§1　曲线的切线与曲面的切平面

l.a曲线的切线

考查R3中的一条参数曲线

在这里，我们假设函数x（t），页（t）和Z（t）都在区间J连续可微并且满足条件

如果把从原点（0，0，0）到点（x,y，z）的向径记为r，那么参数方程（1.1）1可以写成更紧凑的形式

这里r（t）=（x（t），y（t），z（t）），是连续可微的向量值函数，它满足条件

当然，（1.l）l与相应的（1.1）2本来是一回事.在以下引用时，我们就不再加以区别了，都编号为（1.1）.同时，也就把（1.2）1和（1.2）2都编号为（1.2）。

设P0是曲线（1.1）上的一个定点（其向径=r（t0）），而P

是同一曲线上的一个动点（其向径=r（t））.我们来考查沿着割

线P0 P方向的向量

当t→t0时，割线P0P的极限位置应是曲线在p0点的切线.这样，我们求得曲线在给定点沿切线方向的一个向量

于是，曲线（1.1）在P0点的切线方程可以写成

这里x0=x（t0），y0=y（t0），z0=z（t0）.

显式表示的线

可以看作参数曲线的特殊情形——以工作为参数的情形；

对这种情形，切线的方程可以表示为

或者

这里y0=y（x0）z0=z（x0）.

再来看由隐式给出的曲线

这里假设F和G都是连续可微函数，并且

于是，在曲线（1.7）的每一个点（x0，y0，z0）邻近，我们总可以解出某两个变元作为第三个变元的函数。这样把曲线的方程写成显式形式，然后套用（1.6）或者（1.6）'写出切线方程。但以下的讨论更有启发性：我们来考查方程组（1.7）在点P0（x0，y0，z0）邻近的一个参数解

——这样的参数解一定存在，因为显式解就是一种参数解.把参数解，x=x（t），y=y（t），z=z（t）代入（1.7），就得到恒式等式

在t=t0微分这些恒等式，就得到

我们介绍一个很有用的算子符号：

这里的i,j和k分别是OX轴正方向，OY轴正方向和OZ轴正方向上的单位向量.这样定义的算子▽，被称为奈布拉算子（或奈布拉算符）。在点P0处，奈布拉算子▽作用于一个可微的数值函数F（x,y，z）产生了一个向量

利用奈布拉算子可以把（1.9）式改写为

这就是说，曲线（1.7）在点P0的切向量与两向量（▽F）p0和（▽G）p0正交.因而这切向量平行于

据此，我们写出曲线（1.7）在点P0的切线方程

平面参数曲线

可以看作空间参数曲线的一种情形：

因而，平面参数曲线的切线方程可以写为

类似地，平面显式曲线

的切线方程为

——这结果当然是大家早已知道了的.

隐式表示的平面曲线

可以看作这样的空间曲线

这空间曲线在点

的切线方程可以写成

也就是

1.b曲面的切平面与法线

空间R3中的一块参数曲面表示为

这里，设△是参数平面上的一个开区域，设x（u,v），y（u,v）和是在△中连续可微的函数，并设

参数曲面块的方程（1.11）1又可写成向量形式

而条件（1.12）1意味着

在下文中，提到（1.11）时，指的就是（1.11）1或者（1.11）2；提到（1.12）时，指的就是（1.12）1或者（1.12）2。

设P0是曲面（1.11）上指定的一个点，其坐标为

又设

是参数区域△中的一条连续可微的曲线，它满足条件

我们来考查曲面（1.11）上经过点P0。的连续可微曲线

将上式对t求导，就得到

由此可知：任何一条这样的曲线，过点P0的切线都在同一张平面上.这平面通过点P0，并且平行于向量

我们把这张平面叫做曲面（1.11）在点P0的切平面.切平面上任意一点P的向径

应满足向量方程

据此，我们写出切平面的方程

过切点并且与切平面正交的直线，称为曲面在这点的法线.根据上面的讨论，我们得知：法线的方向向量为

因而，法线的方程可以写成

显式表示的连续可微曲面

可以看成以（x, y）为参数的参数曲面：

这曲面过点P0（x0，y0，z0）的切平面的方程可以写成

即

曲面（1.13）的过点P0的法线可以表示为

再来考查隐式表示的曲面

这里设F是连续可微函数，并设

在曲面（1.14）上任取一点P0（x0，y0，z0），考查这曲面上经过这点的任意一条连续可微的参数奋线

我们有恒等式

将这式对t微分，就得到

由此可知，任何一条这样的曲线，在点P0的切线都正交于向量

这里，为书写省事，我们记

通过上面的讨论，我们写出曲面（1.14）在点P0的切平面的方程：向量形式的方程为

坐标形式的方程为