习题一

（注：做本章的习题必须按照以下要求：只能用这道题之前讲过的内容和做过的题去做，而不许用这道题以后讲的内容.这是为了更好地理解理论体系的逻辑结构.）

1.设k₀是给定的整数，P（n）是关于整数n的一种性质或命题.如果

（i）当n=k₀时，P（k₀）成立；

（ii）由P（n）成立可推出P（n+1）成立，

那么P（n）对所有整数n≥k₀成立.

2.在上题的条件下，如果

（i）当n=k₀时，P（k₀）成立；

（ii）对n＞k₀，由对所有的m（k₀≤m＜n），P（m）成立可推出P（n）成立，

那么P（n）对所有正整数n≥k₀成立.

3.设T是一个由整数组成的集合.若T中有正整数，则T中必有最小正整数.

4.设T是一个由整数组成的集合，若T有下界，即存在整数a使对所有的t∈T，有t≥a，那么，必有t₀∈T，使对所有的t∈T，有t≥t₀.

5.设M是一个由整数组成的集合.若M有上界，即存在整数a，使对所有的m∈M有m≤a，那么，必有m₀∈M，使对所有的m∈M，有m≤m₀.

6.设a≥2是给定的正整数.证明：

（i）对任一正整数n，必有n<aⁿ；

（ii）对任一正整数n，必有唯一的整数k≥0，使a^k≤n＜a^k+1.

可以做IMO的问题（见附录四）：［8.1］，［16.1］，［16.4］，［22.3］，［22.6］，［23.1］，［31.5］，［36.4］以及［28.3］，［32.6］.