1.3 铝及铝合金铸轧成形与裂纹扩展数值方法及其研究发展状况
1.3.1 元胞自动机法
1.常见的组织模拟方法简介
要逼真地再现微观组织的形貌，就要找到一种可靠的模拟方法来准确预测晶粒的形核、生长、吞并、阻碍等过程。在宏观传热、传质、动量传输和结晶理论基础上，通过固相率这一桥梁将微观组织变化通过传热方程的源值项联系起来，形成宏观、微观模拟相统一的模拟方法。近年来各种微观组织的模拟方法纷纷出现，如传统的热焓法、元胞自动机法(CA)、蒙特卡罗法(MC)和相场方法等。这些方法各有其优缺点，都能在一定程度上较准确地模拟合金的凝固组织。凝固微观组织数值模拟的方法主要有确定性方法、相场方法及随机性方法。
确定性方法以凝固动力学为基础，虽然符合晶粒生长物理背景，但是它不能处理晶体生长过程中的一些随机过程，难以考虑晶体学的影响，所以无法模拟凝固时枝晶的生长过程及形貌。
相场方法是一个描述枝晶生长的新方法，它可以避免跟踪固液界面的位置和形状，而模拟一个枝晶内的亚结构，如二次臂和高次臂的生长过程。但它的计算域较小，难以用于实际铸轧过程模拟。
随机性方法主要采用概率方法来研究晶粒的形核和长大，包括形核位置的随机分布和晶粒晶向的随机取向，动态跟踪显示每个晶粒的形核生长过程和柱状晶向等轴晶转变过程，适用于柱状晶组织的形成及柱状晶与等轴晶相互转变的模拟，主要有MC法和CA法。尽管MC法被证明能产生同实际铸件组织相似的晶粒结构，但它缺乏物理基础。由于CA法在基本单元定义和变化规则应用方面的灵活性，其发展应用不局限于特定物理体系，而且为微观结构模拟中实现不同空间及时间尺度之间的跨越性模拟计算提供了方便简洁的数值工具。
长期以来，预测微观组织进而控制性能一向是铸轧加工的追求目标。随着对凝固机理的进一步了解和计算能力的提高，这一目标的最后实现将成为可能。
2.元胞自动机法国内外研究现状
Von Neumann最早把CA法作为一种物理现象的模拟技术引入的，这种方法将物理系统分成许多小单元，通过成套的规则，每个单元同其相邻的单元迭代地作用，这些单元通常映象到计算机的屏幕上。于是，模型系统随时间的发展变化就能观察到。Rappaz和Gandin发展了CA法。该方法具有一定的物理基础，能够定量地反映过冷度和溶质浓度的影响。
Rappaz和Gandin等用基于高斯分布的连续形核模型来计算晶粒密度，考虑了铸件表面与中心形核位置及晶粒取向随机性。他们把晶粒的形核与长大的物理机制引入到模型中，考察了晶粒在模具壁处的不均匀连续形核、晶核的晶体学位向关系以及枝晶尖端生长的动力学，建立了随机CA模型来模拟凝固结晶中晶粒结构的形成。他们成功地预测从柱状晶到等轴晶的转变，并得到了试验验证；并将二维模型发展到三维模型，并将得到的等轴涡轮叶片翼面晶粒结构同试验所得铸件横截面组织图进行了比较。Brown把CA法与有限差分法结合起来，建立了三维的CA有限差分(CAFD)模型来模拟两相的耦合生长，把此模型应用到真实的共晶系Pb-Sn的凝固中，得到了固液界面移动的距离随时间的变化及相的片间距等定量的结果。Geiger等人则利用CA方法研究了温度、各向异性、活化能和界面能对晶粒长大动力学的影响。Marx和Kumar建立了奥氏体中析出铁素体的CA模型。模拟结果能够再现Militzer等人做的作为冷却速率函数的初始温度的变化、每个奥氏体晶粒内铁素体晶粒数和铁素体晶粒大小等实验结果。模型描述了铁素体在奥氏体晶界的形核及铁素体沿奥氏体晶界和在晶内的长大。
在国内，这方面也做了一些研究，朱鸣芳等改进了三维CA模型，CA模型也运用到凝固的共晶生长现象中。康秀红等用枝晶尖端生长动力学模型研究了晶粒的生长及［100］择优晶向对生长的影响，确立了由柱状晶向等轴晶转变的判据。李殿中等用CA法模拟了镍基合金叶片凝固过程微观组织，又用CA法模拟了金属成形过程中的组织演变，建立了金属成形过程组织演变的宏观-微观耦合模型。张林等建立了镍基耐热合金凝固过程的CA模型，该模型以温度扩散方程、多组元的溶质扩散方程以及枝晶尖端生长的LGK模型为基础。利用这个模型模拟了凝固过程中不同冷却速度下晶粒微观结构的演化。许庆彦等采用CA微观模型，并与宏观的传热计算相结合，在模拟过程中，采用连续形核的方法处理液态金属的异质形核现象，通过高斯分布函数描述形核质点密度随温度的分布关系，晶粒生长模型则考虑枝晶尖端生长动力学和择优生长方向［100］晶向，对砂型铸造铝合金铸件的凝固组织形成进行了模拟。张涛等建立了基于CA法的7055铝合金动态再结晶(DRX)模型，研究了7055铝合金在热压缩过程中的组织演变规律。
1.3.2 有限元法
1.有限元法简介
有限元法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法。其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。随着高速运算计算机的发明，有限元法这种有效的数值计算方法才得以发展，如热传导、流体、失效与破坏等领域都已经普遍应用有限元法来分析计算。
2.有限元法在铸轧成形中的应用
M.Gupta等利用有限元法模拟了水平式双辊铸轧薄带过程中熔池内的热传导、液体流动和熔液的凝固，但是未考虑材料的物性参数随温度的变化情况，即材料为常物性;也没有考虑气隙对传热的影响。李晓谦等进行了铝带坯连续铸轧变形的有限元分析。他们以Levy-Mises塑性流动理论为基础，并同时考虑温度变化因素，对铸轧过程的塑性变形进行了分析计算。A.Saxena和Y.Sahai通过FIDAP软件分析得到了铸轧过程流体流动、凝固传热模型、有限元网格及节点温度值，并将其转化到ANSYS中作为变形分析时的温度载荷边界条件；然后运用有限元分析软件ANSYS建立了铝合金双辊铸轧过程二维稳态热-力耦合模型，计算了水平双辊薄带坯连续铸轧工艺中由于温度梯度以及轧辊对铸坯施加的机械载荷的作用引起的应力。逯洲威等用MARC大型有限元分析软件，采用弹塑性大变形热-力耦合有限元法，对薄板坯连铸液芯铸轧过程铸壳变形特点进行了仿真研究。C.G.Kang和Y.D.kim等利用ANSYS有限元分析软件对不锈钢材料半固态连续铸轧成形过程的流动行为、轧制力和轧制变形进行了仿真研究。金珠梅等在分析旋转状态铸辊内部传热过程特点的基础上，应用广义流体概念，建立了熔池和铸辊混合区域的整体数学分析模型，实现了整体模型的耦合计算，计算结果揭示了双辊法连续铸轧过程熔池内流场、凝固温度场及铸辊内温度场、热应力场的特点。
3.有限元法在裂纹扩展中的应用
在国外，Shephard等研究了裂纹扩展后便重新划分网格且其边界条件随即也发生变化的改进有限元法。Bittencourt等提出一种为了得到光滑的裂纹边界通过改变裂纹扩展后的局部网格形状的方法。为了解决裂纹扩展问题，Klein等引进了一种虚拟联结单元。Siegmund等研究了铝合金薄板中的裂纹扩展。Scheider等对光棒试样的缩颈断裂过程进行了数值模拟。Chowdhury等采用大变形有限元程序和内聚区模型相结合的方法对准静态裂纹扩展进行了模拟，得到的裂纹扩展曲线相比于试验得到曲线差别不是很大。
在国内也有很多学者对裂纹扩展进行了大量的模拟研究。杨庆生、杨卫在用有限元法模拟裂纹扩展中，应用的是自适应的网格划分方法来实现网格动态划分。孙穆、余寿文通过研究证明，材料在裂纹扩展中裂纹扩展阻力与定常扩展裂纹的弹塑性场受到材料各向异性硬化性质的影响是非常大的。王德民、徐纪林对在一对均匀拉应力作用下的铝合金薄板（含中心裂纹）运用有限元方法与塑性大变形的基本方程进行模拟计算，所获得的结果与试验结果吻合得较好。崔玉红等研究了Hybird、Trefftz有限元应用于Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型复合裂纹的弹性断裂问题。黄向平等研究了自适应网格生成技术，这种技术能够对裂纹扩展进行跟踪、仿真。王承强等提出了求解基于线性内聚力模型的平面裂纹扩展问题的半解析的有限元法。郁大照等采用有限元软件 MSC.Marc 构建含裂纹螺接件的三维有限元分析模型，通过分析得到了不同损伤模式下的 SIF 与裂纹长度沿板厚度方向的变化曲线。
1.3.3 有限差分法
1.有限差分法简介
有限差分法（FDM）的基本思想是先把问题的定义域进行网格剖分，然后在网格点上按适当的数值微分公式把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。有限差分法原理简单，便于实施，发展相对比较成熟，但对几何形状的适应性较差，在应用网格生成技术后，这一缺点得以克服。有限差分法广泛用于热传导、气体扩散、流体传热问题。
2.有限差分法在铸轧成形中的应用
在铸轧过程方面，M.J.Bagshaw等对铸轧过程中热线形成问题进行了较为深入的研究，建立了二维稳态热流模型来描述铸轧过程，将轧辊与铸坯之间的传热系数在整个铸轧区内划分为三部分，通过对仿真结果的分析解释了在不同界面传热系数的条件下热线形成的原因。牛津大学的Bradbury等对连续铸轧过程中固态和半固态区的凝固、传热和流体流动进行了数值模拟，将固态和半固态区的黏度考虑为温度函数的修正黏度，即认为材料为无加工硬化的各向同性材料。带坯/轧辊界面假定为黏着摩擦，金属与轧辊间的传热系数由施加在轧辊上的局部压力来决定。固相百分数由Scheil方程得到。
在铸嘴型腔方面，H.Yu建立了二维铸嘴型腔层流流体力学模型，M.V.Akdeniz和K.Sarioglu等对二维流场、温度场铸嘴系统进行了计算机仿真，乐起胜建立了二维电磁铸轧铸嘴型腔温度场模型，李宏建立了二维快速超薄铸轧铸嘴型腔层流流体力学模型。
1.3.4 分子动力学法
1.分子动力学法简介
分子动力学法（MD）的前身是统计物理学，经过近几十年的发展和验证，证明这是一种描述原子层次对象的有效方法。越来越多的科研工作者将分子动力学模拟与理论分析和实验观察相提并论，并称其为第三种科学研究手段，也称为“计算机实验”手段，该方法在诸多研究微观物质的学科中大放光彩。
20世纪50年代，Alder等使用分子动力学理论，验证了钢球模型下气体和液体的状态方程，并取得了尝试性的成功，这是第一次将分子动力学模拟方法运用到研究物质宏观性质上。但当时由于受模拟设备性能的制约，模拟的原子数量、空间尺度和时间步长都受到很大限制。1964年Rahman利用Lennard-Jone势函数法对液态氩性质进行了验证模拟。1977年Rychaert等将约束动力学应用到分子动力学模拟中。1984年Berendsen等创造了恒压分子动力学方法，Berendsen恒压法的原理是将一个虚拟的“压浴”与模拟系统相结合，此方法在各向异性或各向同性系统均能达到稳定压强的目的，而且在各向同性系统中，元胞在三个方向上的尺度均能实现独立变化。1984年Nosé-Hoover等提出了恒温条件下的分子动力学法，由于等温等压系综和正则系综相较于微正则系综与宏观实验数据更为接近，其渐渐成为主流。1984年Daw等首次提出嵌入原子法（EAM），此方法的基本思想是把晶体的总势能分成位于晶格点阵上的原子核之间的相互作用对势和原子核镶嵌在电子云背景中的嵌入能两个部分，并根据实验数据选取对势和多体势的相互作用函数。嵌入原子法较准确描述了多元素结构之间的作用关系，近年来常用来描述金属体系。1985年面对半导体嵌入原子法势函数难以选取的问题，Car等在传统的分子动力学中引入了电子的虚拟动力学，从而提出了第一性原理分子动力学法。20世纪末期，Larid等将辛算法引入分子动力学模拟，由于辛算法的保结构特性，从而允许进行更长时间的模拟。
近年来，由于分子动力学模拟的诸多特性，其已成为一个重点研究领域，大量海内外研究者已经在此取得了实质成果。但分子动力学模拟结果与宏观实验结果相符合的程度在于势函数的选取，一个准确合适的势函数往往能事半功倍。
为了得到准确的势函数，研究工作者选择从量子轨道理论来获得更为准确的势函数。这种基于量子轨道理论的分子动力学法也称为现代分子动力学法(Modern MD)。
2.分子动力学法国内外研究现状
（1）分子动力学模拟在材料科学中的应用 根据相对原子间作用势不同，分子动力学可分为经典分子动力学和现代分子动力学。前一种方法计算量较小，可以用来解决体系规模较大的问题。后一种方法由于获取原子间作用势，使用过程中不需要经验参数，准确性高，但计算量较大，只适用于体系规模较小的问题。
在经典分子动力学方面，国外学者F.A.Celik等利用分子动力学模拟方法，采用Sutton-Chen的嵌入原子作用势(SCEAM)，通过聚类分析研究了三元合金系统的结晶过程，结果发现：纳米尺寸的三角带结构在退火温度为500K的结晶过程发生了非晶态转变。Kim等通过模拟纳米多晶镁的拉伸过程，认为应力条件的变化会引发滑移、孪晶和晶界迁移等不同的变形机制。Keonwook Kang等采用修正的嵌入原子作用势研究了尺寸和温度对于纳米线的硅断裂机制的影响，揭示了裂纹形核是由解离断裂引起的，剪切失效是由位错形核引起的。
在国内，朱志雄等采用分子动力学法对Ni3Al和NiAl合金在不同冷却速度下的凝固过程进行了研究，分析了凝固过程中不同温度下的偶分布函数、能量和体积的变化。王卫东等基于EAM势，采用分子动力学法对超细镍纳米线在［100］晶向的拉伸性能进行了研究，并对其温度相关性和拉伸应变速率相关性进行了探讨。张晓泳等利用分子动力学模拟研究了Ti-Al 纳米杆的单向拉伸变形过程，比较分析了不同拉伸速率、拉伸温度以及Al含量对Ti-Al应力-应变关系及其塑性变形行为的影响。袁林等人使用Voronoi法构建出拉伸方向无表面效应的多晶纳米线模型，并模拟了各种预制晶粒大小条件下的纳米丝线单轴拉伸，算出了银纳米丝线的各种特征值。梁力等利用分子动力学模拟方法分别研究了空位、自间隙杂质原子、杂质He 原子等缺陷对金属Ti 样品的力学性能的影响，对完整晶格的金属Ti 在不同拉伸应变速率下的应力-应变曲线进行了计算。樊倩等采用分子动力学模拟方法，研究了层厚度和应变速率对铜-金多层复合纳米线在均匀拉伸载荷下力学性能的影响,并分析了铜-金位错成核机理。
虽然经典分子动力学采用势函数进行模拟，计算得到的一些数据与实验值相符。但是对于不同的问题，可能需要确定不同的经验参数。这就为研究者带来了非常大的麻烦。
在现代分子动力学的研究方面，Jong Bae Jeon等利用分子动力学研究了晶粒尺寸对于纳米晶系的体心立方Fe的变性行为的影响，主要的变形机制从位错的滑移变为晶粒边界的移动。Helio Tsuzuki利用分子动力学模拟了Cu的快速位错，结果表明位错的运动的速度可以接近声速或者超声速。
祝江波等基于从头计算分子动力学法，对液体和非晶态的NiAl3合金结构进行了研究。Ren等基于第一性原理，采用修正的嵌入原子势模拟不同晶格常数的材料界面分子结构，结果发现：微小改变的势能极大影响界面的分子结构，同时也观察到了孔洞和扩散。
（2）裂纹萌生和扩展的分子动力学模拟现状 找出材料内部裂纹萌生和扩展的规律一直是材料工作者急需解决的一个难题。近年来，国外研究学者取得了一些可喜的成绩。K.Nishimura等通过分子动力学模拟了上百万的原子，利用Johnson对势，清楚显示了α-Fe材料晶粒边界的塑性变形过程。Harold S.Park等模拟了单晶面心立方纳米线的拉伸和压缩，通过研究金、铜、镍这三种不同的面心立方（fcc）材料，发现纳米线的变形机制为一个材料类别、应力状态、应力与晶界夹角以及纳米线粗细有关的函数。Majid Karimi等利用嵌入原子模型方法在Ⅰ型加载情况下，研究了单晶镍在有缺陷和没有缺陷下的裂纹扩展情况。D.Terentyev等在不同应变速率、温度和裂纹形状的条件下研究了bcc和fcc中金属裂纹的扩展和钝化行为。结果表明，分子动力学是研究微观裂纹萌生和扩展的有效方法。
国内一些研究学者中，单德彬等采用Morse势，运用分子动力学模拟方法研究了单晶铜弯曲裂纹萌生和扩展机理，发现晶体内部产生的空位源于应变能的不断累积，材料的裂纹萌生于空位，裂纹的缺陷促进了裂纹的萌生和扩展。郭雅芳利用分子动力学模拟方法，对裂纹扩展及相关尺寸行为进行了研究，发现在bcc铁中，Ⅰ型裂纹在低温时为脆性解离扩展，并且随着温度的升高，观察到了位错的发射。王晓娟等基于分子动力学法，运用Morse势函数，模拟了单晶铝预制初始裂纹扩展过程。结果表明，导致裂纹尖端出现钝化最主要的原因是裂尖处发射位错。裂尖处能量畸变，裂纹逐渐扩展。曾祥国等人使用修正嵌入原子法（MEAM）模拟分析了镁合金断裂失效和裂纹尖端扩展机制。结果表明：不同类型的预制裂纹（如缩孔型和锋锐型裂纹）的成长方式也存在很大的差异。郭巧能等用EAM势模拟了温度对超薄铜膜疲劳性能的影响，分析原子结构图得出铜薄膜疲劳损伤进化过程为空位聚集→空隙形成→裂纹萌生→断裂。通过铜薄膜总能以及应力循环变化曲线，总结出了热浴条件与铜薄膜疲劳寿命的联系。
（3）孔洞演变行为的分子动力学模拟现状 由于材料在制造和使用过程中不可避免会出现如孔洞、夹杂等组织缺陷，而材料内部裂纹扩展也往往伴随着孔洞一系列的演变。因此，孔洞的演变规律也成为一个研究的热点。
国外学者Seppälä等在对Cu中两个初始半径R=2.2nm、间距L=12.2nm的A、B孔洞的贯通聚结行为进行了分子动力学模拟，发现随着孔洞尺寸的增长，当两孔洞壁的间距缩小至约一个孔洞半径的时候两者发生贯通，聚结成一个较大的孔洞。Eduardo M.Bringa等通过分子动力学模拟方法研究了特殊位错环的发射和向外扩张，结果发现，在纳米晶体中孔洞形核和增长的临界应力要远远小于在单晶中晶粒边界上有效形核位置的临界应力。Tapan G.Desai等采用了分子动力学模拟方法研究了含孔洞直径为φ2.2nm的单晶UO2。结果发现：孔洞尺寸在微米级别时，表面扩散控制机制与晶格扩散控制机制相互交叉，相互混合。Aude Simar等采用分子动力学模拟了单晶镍滑移分解的刃型位错和孔洞之间的相互作用，研究了孔洞的尺寸、相互分离机制和位错的动力学响应机制对材料强度的干扰。
国内一些研究学者中，赵艳红等利用分子动力学法，对含孔洞的金属铜进行拉伸模拟，发现随着拉伸应力的增加，模型经历弹性均匀拉伸→局部面心立方（fcc）到密排六方（hcp）的相变及缺陷的产生→缺陷积累产生微裂纹或空洞→材料断裂的过程。陈军等利用分子动力学法和有限元法相结合的多尺度方法，对含孔洞金属材料在冲击加载条件下的动力学行为进行了研究，发现在孔洞坍塌过程中形成局部热点的主要原因是过程中出现的微喷射原子的压缩，局部绝热剪切带的形成与孔洞坍塌产生的位错和局部热点有关。张宁等利用分子动力学法，对在单向拉伸载荷作用下含孔洞双晶铜的力学行为进行了研究，同时也探讨了晶粒内部孔洞和晶界孔洞对晶体力学行为的影响。陈明等通过分子动力学法，分别对无孔洞和有孔洞的纳米单晶铜杆，运用EAM势函数研究了其拉伸特性。结果发现：沿拉伸方向，孔洞的中间位置应力集中程度最高，在孔洞的两端应力集中程度最低。