6　整除理论小结

在4和5我们建立了整数集合Z中的整除理论，它包含最大公约数理论和算术基本定理，它的重要的常用结论，是4的定理1～定理8及5的定理1～定理2.

首先要指出的是，在这些结论中，除了4的定理8涉及加法运算以外，其他的所有定理，从概念的定义、条件到结论都只涉及乘法运算和除法运算（不是指它们的证明）.因此，我们把这后一部分称为是整除理论的积性性质，而前一部分则称为是整除理论的加性性质.从4.2和4.3小节，即证明最大公约数理论的第二个和第三个途径，可以看出，从加性性质——4定理8——可推出最大公约数理论的全部积性性质.进而由5.1小节知，就可推出5的定理1和定理2，这就建立了整个整除理论.但是，反过来不能从积性性质推出加性性质.

其次，我们在5.2小节分别给出了5定理1和定理2的直接证明，在证明中没有利用4中的任一结论，而用到了1和2中关于整数的基本性质、最小自然数原理和3定理1——带余数除法.相反的，可以用5推论3和推论4来证明2的定理10～定理12，及4的定理1～定理7，而且论证更为直观简单，这些请读者自己讨论.事实上，可以从算术基本定理出发，用5的式（4）和式（5）来定义最大公约数和最小公倍数（那里只讨论了两个数的情形，多个数也一样），进而建立最大公约数理论的积性性质（见习题第1题（v））.在讨论数论中的积性问题时，利用算术基本定理在理论上是十分方便有效的.但是，如何具体实现合数的这种分解，特别是大数的分解，至今在理论上还没有有效方法.

最后，在4和5中，我们建立了整数集合Z中的整除理论，特别是讨论了如何从各种不同的途径来建立这一理论，这是尤为重要的.因为这主要不是为了用不同的技巧给出不同的证明，而是由于这些思想、概念、方法、理论体系的结构是整个数学中最宝贵的、最有用的部分之一，是研究许多数学对象的思想方法，对数学的发展起着重要作用.在附录二中，我们用这样的思想讨论了集合Z［］中的算术，它和Z中的算术本质上是不同的.在Z［］中，4和5中的结论没有一个成立.在附录二中也安排了两组习题（第9～19题，第20～30题），用这样的思想方法来研究：（i）集合Q［x］（全体有理系数的一元多项式集合）及集合Z［x］（全体整系数的一元多项式集合）中的算术，建立了和Z中本质上相同的整除理论.这种多项式理论是数学中的重要基础知识；（ii）Gauss整数集合Z［］，建立了和Z中本质上相同的整除理论，并简单讨论了代数数和代数整数.这些是代数数论的起源之一.所有这些都是所谓“整环”中的算术的一部分.有关这方面的内容可参看［15］，［17］.

有不少人，特别是中学生，在学过整除理论后，往往会觉得除了4定理8以外，其他的结论都是“不证自明”的，认为这样的证明是不需要的，重要的只是如何运用这些结论的“技巧”，这种看法是错误的在有的书中，认为4定理4可从最大公约数的定义直接推出，不需证明，这是错误的..Gauss在其名著Disquisitiones Arithmeticae（《算术探索》）（见参考书目［0］）的第13目中，就是证明5定理1和定理2，他用的就是5.2小节中的方法，先证定理1（用第一个直接证明），然后推出定理2.在结束证明后，他就极其郑重指出了这种证明的必要性和重要性.他说：“这首先是因为，现在的许多作者要么是常常忽略了这定理（指5定理1），要么是给出了不能令人信服的论证；其次是因为，通过这个最简单的情形能使我们更容易地理解这一证明方法的实质，而这方法在以后要被用来解决更为困难得多的问题.”我们希望，读者在学习初等数论时牢牢记住Gauss的这一教导，反复深入地体会其正确性，特别是，可以通过对附录二的学习及做它的两组习题，来领会这种证明的必要性.这对我们进一步学好数学是极其有益的.

5的定理1是证明了正整数中的素数的一个性质，5定理2是证明了正整数表为素数的乘积的表法是唯一的（不计次序）.这两个看来极为“明显”的结论，为什么还要证明呢？而且给出了不同的证明，还作了深入的讨论.这究竟有没有必要呢？有兴趣的读者可参看附录二.最后，我们要指出的是：由于我们直接证明了算术基本定理，进而也就得到5的推论3、推论4——关于除数、最大公约数、最小公倍数的表示式，而在所有的论证中，除了4定理1之外，4的所有其他结论都用不到.相反的可以用5推论3、推论4来证明2定理10～定理12，及4定理1～定理7，而且论证更为直观易懂.这些请读者自己讨论.事实上，可以从算术基本定理出发，来定义最大公约数，建立最大公约数理论（见习题六第1题（v））.此外，虽然我们证明了每个合数都可唯一分解为素数的乘积，但如何实现这种分解，特别是大数的分解，至今还没有有效方法.