一般化到了n个部门，其次是塞顿干脆把不变资本和可变资本合二为一了。