第7课 布莱克-舒尔兹模型定价模型（Black-Scholes model）
自从1973年，被三位名声显赫的经济学家——Fischer Black, Myron Scholes，和Robert Merton提出，布莱克-舒尔兹期权定价模型（Black-Scholes model，以下简称BS model）就成为世界上最有名的以及被广泛认可的期权定价模型。给定几个参数数值，通过带入一个漂亮的公式，便能得到欧式期权的价格。当然，在衍生品高度发展的今天，对于全球范围内来讲，期权定价公也不是可以包打天下的。因为需要具备一定的假设条件等原因，模型存在一些问题，模型价格也并不能让你在真实市场交易时做出直接判断。但是作为现代期权定价理论的基础，衍生品投资者了解BS model依然是有着极其必要的价值的。
模型假设的几个条件。
（1）期权是欧式期权，即在到期前不能被提前行权。
（2）标的资产价格服从对数正态分布（lognormal distribution），即标的资产的收益率服从正态分布。
（3）期权有效期内并不存在分红（dividend）。
（4）期权有效期内，无风险利率和标的资产的波动率（volatility，其实也就是标准差）是已知而且恒定的。
（5）不存在交易成本以及税收成本。
（6）市场为有效市场。即标的资产价格的波动符合随机漫步。T+1时刻的价格和T时刻的价格独立。
（7）市场具有充分流动性。任何数量的股票和期权都可以即时成交。
BS模型的推导需要一些高等数学知识，所以也就不花很长的篇幅在这里和大家科普一些高等数学知识了。下面先直接引出公式并解释里面的参数。是对于没有红利派发的标的资产的欧式看涨期权来讲的：
根据之前课程里已经讲过的期权平价关系（put-call parity），相应的看跌期权的价格为
N（x）为标准正态分布（standard normal distribution）的累积分布函数（cumulative distribution function）。
St——标的资产的现价；
K——行权价格；
T-t ——离到期日的时间；
r——无风险利率（年化）；
σ——标的资产收益率的波动率，也就是收益率的标准差，此处波动率也为年化。
上述公式里的参数比较多，大家可能对参数的代入还有点疑惑，下面用一个实例来更好的解释BS model公式的应用。
假设标的ABC的现价为62美元，行权价K为60美元，到期日为40天，无风险年化利率是4%，收益率波动率为32%。所以有
St=62；
K=60；
T-t=40/365（因为公式里r和波动率均为年化，所以到期时间的天数需要转化成年的比例）；
σ=32%；
r-4%；
d1=1/(0.32×(40/365)^ (1/2))×｛ln (62/60)+［0.04+0.5×(0.32)^2］×(40/365)｝；
所以d1=0.404≈0.4
d2=0.404-0.32×（40/365）^（1/2）=0.298≈0.3。
根据正态分布的分布函数表可以得到N (0.4)=0.655 4, N (0.3)=0.617 9。
于是代入公式可以得到
C=62×0.655 4-60×e^（-0.04×40/365）×0.6179=3.72。
知道了欧式call的价格，代入期权平价公式，就可得到Put价格为p=1.46。
到这里，相信读者已经可以通过给定的参数值根据BS model计算出欧式看涨期权和看跌期权的理论值。如果理论值是精确的，那么应用是显然的。通过之前内容中所说的买入低估的期权，卖出高估的期权，等待到期即可收获无风险利润。于是读者很自然想到通过BS Model计算出的期权价值到底是不是准确的。任何一个定价模型都存在两种风险，第一是交易的人输入了错误的参数，第二则是模型本身是不是有问题或者所依赖的假设条件完全不可能在现实世界得到满足。在BS模型里除了波动率之外的参数都是明确清楚可以通过市场数据直接确认的，波动率是唯一不确定的变量，所以在公式里又显得尤为重要。那么考虑BS模型里的假设条件，其实每一项都难以被满足。所有的交易市场现实中都不具备绝对的流动性，尤其对于期货市场，很大数量的合约被买进或是卖空会对市场产生影响。无风险利率也因为央行的调节而可能随时产生波动。波动率更是因为市场以及对应标的突发事件的发生而可能产生变化。所以说，能够完美捕捉金融市场所有特征的模型基本上是不存在的。虽然模型具备这些弱点，但是大部分有经验的衍生品交易员依然觉得通过某种方法参考定价模型要比完全没有任何模型好的多。这是他们思考的一个框架。在已知BS模型缺点的情况下，模型给出来的结果是具有参考意义的。另外需要注意得是BS只是作为定价模型，而不能作为衡量风险的标准。
通过BS模型，读者已经能清楚地看到欧式期权的价格由哪些因素决定，能知道波动率在公式里尤其重要，因为它是唯一一个不能通过直接观察市场得到的变量。在之后的内容里会对各种波动率做详细讨论。而且也会通过各种复杂的期权组合向读者展示如何在可控风险下尽量提高实现盈利的几率。