第2章　矩阵基础知识

2.1　行列式

1. 二阶和三阶行列式

用

表示一个n阶行列式。其中元素a_ij（i，j＝1，2，…，n）都是数域P中的数。行列式中的横排称为行，竖的称为列。例如，a_ij表示第i行第j列处的元素，a₂₃表示行列式中第2行第3列处的元素。

我们知道，凡行列式都可算出一个数值来。先看最简单的二阶行列式。

可见，一个二阶行列式值是由对角的两个元素相乘之差形成的。再看三阶行列式。

可见，一个三阶行列式是由不同行不同列的3个数相乘而得到的6个项的代数和。

【手工计算例1】

【手工计算例2】

2. 余子式和代数余子式

在n阶行列式

中，划去元素a_ij所在的第i行第j列，剩下的元素按原来的排法，构成一个n－1阶行列式

称为元素a_ij的余子式，记为M_ij。

例如，对于三阶行列式

来说，各个元素的余子式分别为

而三阶行列式D可以通过各行的余子式来表示：

也可以用各列的余子式来表示：

从以上等式可以看出：M_ij前的符号，有时正，有时负。为了弄清这个问题，引入下述定义。

定义2.1　令

A_ij＝（－1）^i＋jM_ij

其中，A_ij称为元素a_ij的代数余子式。

应用代数余子式的概念，三阶行列式可以表示成

D＝a_i1A_i1＋a_i2A_i2＋a_i3A_i3 （i＝1，2，3）

D＝a_1jA_1j＋a_2jA_2j＋a_3jA_3j （j＝1，2，3）

这表明，行列式的值是任意一行的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

【手工计算例3】　求

的余子式M₁₁、M₁₂、M₁₃及代数余子式A₁₁、A₁₂、A₁₃并求D。

解：

A₁₁＝（－1）^1＋1M₁₁＝4，A₁₂＝（－1）^1＋2M₁₂＝－2 A₁₃＝（－1）^1＋3M₁₃＝5

D＝1×A₁₁＋0×A₁₂＋（－1）×A₁₃＝－1

3. 用代数余子式表示n阶行列式的展开式

前已说明，n阶行列式

等于它任意一行的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积之和，即

D＝a_k1A_k1＋a_k2A_k2＋…＋a_knA_kn （k＝1，2，…，n）

这就是行列式按一行（第k行）展开的公式。

由于行列式中行与列的对称性，所以同样也可以将行列式按一列展开，即n阶行列式

等于它任意一列的所有元素与它们的对应代数余子式的乘积之和，即

D＝a_1lA_1l＋a_2lA_2l＋…＋a_nlA_nl （l＝1，2，…，n）

这就是行列式按一列（第l列）展开的公式。

【手工计算例4】　求以下行列式的值

解：把D按第2行展开，得

把D按第3列展开，得